第4課時二次函數(shù)

【回歸教材】

i.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：f(x)=ax2-hbx+c(a^0)；

（2）頂點式：f（x）=a（x-mf+n（a0）；其中，（九九）為拋物線頂點坐標，工=機為對稱軸方程.

⑶零點式：/0）=。0-須）。一工2）（。。0），其中，％,工2是拋物線與x軸交點的橫坐標?

2.二次函數(shù)的單調性

hh

①當〃〉0時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在［-上+8）上遞增,

2a2a

山b2/,、4ac-h2

當x=-五時，/(4"K

②當。<0時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在

bb

（-8,-2］上遞增，在［―2,+8）上遞減，

2a2a

、□b小、^ac-b1

當X二一五時'；/⑴max=F-

3.二次函數(shù)圖像與x軸相交的弦長

2

當△=力2—4ac>0時，二次函數(shù)/（X）=ax+bx+c{aH0）的圖像與x軸有兩個交點M{（玉,0）和

2

M(X,,0),|M}M21=|X1-x21=J(x1+x2)-4X,X=.

2'2\a\

4.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.

對二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c{a*0）,當a>0時，/（x）在區(qū)間［p,g］上的最大值是M,最小值是加，

令T

(1)若一二＜〃，則帆=/(p),M=/(夕)；(2)若p〈一二〈尤0,則/"=/(一二),M=/(q)；

2a2a2a

bb

(3)若/V-?。?，則加=/(一二),M=/(p)；(4)若---＞q,則機=/(p).

2a2a2a

5?一元二次方程ox?+法+。=0（。工0）的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個方面考慮：

（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸x=-2與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.

2a

設為實系數(shù)方程如2+法+。=0（。＞0）的兩根，則一元二次法+c=O（a〉O）的根的分布與其限

定條件如表所示.

根的分布圖像限定條件

▲V

A>0

b

m<x<x----->m

]22a

XJ(m)>0

1

玉<

in<x2/(m)<0

DI\iy

yA>0

b

-----<m

2a

x]<x2<mLJ?

J(M>0

mX

"(/〃)>0

〃

在區(qū)間（m,ri）\JJ()<0

內

有且只有一個L

丁(㈤<0

實根\

../,(?)>0

y^nx

A>0

在區(qū)間（加,〃）

iyb

m<------

內2a

有兩個不等實f(m)>0

n.

根O1,/(?)>o

【典例講練】

題型一二次函數(shù)的解析式

【例1-1]若二次函數(shù)/(X)滿足/(0)=1,/(x+1)-/(%)=2%,求/(X).

【答案】d-X+L

【解析】

【分析】

由于已知是二次函數(shù)，所以用待定系數(shù)法即可.

【詳解】

因為二次函數(shù)/(x)滿足/(0)=1：所以設/(X)=*+&￥+1,

則：f(x4-1)=a(x4-1)2+b(x4-1)+1=ax2+bx+1+lax+a+b-

因為/(x+l)_/(x)=2x,

2

所以ox?+^x+\^2cix+a+b-ax-bx-\=2x;

\2a=2

2ax+a+b=2x；s八；，a=l,b=-\；

[a+bf=0

/.f(X)=X2-X4-1.

故答案為：Y-x+l.

歸納總結：

【練習1?1】設二次函數(shù)7U)滿足/U—2)=A—x—2),且/U)的圖象與y軸交點的縱坐標為1,被X軸截得的線

段長為2&，則/U)的解析式為一,<2)=一.

【答案】^X)=1X2+2X+17

【解析】

【分析】

設二次函數(shù)解析式為火x)=ax2+6x+c(a翔)，由人幻的圖象與y軸交點的縱坐標為1知c=l,由/(x—2)=汽一

x—2)可得〃和〃的關系，設〃/+〃%+c=0的兩根為X、x2,則根據(jù)已知條件知|芭-引=2a,結合韋達定

理即可求得〃和b.

【詳解】

設/W=cix2+bx+c(ar0).

由——2)=4一二一2),得4a—6=0；①

又?小7=耳逅=2收，

Ab2—4ac=Sa2;②

又由已知得C=1.③

由①②③解得b=2a=-<?=1,

f2f

/./(x)=+2jt+1.

???貝2)=1x22+2x2+1=2+4+1=7.

故答案為：/U)=；d+2x+l,7.

題型二二次函數(shù)的圖像與單調性

【例2-1】如圖是二次函數(shù)丫=以?+法+c的部分圖象，圖象過點4(-3,0),對稱軸為直線x=-l.給出以下結

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可判斷②；由對稱性知1加+法+c圖象過點(1,0)可判斷①；根據(jù)x=-l時，j>04

判斷③；根據(jù)開口向下。<0可判斷④；進而可得正確答案.

【詳解】

因為y=aV+A:+c的對稱軸為x=-l,所以=即為-匕=0,所以②不正確；

因為廣4+法+《圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-l,

所以y=〃x2+Z?x+c圖象過點(1,0),所以〃+Z;+c=0,故①正確；

當x=-l時，y=a-b+c>0t故③正確；

因為二次函數(shù)y=?+fer+c開口向下，所以avO,所以3。<2。二人，故④正確;

故答案為：①③④.

【例2-2】已知a,b,c,d都是常數(shù)，a>b,c>d.若段)=2021—(x—a)(x—〃)的零點為c,d,則下列不等

式正確的是()

A.a>c>h>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>h>d

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出二次函數(shù)的圖像即可判斷“、仄c、d的大小關系.

【詳解】

/(x)=2021—(x—匕)=—+(a+/?)x—而+2021,

由解析式知〃。)=/"㈤=2021>0,於)對稱軸為x=審,

''c,d為函數(shù)7U)的零點，且a>b,c>d,

可在平面直角坐標系中作出函數(shù)_Ax)的大致圖象，如圖所示：

由圖可知c>a>b>d,

故選：D.

歸納總結：

【練習2-11【多選題】如圖，二次函數(shù)，=如2+桁+，(“=0)的圖像與x軸交于A3兩點，與>軸交于C點，且

對稱軸為x=l,點B坐標為(-1,0),則下面結論中正確的是()

A.2a+b=0B.4a-2b+c<0

C.h2-4ac>0D.當y<0時，x<—1或x>4

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質，可以判斷各個小題的結論是否成立，即可求出答案.

【詳解】

因為二次函數(shù)y=o?+bx+c(aHO)的圖象的對稱軸為X=1,所以x=—=H'.J2?+/>=0,故A正確；

2a

當x=-2時，y=4a-2b+c<0,故B正確；

該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，則從_4ac>0，故C正確；

因為二次函數(shù)y=^+6+c(a*o)的圖象的對稱軸為工=1,點8坐標為(-1,0),所以點A的坐標為(3,0),所以

當yVO時，x<-l或x>3,故D錯誤.

故選：ABC.

【練習2-2］若函數(shù)f(x)=F2+(“-l)x+l在區(qū)間(7,1］上為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】0,1

【解析】

【分析】

分類討論，加力0時根據(jù)二次函數(shù)的性質求解.

【詳解】

加=0時，f(x)=-x+l滿足題意；

ni>0

/??工0時，,解得°(三，

------213

2m

綜上加w［0,§］,

故答案為：［0,5.

題型三二次函數(shù)的值域與最值

【例3-1】已知二次函數(shù)/(x)=d—2x+3.

(1)當xw【-2,0］時，求f(x)的最值；

(2)當xe［-2,3］時，求/(x)的最值；

(3)當時,求/(x)的最小值g?).

【答案】⑴最小值為『(0)=3,最大值為八-2)=11

(2)最小值為/⑴=2,最大值為〃-2)=11

?+2j<0

⑶g(f)=.2,0<Z<l

?-2r+3,r>l

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)對稱軸情況求最值;

(2)根據(jù)二次函數(shù)對稱軸情況求最值;

(3)分情況討論函數(shù)最值的情況.

(1)

解：二次函數(shù)圖象如圖所示，

函數(shù)的對稱軸為x=l，

所以當x=0時，/(X)取最小值為f(0)=3,

當x=-2時，/(x)取最大值為/(-2)=11；

⑵

解：由(1)得當x=l時,/(X)取最小值為/>⑴=2,

當x=-2時，f(x)取最大值為/(-2)=11；

⑶

解：由圖象可知：

當f+lMl,即140時,F(x)在<f+1］上單調遞減,

故最小值g(f)="+l)="+2；

當即0<f<l時,f(x)在匕1］單調遞減，在上單調遞增,

故最小值g(r)=/⑴=2；

當￡21時，f(x)在上/+1］上單調遞增，故最小值g(/)=/(f)=/-2r+3,

?+2j<0

綜上所述：g(f)=<2,0<f<1.

t2-2t+3,t>\

【例3-2】已知函數(shù)/")=/+2m+1.求f(x)在-24xM2上的最小值；

【答案】⑴當，“>2時，最小值為“-2)=-4〃?+5；

—24加42時，最小值為f(~,n)=—"+1；

當初<一2時，最小值為/(2)=4,〃+5.

(3)%=-1或一!

4

【解析】

【分析】

(1)結合二次函數(shù)草圖可得函數(shù)在x=3處取最大值，在x=-l處取最小值；

(2)利用二次函數(shù)的對稱軸結合草圖，分析對稱軸與-2,2兩個值的距離，分類討論可得函數(shù)最小值的幾種

可能情況；

(3)結合(2)的分析思路及函數(shù)圖像的幾種可能情況，得出函數(shù)的最大值只可能在T或2處取得，進而解

出小的值再代回檢驗即可.

?.?/(力=/+2,依+1的對稱軸是x=-m,

①當—機<一2,即m>2時，函數(shù)在—24xV2上遞增，

當x=-2時，取到最小值4-2)=9〃+5；

②當-24-加〈2,即一24m42時，函數(shù)在-2Wx42上先遞減后遞增，

當x=-m時,取到最小值〃-6)=-加+1；

③當-,“>2,即加<-2時，函數(shù)在-2Wx42上遞減，

當x=2時，取到最小值〃2)=4加+5,

綜上所得，當加>2時，最小值/(—2)=T〃?+5：

當一24m42時，取到最小值/(一加)=一加+1：

當機<-2時，取到最小值/(2)=4//7+5.

【例3-3】二次函數(shù)8(月=，/一2痛+〃+1(6>0)在區(qū)間［0,3］上有最大值4,最小值0.

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

⑵設/(x)=g(x)+(2-a)x,且〃x)在［-1,2］的最小值為一3,求“的值.

【答案】(Dg(x)=d—2x+l

(2)。的值為-5或4

【解析】

【分析】

(1)結合二次函數(shù)的性質求得g(x)的解析式.

(2)求得了(X)的表達式，對。進行分類討論，結合人功在［T,2］的最小值來求得a的值.

(1)

依題意，二次函數(shù)g(x)=/n/—2松+〃+1(帆＞0),開口向上，對稱軸x=l,

g2=T"+"+l=°n相=1,〃=0

所以

g(3)=3m+〃+1=4

所以g(x)=V-2x+l.

(2)

/(x)=g(x)+(2-a)x=x2-ax+1,開口向上，對稱軸x=￡,

當產(chǎn)_l,a?_2時，/(-l)=2+?=-3,?=-5,

zx222

當一1<@<2,-2<“<4時，/-=--^-+1=-—+1=-3=>?=±4(舍去).

212J424

當時，/(2)=5-2a=—3,a=4.

綜上所述，〃的值為-5或4.

歸納總結:

【練習3-1］函數(shù)/(X)=X2-2X-2

⑴當xe-2,2］時，求函數(shù)“X)的值域；

(2)當xeg+l］時，求函數(shù)“X)的最小值.

【答案】⑴［—3,6］

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(I)化簡函數(shù)f(x)=(x-l)2-3,結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解：

(2)根據(jù)函數(shù)的解析式，分￡40,0</<1^1/>1,三種情況討論，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.

(1)

解：由題意，函數(shù)/0)=%2-2x-2=(x-l)2-3,

可得函數(shù)/(x)在［-2,1］上單調遞減，在［1,2］上單調遞增，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為/(-2)=6,最小值為/(-1)=-3,

綜上函數(shù)“X)在上的值域為［-3,6］.

(2)

解：①當區(qū)0時，函數(shù)在區(qū)間上"+1］上單調遞減，最小值為/?+1)=r-3：

②當0<f<1時，函數(shù)在區(qū)間［M］上單調遞減，

在區(qū)間口,什1］上單調遞增，最小值為了⑴=-3；

③當此1時，函數(shù)在區(qū)間上+1］上單調遞增，最小值為，。)=產(chǎn)-2/-2,

綜上可得：當fVO時，函數(shù)f(x)的最小值為產(chǎn)-3;當函數(shù)外力的最小值為-3；當C1時，函數(shù)

/(X)的最小值為產(chǎn)-2-2.

【練習3-2】一次函數(shù)“X)是R上的增函數(shù)，且/［〃x)］=4x+3,g(x)=〃x)(x+m)

⑴求/(x);

(2)當xe［—1,3］時,g(x)有最大值13,求實數(shù)m的值.

【答案】(l)/(x)=2x+l；

8

(2)m=—或機=-12.

7

【解析】

【分析】

(1)設/1(力=如+6,。>0,代入條件，由恒等式的性質可得方程，解方程可得f(x)的解析式；

(2)求得g(x)的解析式和對稱軸方程，再由單調性可得一言解不等式即可得到所求范圍:

(3)由g(x)的圖象可得g(x)的最大值只能在端點處取得，解方程，加以檢驗即可得到所求值.

(1)

解：,一次函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，，設/(x)=ox+b(a>0).

則f{f(x')j>=a(ax+b')+b=a2x+ab+b=4x+3,

2

a=4［a=2［a=-2zx

L.解得，?或八式不合題意，舍去).x)=2x+L

ab+b=3也=1［6=-3

(2)

解：5(x)—2^+(1+2m)x+m,對稱軸為》=一上^

當疣［-1,3］時，g(x)有最大值13,

由于g(X)的圖象開口向上，則g(x)的最大值只能為端點處的函數(shù)值，

若g(—1)是最大值13,即有2-1-2m+m—13,解得m=-12,

此時8(力=*-23x-12在［-1,3］上遞減,符合題意;

Q

若g(3)是最大值13,即有18+3+6皿+〃2=13,解得歷=-亍，

QQOO

此時g(x)=2/-^龍一7在［-1,有)遞減，在(有，3］遞增，

772828

且g(-l)=/<13,符合題意.

Q

綜上可得，加=-12或加=一］.

題型四二次函數(shù)中的恒成立(有解)問題

【例4-1］(1)若函數(shù)丫=他(62+2奴+3)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)若函數(shù)y=Jar2+2奴+3的值域為［。，叱)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(D［0,3)；(2)［3,+a>).

【解析】

【分析】

⑴函數(shù)y=lg(加+2利+3)的定義域為R,則真數(shù)部分大于0恒成立；

⑵y=y/ax2+2ar+3的值域為［。，+°°)，則t=ax1+lax+3值域包含［。,+00).

【詳解】

(1)函數(shù)丫=吆(加+2"+3)的定義域為R,

則辦2+2辦+3>0對xCR恒成立，

①a=0時，3>0,符合題意；

_［a>Q>0

②awO時，\,、=<，2c=>0<a<3,

［A<0［4a-12a<0

綜上：0Ka<3；

(2)由題可知［0,+e)=卜I/=ar2+2ar+3|,

①a=0,/=3,不符題意；

(a>0

②awO時，\=>a..3,

［A>0

綜上：a..3.

【例4-2］已知函數(shù)f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在區(qū)間［0,1］上的最大值比最小值大3,且/⑵=-3.

⑴求。，b的值；

(2)若在區(qū)間［7,1］上，不等式/(x)>-x+m恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴。=6=1;

⑵y,-i).

【解析】

【分析】

(1)依題意，f(x)在［0,1］單調遞減，了(力四一了意):=3及〃2)=—3,聯(lián)立可求得明匕的值；

(2)方法一：分離參數(shù)m,則機<丁/x+i恒成立，求當時(唾-3x+l)1n用,可得實數(shù)，〃

的取值范圍；

方法二：問題轉化為Vxe［-1J,g(x)=x2-3x+l-相>0恒成立，利用二次函數(shù)的性質可求得g(x),?M=g(l)>0,

求機的取值范圍.

(1)

令/(%)=a(x2-4x)+b=a(x-2)2+b-4a,又。>。，

，/(x)的開口向上，對稱軸方程為x=2,

???/(X)在［0,1］單調遞減,

???fMmm-/(x)min=/(0)—/⑴=6-3-30=3a=3,乂f(2)=b-4a=-3,

a=。=1.

⑵

方法一：Vxe[-l,l],/(x)>-x+，〃ox2-4x+l>-x+"恒成立，

Vxs[-l,l],me/—3x+]恒成立，只需，w<(AT2-3x+1)而“，^e[-l,l],

因此，滿足條件的實數(shù)也的取值范圍是(YO,-1).

方法二：Vxe[-l,l],f(x)>-x+〃z=x?-4x+l>-x+加恒成立，

二一一3*+1-刃>0在[-1,1]上恒成立，

只需使g(x)=xZ-3》+1-》2>0在[-1,1]上恒成立,

3

g[x)=x1-3x+\-m的開口向上，對稱軸方程為x=5，

??g(x)在[TJ上單調遞減,

二當X=1時，g(x)取得最小值，即g(x)min=g6=-m一1>0,解得加<一1,

因此，滿足條件的實數(shù)用的取值范圍是

歸納總結：

【練習4-1】已知函數(shù)〃x)=f-，nr—2.

(1)若%>0且/(x)的最小值為-3,求不等式/(x)<l的解集；

⑵若當V41時，不等式“X)-2x<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)(T3)；

(2)(-3,-1).

【解析】

【分析】

(1)利用二次函數(shù)的最值可求得正數(shù)機的值，再利用二次不等式的解法解不等式/(x)<l,即可得解；

(2)令g(x)=/(x)-2x=x2-(m+2)x-2,根據(jù)題意可得出關于實數(shù)機的不等式組，由此可解得實數(shù)m的

取值范圍.

(1)

解：“X)的圖象是對稱軸為X=￡,開口向上的拋物線，

所以，/(4*=/(￡)='-苧-2=-'-2=-3,因為機>°，解得加=2，

由/(x)<l得X2-2X-3<0,即(X-3)(X+1)<0,得

因此，不等式/(x)<l的解集為(-1,3).

⑵

解：由41得一1VxWl,設函數(shù)g(x)=f(x)-2x=f-(m+2)x-2,

因為函數(shù)g(x)的圖象是開口向上的拋物線，

要使當爐41時,不等式f(x)-2x<0恒成立,即使x)vO在上恒成立,

［g⑴<0［l-w-2-2<0

則八2可得〈八，解得一3<“<一1.

［1+"2<0

【練習4-2】已知函數(shù)“X)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且xe(O,2］時，/(x)=2r-l,g(x)=f-2x+,〃.

⑴求/(x)在區(qū)間［-2,0)上的解析式；

⑵若對內e［-2,2］,則叫2,2］,使得/(耳卜8仁)成立，求掰的取值范圍.

【答案】(1)〃同=一(；)+1.-2<x<0

⑵［-5,-2］

【解析】

【分析】

(1)設x+2,0),由奇函數(shù)的定義可得出"X)=-/(T),即可得出函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,0)上的解析式;

(2)求得函數(shù)“X)在區(qū)間［-2,2］上的值域為［-3,3］,分析函數(shù)g(x)在區(qū)間［-2,2］上的單調性，可得出

'(XL=

即可求得實數(shù)機的取值范圍.

省(力而43

⑴

解：設x?-2,0),則—xe(0,2],/(x)=-/(-x)=-(2-x-l)=-(1j+1,

即當xe[-2,0)時，〃x)=_(￡|+1.

(2)

解：當xe(O,2]時，/(x)=2^-lS(0,3];當xe[-2,0)時，/(x)=-flT+le[-3,0)；

又因為"0)=0,所以，函數(shù)“力在［T2］上的值域為［-3,3］,

???g(x)=工2-2x+m在［-2,1)上單調遞減，在(1,2］上單調遞增，

當xe［-2,2］時,g(x)n.n=g(1)="一1，g(x)1rax=max{g(-2),g(2)}=g(-2)=〃z+8,

因為2,2],則叫e[—2,2],使得〃與)=8(9)成立，則|“+8；；，解得-5W/n<-2.

題型五一元二次方程根的分布

【例5-1】函數(shù)/(力=/一2》+。在區(qū)間(-2,0)和(2,3)內各有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】-3<?<0

【解析】

【分析】

利用二次函數(shù)的零點分布求解.

【詳解】

因為函數(shù)〃力=幺-2犬+。在區(qū)間(一2,0)和(2,3)內各有一個零點，

'/(-2)=4-2x(-2)+a>0

/(0)=?<0

所以

/(2)=4-2x2+a<0

/(3)=9-2x3+a>0

解得-3<a<0.

【例5-2]已知關于x的方程爐+2(a+2口+/-1=0.

(1)當該方程有兩個負根時，求實數(shù)a的取值范圍：

(2)當該方程有一個正根和一個負根時，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】

(2)(-1,1).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)?>()，以及兩根之和小于零，兩根之積大于零列出不等式求解即可;

(2)只需一元二次方程對應的二次函數(shù)在x=0時的函數(shù)值小于零即可；

(1)

若關于x的方程/+2(。+2?+/_1=。有兩個負根，

只需:?=4(a+2)——4(“—-1)>0,即a>—“

且兩根之和-2(a+2)<0：,BPa>-2；

以及兩根之積4?-1>0，即或。<-1.

綜上所述，j-lluU+oo),

即實數(shù)0的取值范圍為

(2)

關于x的方程/+2(a+2)x+/-1=0有一個正根和一■個負根時，

只需其對應的二次函數(shù)〃x)=+2(a+2)x+a2-1滿足“0)<0,

即儲_i<o,解得aw(—1,1).

故實數(shù)。的取值范圍為：(-1,1).

【例5-3】設函數(shù)f(x)=x?，其中加eR.

(1)函數(shù)/(x)在區(qū)間［-1,2］上有唯一的零點，求〃?的取值范圍；

(2)函數(shù)Ax)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點，求機的取值范圍.

【答案】(1)m<—^或，〃=0或加云4：(2)--</w<0fiJc4<m<—,

233

【解析】

【分析】

根據(jù)/(*)函數(shù)性質：開口方向、判別式，討論對稱軸與給定區(qū)間的位置情況，結合區(qū)間零點個數(shù)列不等式組，

求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

由題設，/(x)開口向上且對稱軸為*=￡,△=

A=0

(I)當!即〃z=0或%=4時，f(x)在區(qū)間上有唯一零點；

—1W—W2

2

當A>0,即〃2<0或加>4時，要使/⑺在［T2］上有唯一的零點,只需“—1)/⑵=(1+2㈤(4—〃2)<0,解得

綜上，機<-：或加=0或時，(X)在［-1,2］上有唯一的零點.

(2)由題設△>(),即m<0或m>4,

m.m,

——1—>1416

/.\2或《2,可得——<m<0^4<m<一,

,/(-2)>0伍4)2033

416

綜上，-33"＜0或4＜，"4?時，。)在［-2,4］上有兩個零點.

【練習5-1］若關于x的方程2X2-8X+,〃+3=0有兩個實數(shù)根，且一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)加的取

值范圍為.

【答案】(",3)

【解析】

【分析】

^f(x)=2x2-8x+m+3,根據(jù)題意，由/(1)＜0求解.

【詳解】

令/(x)=2x2-8x+m+3,

因為方程2x2-8x+m+3=0有兩個實數(shù)根，且一根大于1,另一根小于1,

所以/(1)=2-8+帆+3＜。，解得加＜3,

所以實數(shù)用的取值范圍為(―,3),

故答案為：(e,3)

【請完成課時作業(yè)(十)】

【課時作業(yè)（十。

A組基礎題

1.函數(shù)/（同=丁+3升2在區(qū)間[-5,5]上的最大值、最小值分別是（）

A.12,--B.2,12

4

C.42,-：D.最小值是-，，無最大值

44

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的性質即可求解最大值和最小值.

【詳解】

y=x2+3x+2=fx+|J-l,拋物線的開口向上，對稱軸為x=-|,

在區(qū)間[-5,5]上，當*5時，y有最小值-；；x=5時，y有最大值42,

函數(shù)/（力=幺+3了+2在區(qū)間[-5,5]上的最大值、最小值分別是：42,

故選：C.

2.若函數(shù)〃x）=x2-儂+10在（一2,-1）上是減函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[2,+oo）B.[-2,+oo）C.（-oo,2]D.（-00,-2]

【答案】A

【解析】

【分析】

結合二次函數(shù)的對稱軸和單調性求得加的取值范圍.

【詳解】

117

函數(shù)/（X）="2一如+10的對稱軸為工=§,

由于〃x）在（-2,1）上是減函數(shù)，所以葭*1=m22.

故選：A

3.已知函數(shù)“*）=一+4犬+%xe[0,l],若的最小值為-2,則的最大值為（）

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)性質求得最小值，由最小值得。值，從而再求得最大值.

【詳解】

v/(x)=-x2+4x+a在[(),1]上單調遞增，.?.其最小值為/(O)=a=-2,

,其最大值為f（l）=3+a=l.

故選：A.

4.若方程-f+0c+4=。的兩實根中一個小于t,另一個大于2,則。的取值范圍是（）

A.(0,3)B.[0,3]

C.(—3,0)D.(7O,0)U(3,+<?)

【答案】A

【解析】

【分析】

設/（力=/-融-4,根據(jù)二次函數(shù)的零點分布可得出關于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

由一刀2+5+4=0可得》2-ax-4=0，

A=<72+16>0

-1<-<2

令/（耳=』一公—4,由已知可得?2,解得0<a<3,

f(-l)=a-3<0

/(2)=-2?<0

故選：A.

5.若函數(shù)/（刈=卜?（一?‘：9"：?的值域為[—3,+8）,則4的取值范圍是（）

A.[―e\0）B._/,」）C.-e3,--D.\e，,」）

【答案】C

【解析】

【分析】

求出當04x43和a4x<0時的取值范圍，結合值域關系建立不等式進行求解即可

【詳解】

當04x43時，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1e[-3,1]

當a4x<0時，/(x)=-ln(Wln(-a),+co)

要使/(x)的值域為[-3,+8)

則-3V-ln(-a)41,:.-e3<a<--

e

故選：C

6.已知二次函數(shù)y=/-4x+a的兩個零點都在區(qū)間(1,田)內，則。的取值范圍是()

A.(^?,4)B.(3,+co)C.(3,4)D.(^?,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與單調區(qū)間，結合已知可得到關于。的不等式，進而求解.

【詳解】

二次函數(shù)y=/-4x+a,對稱軸為x=2,開口向上，

在(f,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

要使二次函數(shù)/(%)=丁-4x+a的兩個零點都在區(qū)間(1,+8)內,

/(1)=1-4+?>0

，解得3<a<4

/(2)=4-8+a<0

故實數(shù)a的取值范圍是(3,4)

故選：C

7.若二次函數(shù)/。)="+法+或"0),滿足/(l)=f(3),則下列不等式成立的是()

A./(1)</(4)</(2)B./(4)</(1)</(2)

C./⑷<f(2)</(l)D.〃2)</(4)</⑴

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根據(jù)/⑴=/(3),判斷出二次函數(shù)的對稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的單調性即可得出答案.

【詳解】

因為/(1)=/(3),所以二次函數(shù)/(》)=江+法+。的對稱軸為x=2,

又因為"0,所以7(4)</(3)V/(2),

又/⑴=/(3),所以/(4)</(1)</(2).

故選：B.

「25-

8.若函數(shù)y=V-3x-4的定義域為［0,〃力，值域為-芋-4,則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(0,4］B.-^,-4C.D.習+°°)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質并結合圖象即可求出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)了=/-3*-4的圖象如圖所示，

因為y=d-3x-4=(x-g)-亨

當x=0或x=3時，y=-4；

當x=3寸，＞=-2?5，

「3

因為函數(shù)的定義域為［0,機］,所以me-.3

故選：C.

9.在實數(shù)的原有運算中，我們定義新運算“*”為：當“Wb時,a*b=a；當時，a*b=b2.設函數(shù)

f(x)=(-2*x)-(2*x),xe(-2,2],則函數(shù).f(x)的值域為()

A.[-6,-2]B.[一2⑵C.(-2,2]D.[-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得，f(x)=x2-2,xe(-2,2］,再由二次函數(shù)的單調性即可求出〃x)的值域.

【詳解】

因為f(x)=(-2*x)-(2*力,尤e(-2,2|,

由題意可得，f(x)=x2-2,xe(-2,2],

則fM在xe(-2,0]上單調遞減，在xe(0,2]上單調遞增.

所以/。焉"⑼=一2Ja、=7"⑵=2,

所以f(x)的值域為[-2,2].

故選：D.

10.【多選題】二次函數(shù)丫=取2+法+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(）

B.4ci+2b+c<0C.9a+3b+c<0D.abc<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由題知0<0,進而根據(jù)對稱性得〃0)>0,/(2)=/(0)>0,〃3)=/(-1)<0判斷即可得答案.

【詳解】

解：由二次函數(shù)圖象開口向下知：?<0,對稱軸為x=-2=i,即2a+6=0,故6>0.

2a

又因為〃0）=c>0,/（2）=/（0）=4a+2/?+c>0,/（3）=/（-l）=9a+3/?+c<0,

所以abc<0.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)，。)=丘2+》-5在口,2]上單調，則實數(shù)%的取值范圍是

【答案】(-co，-5]u[-w，+00)

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分％=0和％片0,兩種情況，結合一次、二次函數(shù)的性質，列出不等式，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/*)=履2+/5,

當k=0時，f(x)=x-5,此時函數(shù)/(x)在區(qū)間口⑵上為單調遞增函數(shù)，符合題意；

當％HOH寸，/(*)="2+犬_5的對稱軸的方程為》=_乙，

2k

要使得了(X)在［1,2］上為單調函數(shù)，則滿足-圭41或2,

M軍得上4—g或；且�,

綜上可得實數(shù)%的取值范圍是(―二皿一收).

24

故答案為：(-°0,-］,+00).

12.已知函數(shù),f(x)=x2+2x+3+m,若〃x)20對任意的xe［l,2J恒成立，則實數(shù)，"的取值范圍是.

【答案】［-6,+00)

【解析】

【分析】

對任意xe［l,2］,/(x)N0恒成立，等價于/+2工+32-m在［L2］上恒成立，令g(x)=/+2x+3,求其在［1,2］

上的最小值即可.

【詳解】

對任意xeU，2］,/(x)20恒成立，

等價于x2+2x+32-機在口，2］上恒成立，

令gM=x1+2x+3,

則其在口,2］上的最小值為g(l)=6,所以6W-m,得加2-6.

故答案為：r-6,+a))

13.已知函數(shù)“力=f+2〃比+1.

⑴若機=1,求“X)在-14x43上的最大值和最小值；

⑵求/(x)在-24x42上的最小值；

(3)在區(qū)間-14x42上的最大值為4,求實數(shù)加的值.

【答案】(1)最大值是16,最小值是0

⑵當機＞2時，最小值為/(-2)=-4m+5；

當一時,最小值為/(-，〃)=一療+1；

當機＜一2時，最小值為/(2)=4〃z+5.

⑶%=-1或

4

【解析】

【分析】

(1)結合二次函數(shù)草圖可得函數(shù)在x=3處取最大值，在x=-l處取最小值；

(2)利用二次函數(shù)的對稱軸結合草圖，分析對稱軸與-2,2兩個值的距離，分類討論可得函數(shù)最小值的幾種

可能情況；

(3)結合(2)的分析思路及函數(shù)圖像的幾種可能情況，得出函數(shù)的最大值只可能在-1或2處取得，進而解

出加的值再代回檢驗即可.

(1)

，"=1時，/(x)=x2+2x+l=(x+l)2,結合函數(shù)圖像得：

/(x)a-l<x<3上的最大值是/(3)=16,最小值是1)=0；

(2)

?.?/(力=/+2痛+1的對稱軸是欠=-機，

①當-〃?<—2,即機>2時，函數(shù)在-24x42上遞增，

當x=-2時，取到最小值/(-2)=9〃+5；

②當一24一帆<2,即-24加42時，函數(shù)在-2《尤42上先遞減后遞增，

當X=T"時，取到最小值〃一加)=一療+1；

③當即/"<-2時，函數(shù)在-24x42上遞減，

當x=2時，取到最小值〃2)=4加+5,

綜上所得，當〃?>2時，最小值/(—2)=T〃?+5；

當一24mV2時，取到最小值f(-??)=-w2+1：

當機<-2時，取到最小值/(2)=4/M+5.

(3)

由(2)的討論思路結合函數(shù)圖像在-14x42內的

可能情況知/(-1)，#2)中必有一個是最大值；

若/(-1)=2-2，〃=4,6=一1,代回驗證：

/(X)=X2-2A+1=(X-1)2,符合〃T)最大；

若/⑵=5+4〃?=4,/?=--,代回驗證：

4

/(x)=x2-lx+l=(x-l)2+l1,符合八2)最大；

2416

4

B組能力提升能

1.已知關于x的方程以2-2|x|+a=0有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)“的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】

已知關于x的方程以2-2|x|+a=0有4個不同的實數(shù)解，可以分別三種情況討論：①。=0,方程有4個根；

②X20,方程有兩個正根；③x<0,方程有兩個負根；分別求出實數(shù)a的取值范圍即可完成求解.

【詳解】

由題意可知關于X的方程以2-21X|+。=0有4個不同的實數(shù)解，可分為以下幾種情況：

①當a=0時，方程以2-2|x|+a=0,化為-2國=0,解得x=0,不滿足題意，舍掉；

②當xNO時，方程加-2|x|+a=0,化為?2-2x+a=0,此方程有兩個正根，即

A=4-4a2>0

2

<X]+x,=—>0,解得0<avl；

a

XfX2=l>0

③當x<0時.，方程-2|x|+a=0,化為以2+21+々=0,此方程有兩個負根，即

A=4-4/>0

2

<x+x=—<0,解得0vav1；

12a

xfx2-1>0

由①②③可知，實數(shù)。的取值范圍是OVaVl.

故答案為：(0,1).

(x-a)2,x<0

2.設/*)=]/八，若/(0)是/(力的最小值，則。的取值范圍為______.

x+—+〃+4,x>0

【答案】[0,3]

【解析】

【分析】

利用定義可知/(x)=x+^+a+4在(0,1)上遞減，在(1,—)上遞增，所以當x=l時，/(x)=x+1+a+4取得

XX

最小值為6