2020-2021學年南昌十中高二上學期期末數學試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.2、已知i是虛數單位，a,beR,貝I]"a=8=1”是“（a+次＞=2?”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.某四面體的三視圖如右圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是

)

A.

正（主）視圖側（左）視圖

B.8

C.10

俯視圖

D.12

3.若4是直線m外一點，過點4且與m平行的平面（）

A.存在無數個B.不存在

C.存在但只有一個D.只存在兩個

4.在棱長為2的正方體4BCD—中，點P是正方體棱上的一點，若滿足|PB|+\PDr\=爪的

點P的個數大于6個，則小的取值范圍是（）

A.(2V3,2V5)B.(2V3,2V5]C.(2代,2+2a)D.[2遮,2+2夜)

5.如圖，已知某幾何體的主視圖和左視圖是全等的等腰直角三角形，俯視圖

是邊長為2的正方形，那么它的體積是（）

4

A.

3

B.8

3

C.4

D.16

3

6.有兩個命題：命題p：正方形的四個角相等，命題q：正方形的四條邊相等.則下列判斷錯誤的是

()

A.新命題“0且勺”是真命題B.新命題“p或q”是真命題

C.新命題“非P”是假命題D.新命題“「或勺”是假命題

7.如圖，在正方體4BCD—4BiCiDi中，E為①加上的點，尸為CQ上的點，■「

則下列直線中一定與EF垂直的是（）4丁丁產

A.AC/

B.BD

彳%

C.4也

D.ArA

8.已知后為橢圓C4+g=l（a>h>0）的左焦點，直線2過橢圓的中心且與橢圓交于4B兩點.若

以48為直徑的圓過鼻，且袤<"AB等，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A.停凈B.除1)C.(0.|]D.[i,|]

9.在四棱錐4-BCDE中，△ABC是邊長為6的正三角形，8CDE是正方形，平面ABC_L平面BCDE,

則該四棱錐的外接球的體積為（）

A.21V217TB.84兀C.7V217TD.28V21n

10.下列命題中，正確的是（）

A.若a〃b,bua,則a〃aB.若a〃oc,bca,貝1|a〃匕

C.若?！ㄎ?，b//a,則（1〃6D.若a〃b,b//a,a(ta,則?！ㄎ?/p>

11.空間四邊形ABC。的四邊相等，則它的兩對角線AC、BO的關系是（）

A.垂直且相交B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交D.不垂直也不相交

12.已知一個圓錐的母線［與底半徑r滿足產+1=5,則當圓錐表面積最大時，它的母線與底面所成

的角的余弦值為（）

A.-B.-C.小D.正

4444

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.命題“$xER,x<1或％>4"的否定為.

14.已知兩個正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點都在同一個球面上若這兩個

正四棱錐的體積之比為1：2,則該球的表面積為.

22

15.若橢圓C：京+a=1缶>6>0）與圓G：比2+y2=9和圓。2：/+f=8均有且只有兩個公

共點，則橢圓C的標準方程是.

16.四面體48C。的四個頂點都在球。的球面上，AB=4,BC=CD=2,^BCD=120",AB_L平面

BCD,則球。的表面積為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為47n2,互相平行的兩個側面的距

離為2m,則這個六棱柱的體積為,并說明理由.

A.37n3c.i27n3。.以上都不對

18.已知p：(%+2)(%—10)>0,q：[x-(1—m)][x—(1+m)]<0,(m>0),若q是”的充分

不必要條件，求實數血的取值范圍.

19.四棱柱ABCD-的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正(主)視圖、側(左)視圖為矩形，俯

視圖為直角梯形.

(/)求證：BC1平面&AC；

(n)若異面直線與BC所成的角為60。，求二面角a-A1C-。的大小.

□

20.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線C的極坐標方程是屏=僦磔酹嚼’,以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建

I1弱

富:=——離得瞬

立平面直角坐標系，直線/的參數方程是：■!莫(席是參數).

I通.

IFF

(1)將曲線c的極坐標方程和直線也參數方程轉化為普通方程；

(〃)若直線/與曲線C相交于4、B兩點，且|/瞬|=、再，試求實數捌:值.

21.已知正四棱臺上底面邊長為4cm,側棱和下底面邊長都是8czn,求它的全面積.

22

22.2知橢圓C；京+￡=l(a>b>0)經過點4―2,0),B(0,-l).

(I)求橢圓C的方程及其離心率；

(II)若P為橢圓C上第一象限的點，直線P4交y軸于點M,直線PB交工軸于點N.求證：四邊形M4BN的

面積S為定值.

參考答案及解析

L答案：A

2T1一ja—6=0a=1I、a=-11、?“.?日

因為(a+5)2=a2-b^+2abi,：.<=><",，所以a=b=l是

解析:2a6=26=1i=-l

“（a+歷了=2i”的充分不必要條件，故答案A.

2.答案：C

解析：試題分析：此四面體為三棱錐，底面為直角三角形一直角邊長為4,另一邊長為3。棱錐的一

條側棱垂直與底面，垂足為底面邊長為4的直角邊與直角邊的交點，棱錐高為4。所以面積最大的側

面為垂直與底面的側棱和底面直角邊構成的直角三角形，面積為潟4函第次琳=：3?。故C正

確。

考點：三視圖和空間幾何體間的關系。

3.答案：A

解析：解：4是直線m外一點，

由線面平行的性質得：過點4且與小平行的平面有無數個.

故選：A.

由線面平行的性質得：過點a且與小平行的平面有無數個.

本題考查滿足線面平行的平面的個數的判斷，考查線面平行的性質等基礎知識，考查空間想象能力

等數學核心素養(yǎng)，是基礎題.

4.答案:D

解析：解：分類討論：①???正方體的棱長為2,

BD]=2V3>

???點P是正方體棱上的一點（不包括棱的端點），滿足|PB|+\PDr\=2V5,

???點P是以2c=2百為焦距，以。=逐為長半軸，以魚為短半軸的橢圓，

???P在正方體的棱上，??.P應是橢圓與正方體與棱的交點，

結合正方體的性質可知，滿足條件的點應該在正方體的12條棱上各有一點滿

足條件.

二滿足|PB|+\PDr\=2%的點P的個數為12個.滿足條件.

②8個頂點中，除了B,%兩個以外的6個頂點滿足|PB|+IP。/=2+2近，且是正方體棱上的所有

點中的最大值，只有這6個頂點.

因此除了以上6個頂點以外的點滿足：|PB|+\PD1\<2+2V2,

不難得出滿足條件：2代<\PB\+IPDJ<2+2企的點P都滿足|PB|+\PD1\=m的點P的個數大于

6個，

由選擇支可得只能選擇D.

故選：D.

首先說明①：滿足條件|PB|+IPDJ=2而的點P有12個，符合題意.再說明：②8個頂點中，除了

8,%兩個以外的6個頂點滿足|PB|+IP。/=2+2近，且是正方體棱上的所有點中的最大值，只有

這6個頂點.因此除了以上6個頂點以外的點滿足：|PB|+\PDr\<2+2夜，不難得出滿足條件：2代<

\PB\+\PDr\<2+2夜的點P都滿足|PB|+\PDr\=m的點P的個數大于6個，結合選擇支即可得出

結論.

本題考查了正方體的性質、橢圓的意義、數形結合方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能

力，屬于難題.

5.答案：B

解析：

本題考查的知識點是棱錐的體積，簡單幾何體的三視圖，難度基礎.

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，代入錐體體積公式，可得答案.

解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，

其底面的面積S=2x2=4,高八=2,

故四棱錐的體積M=?S/i=|,

故選艮

6.答案：D

解析：解：命題p：正方形的四個角相等，為真命題，

命題q：正方形的四條邊相等，為真命題，

則“p且q”是真命題，故A正確，“p或q”是真命題，故2正確，D錯誤，

非P”是假命題，正確，故C正確，

故選：D.

先判斷命題p,q的真假，結合復合命題真假關系進行判斷即可.

本題主要考查復合命題真假關系的判斷，結合條件判斷命題的真假是解決本題的關鍵，是基礎題.

7.答案：B

解析：解：由正方體的性質可知，平面4BCD,

A±A1BD,

X---BDLAC,^.A^AOAC=A,

BD_L平面ZiACCi，

又EF1平面&acci，

???BD1EF,

故選：B.

利用線面垂直的判定定理可得BD，平面4送"1，又EF1平面4遇"1，所以BD1EF.

本題主要考查了線面垂直的判定定理，是基礎題.

8.答案：A

解析：解：設“4B=。，則套＜。號，

由以2B為直徑的圓過尻，可得|4。|=田。|=。0|=c,即|2B|=2c,

在直角三角形中，|4&|=2ccos0,ISFJ=2cs譏。，

由橢圓的對稱性可得+田&|=2a=2ccos6+2csin9=2c-V2sin(0+-),

4

_c1

即有te=Z=兩哂，

由今＜。等，可得/sin(8+a)e停,或］,

則ee停冷,

故選：A.

設N&AB=e,由以AB為直徑的圓過F1，可得|40|=\B0\=。&|=c,即|AB|=2c,運用直徑所對

的圓周角為直角，以及銳角三角函數的定義，以及輔助角公式，結合離心率公式可得所求范圍.

本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查直徑所對的圓周角為直角，以及直角三角形的銳角三角函

數的定義，輔助角公式和正弦函數的單調性，考查化簡運算能力，屬于中檔題.

9.答案:D

解析：解：四棱錐4-BCDE中，△ABC是邊長為6的正三人

角形，BCDE是正方形，平面ABC_L平面BCDE,/

如圖所示：AABC是邊長為6的正三角形，/4,

所以△ABC的中心到8C中點的距離為弓X、62-32=遮,__________C

所以。B=J（3夜）2+（遮）2=&T'

所以17=（X兀X（V21）3=28V217T,

故選：D.

首先求出幾何體的球心，進一步求出球的半徑，最后求出球的體積.

本題考查的知識要點：幾何體的外接球的球心的確定，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維

能力，屬于基礎題型.

10.答案：D

解析：解：對于4若4/b,6ua,則a〃a或aua,故A錯誤；

對于B,若a“a,bua,則a與b平行或異面，故B錯誤；

對于C,若。〃戊，b//a,則a與b相交、平行或異面，故C錯誤；

對于若a〃b,b//a,a<ta,則由線面平行的判定定理得a〃a,故。正確.

故選：D.

對于4a〃a或aua；對于8,a與b平行或異面；對于C,a與b相交、平行或異面；對于D,由線面

平行的判定定理得a〃a.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證

能力，是中檔題.

11.答案：C

解析:

本題考查兩直線的位置關系的判斷，是基礎題.

取8。中點E,連接4E、CE,由已知條件推導出BD，平面4EC,從而得到BC2C.

解：取BD中點E,連接AE、CE.

AB=AD=BC=CD,AEA.BD,CE1BD,且4E、CE為平面ACE內兩條相交直線，

???BD，平面4EC.

又ACu平面4EC,BDVAC,

又AC,BD顯然不相交，

故AC,BD垂直但不相交，

故選C.

A

12.答案：A

解析：解：一個圓錐的母線/與底半徑丁滿足產+1=5,

圓錐表面積為：S=7r(r2+1x2rxZ)=—7r(r3—r2—5),

Sr=-3nr2+2TIT+5TT,令S'=0可得丁=-1或丁=|,

rG(0,|),函數是增函數，丁時，函數是減函數，

5

丁=9時，函數取得最大值，此時：=-Vr=7-

所以與底面所成的角的余弦值為：

4

故選：A.

利用已知條件求出圓錐的表面積，通過函數的導數求解函數的最大值，得到r,然后求解母線與底面

所成的角的余弦值.

本題考查直線與平面所成角的求法，函數的最值的求法，函數的導數的應用，考查轉化思想以及計

算能力，是中檔題.

13.答案：VxSR,l<jr=^4.

解析：由題意得，已知命題為存在性命題，故其否定應是全稱命題，

故答案為：VxGR,1<A<4.

14.答案：367r

解析：

根據兩個正四棱錐有公共底面，可得棱錐高之和即為球的直徑，結合底面邊長為4,則底面截球所得

圓的半徑為2,結合勾股定理求出球半徑可得球的面積.

本題給出兩個正四棱錐有公共的底面，求外接球表面積，考查了正四棱錐的性質和球內接多面體等

知識點，屬于中檔題

解：???兩個正四棱錐有公共底面且兩個正四棱錐的體積之比為1：2,

???兩個正四棱錐的高的比也為1：2

設兩個棱錐的高分別為X,2X,球的半徑為R

則X+2X=3X=2R

即R=竽

球心到那個公共底面距離是?，

又,??底面邊長為4

???廢=(當2=(>+22,

解得X=V2

3V2

R=—-—

該球的表面積S=4兀/?2=36TT

故答案為：36兀

15.答案：3+5=1

98

22

22

解析：解：橢圓C：京=l(a>b>0)與圓Cl：%+y=9^0672：/+y2=8均有且只有兩

22

個公共點，所以a=3,b=2?所以橢圓方程為：卷+三=1，

故答案為：立+比=1.

98

利用已知條件求出橢圓的半長軸與半短軸的長，即可得到橢圓方程.

本題考查橢圓的簡單性質，圓與橢圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，是基本知識的考查，基

礎題.

16.答案：327r

解析：

本題考查三棱錐的外接球知識，考查空間想象能力，屬于中檔題.

作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積.

解:記△BCD的夕卜心為G,

???BC=CD=2,乙BCD=120",

BD=14+4-2X2X2X（一號）=2V3.

口廠12V3Q

***BG=—X--1=-=2

2叵,

2

過G作的平行線與4B的中垂線H。交于。,

則。為四面體ABCD的外接球的球心，即R=OB,

???R=V4+4=2V2.

四面體ABCD外接球的表面積為：4TTR2=327r.

故答案為327r.

17.答案：B

解析：解：設正六棱柱的底面邊長為am,高為歷n,

??,正六棱柱的最大對角面的面積為47n2,

2ah=4m2,BPah=2m2,

,??互相平行的兩個側面的距離是2zn,

2x—<2=2>解得a=

23

正六邊形的面積=6x-xax—a=—a2(m2)?

222v7

?,?正六棱柱體積=正六邊形面積x高

3V3

=xaxah

3V32V3

=——x——x2

23

=6(m3).

故選：B.

設正六棱柱的底面邊長為cun,高為/un,推導出。/1=2血2,。=空1由此能求出正六棱柱體積.

37TB

本題考查六棱柱的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算

求解能力，是中檔題.

18.答案：解：p：(%+2)(x—10)>0,

???p：x<—2或%>10,

???~p：—2<x<10,

q：[%—(1—m)][x—(1+m)]<0,(m>0)

q：1—m<x<l+m,

,?eq是”的充分不必要條件，

m>0

1+m<10,解得0<TH<3,

1—m>—2

???實數瓶的取值范圍為(0,3]

解析：解不等式可得”：-2<%<10,q：l-m<x<l+m,由q是”的充分不必要條件可得

血的不等式組，解不等式組可得.

本題考查充要條件，涉及不等式組的解集，屬基礎題.

19.答案：0

解：(/)由題知4遇，平面48C。，所以AiALBC,

取AB的中點E,連接CE,DE,易證得BE〃CD,且BE=CD,所以四邊形4BCD為直角梯形,AB1DA,

又因為48=2DC,AB//DC,所以AB1CE,S.AB=2CE,

所以平行四邊形4DCE是正方形，

因止匕所以BC_L4C,

因為ClAC=2,

所以BC1平面44C

(〃)由(/)知2。，AB,A4i兩兩垂直，故分別以AD,AB,所在方向為X軸，V軸，Z軸建立空間直

角坐標系，且DC=1,設(O,O,z)(z>0),

則由題設條件知4(0,0,0),B(0,2,0),C(l,l,0),D(l,0,0)

.?.飛=(1,1,—z),砸=(1,0,—z),BC=

因為異面直線&D與BC所成的角為60。，

所以|cos(旅，初>|=蕭需=%解得z=l

設沆=(a,b,c)為平面&DC的一個法向量，貝嚅,熬二；，即｛:驍：；=0，解得b=0

設。=1,貝!Jc=1,所以沅=(1,0,1)

由(/)知能=(1,一1,0)為平面4/C的一個法向量，

,-、m:BClxl-lxO+Oxl1

cos<m,BC>=—-=r=-----尸一——=-

\m\\BC\V2xV22

由圖知二面角/—A^C—。為銳角

所以二面角a-ArC-。的大小為60°

解析：(/)由題意，可先證BC與平面44C中兩個相交線垂直，再由線面垂直的判定定理即可得出所

要證的結論；

(〃)考查本題的圖形，存在同一點出發(fā)的三個兩兩垂直的線段，故可建立空間直角坐標系，利用空間

向量求出二面角a-&c-。的大小.

20.答案：(/)背=x-w.；(〃)癡=避或.=1。

解析：試題分析：(/)曲線C的極坐標方程是瞬=鋤酶貫談化為直角坐標方程為：

直線4的直角坐標方程為：1=x-w：..........................5分

(口)解法一：由(1)知：圓心的坐標為(2,0),圓的半徑R=2,

二,圓心到直線I的距離瀟=,卜*一心恒科=立

.|R—'t—w|||'反嘲’.?I.MI

■■■----后一=—:qI?|||=.l.

:,W=涯或拗=；3..........................10分

后.

I般=:〃、也卡立秘

解法二：把《當（席是參數）代入方程富3#金鏟-崛=嘰

得鏟卡麻燧加一鳴解卡減產-4w：=?,

二簟十與=：—、愿物”：一邀:精眄=題:"—4w：-

,」./啜H除一%1卜拗115/一嫡%

=出心融-磔?-畿鐐-4堿=國

*->翻,*=亞或%M=；.蠹.....……1。分

考點：極坐標方程與直角坐標方程的互化；參數方程與直角坐標方程的互化；直線與圓的位置關系。

點評：將參數方程化為普通方程主要就是消去參數，消去參數常用的方法是代入消元法和利用三角

恒等式消去參數，有事需要把式子變形才能消去參數。

21.答案：解：如圖所示的一個側面四邊形，分別過點4B作AE1DC,人B

BF1DC,垂足分別為E,F.\：\

則四邊形48EF為矩形./!：\》

DEFC

：.EF=AB=4,DE=CF=2.

AE=<AD2-DE2=2V15.

???等腰梯形48C。的面積S=（4+8）x2.,

2

二正四棱臺的全面積S=4X（4+8）x2屬+42+82=48V15+80cm2.