人教版中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末解答題綜合復(fù)習(xí)卷（及答案）一、解答題1．（1）若一圓的面積與這個(gè)正方形的面積都是，設(shè)圓的周長(zhǎng)為，正方形的周長(zhǎng)為，則______．（填“=”或“<”或“>”號(hào)）（2）如圖，若正方形的面積為，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）計(jì)算圖①中正方形的面積與邊長(zhǎng)．（2）利用圖②中的正方形網(wǎng)格，作出面積為8的正方形，并在此基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)臄?shù)軸，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)和．3．如圖，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64．（1）求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)；（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形ABCD，求出陰影部分的邊長(zhǎng)．4．如圖,8塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,（1）每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少?(要求列方程組進(jìn)行解答)（2）小明想用一塊面積為7平方米的正方形桌布，沿著邊的方向裁剪出一塊新的長(zhǎng)方形桌布，用來(lái)蓋住這塊長(zhǎng)方形木桌，你幫小明算一算，他能剪出符合要求的桌布嗎？5．某市在招商引資期間，把已倒閉的油泵廠出租給外地某投資商，該投資商為減少固定資產(chǎn)投資，將原來(lái)的400m2的正方形場(chǎng)地改建成300m2的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，且其長(zhǎng)、寬的比為5：3．（1）求原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)；（2）如果把原來(lái)的正方形場(chǎng)地的鐵柵欄圍墻全部利用，圍成新場(chǎng)地的長(zhǎng)方形圍墻，那么這些鐵柵欄是否夠用？試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．二、解答題6．如圖，直線AB∥直線CD，線段EF∥CD，連接BF、CF．（1）求證：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）連接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求證：CE平分∠BCD；（3）在（2）的條件下，G為EF上一點(diǎn)，連接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度數(shù)．7．已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．8．如圖，，直線與、分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）若點(diǎn)在線段上（不與、、重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系；9．閱讀下面材料：小亮同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮寫出了該問(wèn)題的證明，請(qǐng)你幫他把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，則有∠BEF＝．∵ABCD，∴，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請(qǐng)你參考小亮思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖乙，已知：直線ab，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．10．已知直線，點(diǎn)P為直線、所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)．（1）如圖1，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點(diǎn)E在射線上，過(guò)點(diǎn)E作，作，點(diǎn)G在直線上，作的平分線交于點(diǎn)H，若，，求的度數(shù)．三、解答題11．為更好地理清平行線相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條、、、，做成折線，如圖1，且在折點(diǎn)B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．（1）如圖2，小明將折線調(diào)節(jié)成，，，判斷是否平行于，并說(shuō)明理由；（2）如圖3，若，調(diào)整線段、使得求出此時(shí)的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計(jì)算過(guò)程．（3）若，，，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)．12．已知，如圖①，∠BAD=50°，點(diǎn)C為射線AD上一點(diǎn)（不與A重合），連接BC．（1）[問(wèn)題提出]如圖②，AB∥CE，∠BCD=73°，則：∠B=．（2）[類比探究]在圖①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并用平行線的性質(zhì)說(shuō)明理由．（3）[拓展延伸]如圖③，在射線BC上取一點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作直線MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，OF平分∠BON交AD于F點(diǎn)，交AD于G點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)沿著射線AD方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FOG的度數(shù)是否會(huì)變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)不變的值．13．已知點(diǎn)A，B，O在一條直線上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)在直線AB的同一側(cè)作射線，，使．（1）如圖①，若平分，求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，使得所在射線把分成兩個(gè)角．①若，求的度數(shù)；②若（n為正整數(shù)），直接用含n的代數(shù)式表示．14．綜合與探究綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線，，且，三角形是直角三角形，，，操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．，求的度數(shù)；（2）如圖2．創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．實(shí)踐探究：（3）填密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，平分，此時(shí)發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．15．如圖1，，在、內(nèi)有一條折線．（1）求證：；（2）在圖2中，畫的平分線與的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，試探索與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，已知和均為鈍角，點(diǎn)在直線、之間，且滿足，，（其中為常數(shù)且），直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．四、解答題16．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)G重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)D在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點(diǎn)F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由17．解讀基礎(chǔ)：（1）圖1形似燕尾，我們稱之為“燕尾形”，請(qǐng)寫出、、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）圖2形似8字，我們稱之為“八字形”，請(qǐng)寫出、、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：應(yīng)用樂(lè)園：直接運(yùn)用上述兩個(gè)結(jié)論解答下列各題（3）①如圖3，在中，、分別平分和，請(qǐng)直接寫出和的關(guān)系；②如圖4，．（4）如圖5，與的角平分線相交于點(diǎn)，與的角平分線相交于點(diǎn)，已知，，求和的度數(shù)．18．如圖，直線m與直線n互相垂直，垂足為O、A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿直線m向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B沿直線n向上運(yùn)動(dòng)．(1)若∠BAO和∠ABO的平分線相交于點(diǎn)Q，在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠AQB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值，若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若AP是∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線，BP是∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線，AP、BP相交于點(diǎn)P，AQ的延長(zhǎng)線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠P和∠C的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠P和∠C的度數(shù)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，△ABC和△ADE有公共頂點(diǎn)A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，則∠EAC＝；（2）如圖1，過(guò)AC上一點(diǎn)O作OG⊥AC，分別交AB、AD、AE于點(diǎn)G、H、F．①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求線段OF的長(zhǎng)；②如圖2，∠AFO的平分線和∠AOF的平分線交于點(diǎn)M，∠FHD的平分線和∠OGB的平分線交于點(diǎn)N，∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖①所示，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處.（1）若，________.（2）如圖①，若各個(gè)角度不確定，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.②當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不成立，，，之間又存在什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明．（3）應(yīng)用：如圖③：把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后，且三個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中的和是________.【參考答案】一、解答題1．（1）＜；（2）不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長(zhǎng)，再分別求得其周長(zhǎng)，根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由題意得關(guān)于解析：（1）＜；（2）不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長(zhǎng)，再分別求得其周長(zhǎng)，根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由題意得關(guān)于的方程，解得的值，從而可得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，將其與正方形的邊長(zhǎng)比較，可得答案．【詳解】解：（1）圓的面積與正方形的面積都是，圓的半徑為，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，，．（2）不能裁出長(zhǎng)和寬之比為的長(zhǎng)方形，理由如下：設(shè)裁出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，由題意得：，解得或（不合題意，舍去），長(zhǎng)為，寬為，正方形的面積為，正方形的邊長(zhǎng)為，，不能裁出長(zhǎng)和寬之比為的長(zhǎng)方形．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長(zhǎng)計(jì)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．2．（1）正方形的面積為10，正方形的邊長(zhǎng)為；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積，然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)（1）的方法畫解析：（1）正方形的面積為10，正方形的邊長(zhǎng)為；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積，然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)（1）的方法畫出圖形，然后建立數(shù)軸，根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可表示出結(jié)論．【詳解】解：（1）正方形的面積為4×4－4××3×1=10則正方形的邊長(zhǎng)為；（2）如下圖所示，正方形的面積為4×4－4××2×2=8，所以該正方形即為所求，如圖建立數(shù)軸，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形的邊長(zhǎng)為半徑作弧，分別交數(shù)軸于兩點(diǎn)∴正方形的邊長(zhǎng)為∴弧與數(shù)軸的左邊交點(diǎn)為，右邊交點(diǎn)為，實(shí)數(shù)和在數(shù)軸上如圖所示．【點(diǎn)睛】此題考查的是求網(wǎng)格中圖形的面積和實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握算術(shù)平方根的意義和利用數(shù)軸表示無(wú)理數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（1）棱長(zhǎng)為4；（2）邊長(zhǎng)為：（或）【分析】（1）由立方體的體積為棱長(zhǎng)的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計(jì)算得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，即正方體的棱長(zhǎng)為4．解析：（1）棱長(zhǎng)為4；（2）邊長(zhǎng)為：（或）【分析】（1）由立方體的體積為棱長(zhǎng)的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接計(jì)算得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，即正方體的棱長(zhǎng)為4．（2）因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，所以AB＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是立方根與算術(shù)平方根的理解與計(jì)算，由實(shí)際的情境去理解問(wèn)題本身就是求一個(gè)數(shù)的立方根與算術(shù)平方根是關(guān)鍵．4．(1)長(zhǎng)是1.5m,寬是0.5m.；（2）不能.【解析】【分析】（1）設(shè)每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xm,寬為ym,列方程組求解即可；（2）把正方形的邊長(zhǎng)與大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比較即可.【詳解】解:解析：(1)長(zhǎng)是1.5m,寬是0.5m.；（2）不能.【解析】【分析】（1）設(shè)每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xm,寬為ym,列方程組求解即可；（2）把正方形的邊長(zhǎng)與大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比較即可.【詳解】解:（1）設(shè)每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xm,寬為ym,由題意得:

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解得:,

∴長(zhǎng)是1.5m,寬是0.5m.（2）∵正方形的面積為7平方米，∴正方形的邊長(zhǎng)是米，∵<3,∴他不能剪出符合要求的桌布.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，算術(shù)平方根的應(yīng)用，找出等量關(guān)系列出方程組是解（1）的關(guān)鍵，求出正方形的邊長(zhǎng)是解（2）的關(guān)鍵.5．（1）原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為80m；（2）這些鐵柵欄夠用．【分析】（1）正方形邊長(zhǎng)=面積的算術(shù)平方根，周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，由此解答即可；（2）長(zhǎng)、寬的比為5：3，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為解析：（1）原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為80m；（2）這些鐵柵欄夠用．【分析】（1）正方形邊長(zhǎng)=面積的算術(shù)平方根，周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，由此解答即可；（2）長(zhǎng)、寬的比為5：3，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為5am，計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬可知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，同理可得正方形的周長(zhǎng)，比較大小可知是否夠用．【詳解】解：（1）=20（m），4×20=80（m），答：原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為80m；（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為5am．由題意有：3a×5a=300，解得：a=±，∵3a表示長(zhǎng)度，∴a＞0，∴a=，∴這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為2(3a+5a)=16a=16（m），∵80=16×5=16×＞16，∴這些鐵柵欄夠用．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)．二、解答題6．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進(jìn)而解答即可；（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進(jìn)而解答即可；（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）設(shè)∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．7．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，即，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．8．（1）證明見(jiàn)解析；（2）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在上，再過(guò)點(diǎn)作即可求解．【詳解】（1）證明：解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在上，再過(guò)點(diǎn)作即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴．（2）補(bǔ)全圖形如圖2、圖3，猜想：或．證明：過(guò)點(diǎn)作．∴．∵，∴∴，∴．∵平分，∴．如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∵平分，∴，∵，∴，即．如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∵平分，∴．∴．即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)、角平分線的基本性質(zhì)及角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出平行線，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．9．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC＝60°，解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，參考小亮思考問(wèn)題的方法即可求∠BED的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，∠ABC＝α，∠ADC＝β，參考小亮思考問(wèn)題的方法即可求出∠BED的度數(shù)．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案為：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度數(shù)為65°；②如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．答：∠BED的度數(shù)為180°﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．10．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）見(jiàn)解析；（3）55°【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證得∠A+∠C+∠APC=360解析：（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）見(jiàn)解析；（3）55°【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可證得∠A+∠C+∠APC=360°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得∠APC=∠A+∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先證∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根據(jù)∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．【詳解】解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ=180°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ=180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；（2）∠APC=∠A+∠C，如圖2，作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C=∠CPQ，∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，∴∠APC=∠A-∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，∵∠APC=30°，∠PAB=140°，∴∠PCD=110°，∵AB∥CD，∴∠PQB=∠PCD=110°，∵EF∥BC，∴∠BEF=∠PQB=110°，∵EF∥BC，∴∠BEF=∠PQB=110°，∵∠PEG=∠PEF，∴∠PEG=∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH=∠BEG，∴∠PEH=∠PEG-∠GEH=∠FEG-∠BEG=∠BEF=55°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題11．（1）平行，理由見(jiàn)解析；（2）35°或145°，畫圖、過(guò)程見(jiàn)解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)∠B=50°，∠C=85°，∠D=35°，即可得C解析：（1）平行，理由見(jiàn)解析；（2）35°或145°，畫圖、過(guò)程見(jiàn)解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)∠B=50°，∠C=85°，∠D=35°，即可得CF∥ED，進(jìn)而可以判斷AB平行于ED；（2）根據(jù)題意作AB∥CD，即可∠B=∠C=35°；（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算出∠B的度數(shù)．【詳解】解：（1）AB平行于ED，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∴∠BCF=∠B=50°，∵∠BCD=85°，∴∠FCD=85°-50°=35°，∵∠D=35°，∴∠FCD=∠D，∴CF∥ED，∵CF∥AB，∴AB∥ED；（2）如圖，即為所求作的圖形．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=35°，∴∠B的度數(shù)為：35°；∵A′B∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∴∠B的度數(shù)為：145°；∴∠B的度數(shù)為：35°或145°；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∴∠B=∠BCF=50°．答：∠B的度數(shù)為50°．如圖5，過(guò)C作CF∥AB，則AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=130°；如圖6，∵∠C=85°，∠D=35°，∴∠CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=60°，如圖7，同理得：∠B=35°+85°=120°，綜上所述，∠B的度數(shù)為50°或130°或60°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運(yùn)用．12．（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出的度數(shù)，利用內(nèi)錯(cuò)角相等可求出角的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作∥，類似（1）利用平行線的性質(zhì)，得出三個(gè)角的關(guān)系；（3）運(yùn)用解析：（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出的度數(shù)，利用內(nèi)錯(cuò)角相等可求出角的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)作∥，類似（1）利用平行線的性質(zhì)，得出三個(gè)角的關(guān)系；（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，可求出的度數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)椤?，所以，因?yàn)椤螧CD=73°，所以，故答案為：（2），如圖②，過(guò)點(diǎn)作∥，則，．因?yàn)椋?，?）不變，設(shè)，因?yàn)槠椒郑裕桑?）的結(jié)論可知，且，則：．因?yàn)椤?，所以，因?yàn)槠椒?，所以．因?yàn)椤?，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明角相等，通過(guò)等量代換等方法得出角之間的關(guān)系．13．（1）；（2）①；②．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義可求得，再依據(jù)角的和差依次可求得和，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；（2）①根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根據(jù)比例關(guān)系可得，最解析：（1）；（2）①；②．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義可求得，再依據(jù)角的和差依次可求得和，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；（2）①根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根據(jù)比例關(guān)系可得，最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論；②根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根據(jù)比例關(guān)系可得，最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵平分，，∴，∴，∴，∴；（2）①∵，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，∴∠EOC=∠BOD，∵，，∴，∴，∴，∴；②∵，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，∴∠EOC=∠BOD，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角的計(jì)算，角的和差，角平分線的有關(guān)計(jì)算．能正確識(shí)圖，利用角的和差求得相應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．14．（1）；（2）理由見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由平角定義求出∠3＝42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠解析：（1）；（2）理由見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由平角定義求出∠3＝42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠DBC，則∠ABD＝∠ABC?∠DBC＝60°?∠1，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥a，由角平分線定義得∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°，由平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAM＝60°，∠PCA＝∠CAM＝30°，∠2＝∠BCP＝60°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，，，，；圖1（2）理由如下：如圖2．過(guò)點(diǎn)作，圖2，，，，，，；（3），圖3理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，平分，，，又，，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、平角的定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；（2）由（1）結(jié)論可得：，，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得；（3）由（２）結(jié)論可得：．【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；（2）由（1）結(jié)論可得：，，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得；（3）由（２）結(jié)論可得：．【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∴，，又∵，∴；（2）如圖2，由（1）可得：，，∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，∴，∴；（3）由（２）可得：，，∵，，∴，∴；【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定是關(guān)鍵．四、解答題16．（1）①115°；110°；②；理由見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②；理由見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分線定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，則∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為：115°；110°；②；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C，，，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1），理由詳見(jiàn)解析；（2），理由詳見(jiàn)解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等即可得出結(jié)解析：（1），理由詳見(jiàn)解析；（2），理由詳見(jiàn)解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；②連結(jié)BE，由（2）的結(jié)論及四邊形內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)（1）的結(jié)論、角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）．理由如下：如圖1，，，，；（2）．理由如下：在中，，在中，，，；（3）①，，、分別平分和，，．故答案為：．②連結(jié)．∵，．故答案為：；（4）由（1）知，，，，，，，，，，，；．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，進(jìn)行合理的等量代換是解題的關(guān)鍵．18．(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不變，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和，由角平分線和角的和差可求出∠BA解析：(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不變，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和，由角平分線和角的和差可求出∠BAQ與∠ABQ的和，最后在△ABQ中，根據(jù)三角形的內(nèi)角各定理可求∠AQB的大?。?2)題求∠P的大小，用鄰補(bǔ)角、角平分線、平角、直角和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)求解．【詳解】解：(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化，如圖1所示，其原因如下：∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，又∵AQ、BQ分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠BAQ＝∠BAC，∠ABQ＝∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝(∠ABO+∠BAO)＝又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．(2)如圖2所示：①∠P的大小不發(fā)生變化，其原因如下：∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，又∵AP、BP分別是∠BAE和∠ABP的角平分線，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABF，∴∠PAB+∠PBA＝(∠EAB+∠ABF)＝×270°＝135°，又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠P＝180°﹣135°＝45°．②∠C的大小不變，其原因如下：∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣135°，又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，垂直，角平分線，平角，直角和角的和差等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)，也是一個(gè)以靜求動(dòng)的一個(gè)點(diǎn)型題目，有益于培養(yǎng)學(xué)生的思維幾何綜合題．19．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行線的性