二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：結(jié)論：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小?？偨Y(jié)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：結(jié)論：上加下減?？偨Y(jié)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：結(jié)論：左加右減?？偨Y(jié)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：總結(jié)：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．三、二次函數(shù)與的比較請(qǐng)將利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將配成?？偨Y(jié)：從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中．四、二次函數(shù)圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，有最大值．六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，的值越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向，的大小決定開(kāi)口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．⑴在的前提下，當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱(chēng)軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置．總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是．5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式．二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離.②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，；3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：二次函數(shù)綜合練習(xí)一、填空題：１、拋物線y＝－x2＋1的開(kāi)口向＿＿＿＿。２、拋物線y＝2x2的對(duì)稱(chēng)軸是＿＿＿＿。xyO1xyO112-1４、將拋物線y＝2x2向下平移2個(gè)單位，所得的拋物線的解析式為＿＿＿＿＿＿＿＿。５、函數(shù)y＝x2＋bx＋3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,0)，則b＝＿＿＿＿。６、二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2，當(dāng)x＝＿＿＿＿時(shí)，y有最小值。７、函數(shù)y＝(x－1)2＋3，當(dāng)x＿＿＿＿時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大。圖1８、將y＝x2－2x＋3化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，則y＝＿＿＿＿。９、若點(diǎn)A(2,m)在函數(shù)y＝x2－1的圖像上，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是＿＿＿＿。10、拋物線y＝2x2＋3x－4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是＿＿＿＿。11、請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次函數(shù)以（2,3）為頂點(diǎn)，且開(kāi)口向上。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。12、已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖1所示：則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y＝＿。二、選擇題：１、在圓的面積公式S＝πr2中，s與r的關(guān)系是（）xyxyO２、已知函數(shù)y＝(m＋2)是二次函數(shù)，則m等于（）A、±2B、2C、－2D、±３、已知y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖2所示，則a、b、c滿(mǎn)足（）A、a＜0，b＜0，c＜0B、a＞0，b＜0，c＞0圖2C、a＜0，b＞0，c＞0D、a＜0，b＜0，c＞0４、蘋(píng)果熟了，從樹(shù)上落下所經(jīng)過(guò)的路程s與下落時(shí)間t滿(mǎn)足S＝gt2（g＝9.8），則s與t的函數(shù)圖像大致是（）stOstOstOstOstOstOABCD５、拋物線y＝－x2不具有的性質(zhì)是（）A、開(kāi)口向下 B、對(duì)稱(chēng)軸是y軸 C、與y軸不相交 D、最高點(diǎn)是原點(diǎn)６、拋物線y＝x2－4x＋c的頂點(diǎn)在x軸，則c的值是（）A、0 B、4 C、－4 D、2三、解答題：１、如圖3，矩形的長(zhǎng)是4cm，寬是3cm，如果將長(zhǎng)和寬都增加xcm，那么面積增加ycm2，①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。②求當(dāng)邊長(zhǎng)增加多少時(shí)，面積增加8cm2。圖3２、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－2，1），且過(guò)點(diǎn)（1，－2），求拋物線的解析式。３、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)（0，1），（2，1）和（3，4），求該二次函數(shù)的解析式。四、校運(yùn)會(huì)上，小明參加鉛球比賽，若某次試擲，鉛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x2＋x＋，求小明這次試擲的成績(jī)及鉛球的出手時(shí)的高度。3.50.5027月份3.50.5027月份千克銷(xiāo)售價(jià)(元)六、商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，減少庫(kù)存，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果一件襯衫每降價(jià)1元，每天可多售出2件。①設(shè)每件降價(jià)x元，每天盈利y元，列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②若商場(chǎng)每天要盈利1200元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？③每件降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天的盈利達(dá)到最大？盈利最大是多少元？[與直線綜合]1、已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)（3，4），B點(diǎn)在y軸上.（1）求m值及這個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式；（2）P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），過(guò)P做x軸X垂線與二次函數(shù)交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE長(zhǎng)為h，點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x取值范圍；（3）D為線段AB與二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，在AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2、拋物線y=x2+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.（1）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中是否存在點(diǎn)P，與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連結(jié)CA與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線CM的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[與相似三角形綜合]如圖所示，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．（3）在