DepartmentofMathematics4.3用留數(shù)計(jì)算定積分11/38留數(shù)定理應(yīng)用--積分計(jì)算:（2）利用留數(shù)計(jì)算積分，沒(méi)有一些通用方法，我們主要經(jīng)過(guò)例子進(jìn)行討論；利用留數(shù)計(jì)算積分特點(diǎn)：（1）利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算一些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)留數(shù)，從而大大化簡(jiǎn)了計(jì)算；22/38思想方法:封閉路線積分.兩個(gè)主要工作:1)積分區(qū)域轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條形如積分33/38當(dāng)經(jīng)歷變程時(shí),正方向繞行一周.z沿單位圓周z有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿(mǎn)足留數(shù)定理?xiàng)l件.包圍在單位圓周內(nèi)諸孤立奇點(diǎn).注:44/38例1

解

故積分有意義.故55/3866/38所以而77/38注:此時(shí)例2

計(jì)算積分解則88/3899/38由留數(shù)定理例3計(jì)算解1010/38由留數(shù)定理1111/38注:例4計(jì)算積分解1212/38

在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算反常積分值，如數(shù)學(xué)分析計(jì)算這些積分麻煩,無(wú)統(tǒng)一方法;用留數(shù)計(jì)算,較簡(jiǎn)捷.1313/381414/381引理6.1證實(shí)因?yàn)橛谑怯?515/38于是有1616/382定理6.71717/38證實(shí)由條件(1),(2)及數(shù)學(xué)分析結(jié)論,知x..依據(jù)留數(shù)定理得:1818/38或?qū)懗梢驗(yàn)?919/38解

例52020/382121/38解

例62222/382323/38引理6.2xy..2424/38證實(shí)于是就有于是由Jordan不等式2525/38將(6.13)化為應(yīng)用引理6.2,完全和證實(shí)定理6.7一樣可得2626/382定理6.8則有注:將(6.14)分開(kāi)實(shí)虛部,就可得到形如積分.2727/38證實(shí)x..依據(jù)留數(shù)定理得:2828/38或?qū)懗梢驗(yàn)?929/38例7計(jì)算積分解

且在上半平面只有一個(gè)二階極點(diǎn)3030/38注意以上兩型積分中被積函數(shù)中R(x)在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn).3131/38四計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)積分引理6.3證實(shí)因?yàn)橛谑怯?232/38于是有3333/38例8計(jì)算積分解

即3434/38由引理6.2知由引理6.3知3535/38解

五雜例例9它是一個(gè)整函數(shù),則