專題03導數(shù)及導數(shù)的應用題型01切線方程1.（2024·廣東中山·二模）已知，函數(shù)的零點個數(shù)為，過點與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，即時，，解得，時，，無解，故，設過點與曲線相切的直線的切點為，當時，，則有，有，整理可得，即，即當時，有一條切線，當時，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，由，，故在上沒有零點，又，故在上必有唯一零點，即當時，亦可有一條切線符合要求，故.故選：B.2.（2024·廣東肇慶·二模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量，需要用復合函數(shù)的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由給定定義得，對左右兩側同時求導，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B3.（2024·廣東江門·二模）已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為.【答案】(答案不唯一)【詳解】，由題意可知，，即，所以，得，，，或，得，，，所以，，,所以的一個取值為.故答案為：(答案不唯一)4.（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，得，則，，.故曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設，，，則證明等價于證明，，即證，從而構造函數(shù)，利用其調性證明結論.令，則，當時，，在單調遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調遞增.當時，，則，則，在單調遞減，當時，，則，則，在單調遞增.因為，所以，即在上恒成立，從而.題型02函數(shù)的單調性1.（2024·廣東·二模）函數(shù)的定義域為，若，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】構造函數(shù)，滿足，，則由可得，解得：.故選：B.2.（2024·廣東韶關·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則，得，設，則，令，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A3.（2024·廣東清遠·二模）已知，則“”是“函數(shù)在上單調遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】對于函數(shù)當時，，為常數(shù)函數(shù)，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充分而不必要條件.故選：A.4.（2024·廣東梅州·二模）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，.設是的導函數(shù)，則關于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，且為偶函數(shù)，故，由導數(shù)性質結合圖象可得當時，，當時，，當時，即，則由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定義域內(nèi)），由，可得，綜上所述，關于x的不等式的解集為.故選：D.5.（2024·廣東河源·二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調遞增區(qū)間為．【答案】【詳解】當時，,由，解得，所以在區(qū)間上單調遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于原點對稱，所以在區(qū)間上單調遞增.故答案為：.6.（2024·廣東韶關·二模）已知函數(shù)在點處的切線平行于軸．(1)求實數(shù)；(2)求的單調區(qū)間和極值．【答案】(1)1(2)答案見解析【詳解】（1）由可得：，由題意，，解得；（2）由（1）得，，則，當時，，則在上是減函數(shù)；當時，，在上是增函數(shù).故時，函數(shù)有極小值為，無極大值.故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為，無極大值.7.（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增.(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由題可得因為，所以，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增.綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無解，則滿足條件的兩點不存在.題型04有關參數(shù)問題1.（2024·廣東珠?！ざ＃┮阎瘮?shù).(1)討論的單調性；(2)若關于的不等式無整數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1），當，得，當時，時，，單調遞增，時，，單調遞減，當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞增，綜上可知，時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間.（2）不等式，即，設，，設，，所以單調遞增，且，，所以存在，使，即，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，因為，所以，當時，，當時，，不等式無整數(shù)解，即無整數(shù)解，若時，不等式恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，若時，即，因為函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，符合題意，當時，因為，顯然是的兩個整數(shù)解，不符合題意，綜上可知，.2．（2024·廣東·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；(2)當時，討論的單調性；(3)若集合有且只有一個元素，求的值．【答案】(1)(2)單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為(3)【詳解】（1）當時，，所以,得到，所以曲線在點處切線的斜率為．（2）當時，，易知的定義域為，又，因為，所以，所以時，，時，所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為．（3）因為，所以，易知，當時，的定義域為，所以恒成立，故在上單調遞增，又，所以不合題意，當時，的定義域為，此時，所以時，，時，，故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以．設，則，當時，，時，，所以的單調遞減區(qū)間為；單調遞增區(qū)間為．所以，所以集合有且只有一個元素時．3．（2024·廣東東莞·二模）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.【答案】(1)的增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【詳解】（1）易知定義域為，因為，所以，由，得到，當時，，當時，，所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）令，則，由（1）知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以在時取得最大值，所以當時，，當時，，即當時，，所以函數(shù)在存在最大值的充要條件是，即，令，則恒成立，所以是增函數(shù)，又因為，所以的充要條件是，所以的取值范圍為.題型04函數(shù)的極值1.（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域為，，又函數(shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個零點，由，所以方程有兩個不同的正實數(shù)，所以，即.故選：B2.（2024·廣東珠海·二模）已知函數(shù)既有極大值，也有極小值，則下列關系式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意得，∵既有極大值，也有極小值，∴有兩個不同的根，即有兩個不同的根，顯然，故有兩個不同的根，令，則與圖象有兩個交點，因為在R上單調遞增，且，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以；所以，即，即，故選：D.3.（2024·廣東東莞·二模）在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)及其導函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（

）A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為1【答案】C【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，則另外一個函數(shù)應該單調遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，故恒成立，故在R上單調遞增，則A，B顯然錯誤，對于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調遞增，當，，單調遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.故選：C4.（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），當時，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數(shù)單調遞減，無極大值；若，當或時，，當時，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數(shù)．題型05函數(shù)零點問題1.（2024·廣東江門·二模）若函數(shù)大于0的零點有且只有一個，則實數(shù)的值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)有且僅有一個正零點，即方程有且僅有一個正根，令，則，當時，，當時，，當時，，即函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，且，時，，時，，時，，可作出圖象如下，方程有且僅有一個正根，所以.故選：D.2.（2024·廣東·模擬預測）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】法一：設，則函數(shù)有兩個零點轉化為函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，因為，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則，當時，；當時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.法二：函數(shù)有兩個零點可轉化為函數(shù)的圖像與直線有兩個交點．因為函數(shù)的圖像與軸交于點，且函數(shù)在點處的切線方程為，所以直線與該切線平行，且該直線與軸交于點，所以點在點上方，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：D．3.（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由函數(shù)，設，可得，單調遞增，且，，所以存在唯一的，使，即，令，即，設，可得，則在上單增，又由且時，，所以當時，存在唯一的，使，即，若時，可得，則，可得，所以，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．4.（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當時，；(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點．【詳解】（1）證明，令，則，記，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減：在上單調遞增，從而在上，，所以在上單調遞增，因此在上，，即；（2），，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當時，遞減，時，遞增，，而，，在上無零點，在,上有唯一零點，綜上，當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點．5.（2024·廣東·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在點處的切線與直線垂直，求a的值；(2)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意可知：，可知，且直線的斜率為，由題意可知：，解得．（2）由得，令，可知的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)，則，因為，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞增，且趨近于0時，趨近于，，，當或時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)沒有零點．題型06導數(shù)的綜合應用1.（2024·廣東韶關·二模）（多選）已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關于直線對稱 B．C．的周期為4 D．【答案】ACD【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關于直線對稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ACD2.（2024·廣東梅州·二模）已知，若，均有不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意知，，得則，令，則，即，得，所以，，又函數(shù)在R上單調遞增，所以函數(shù)在R上單調遞增，且，所以單調遞減，單調遞增，故，因為恒成立，即不等式在R上恒成立，由，得，解得，即實數(shù)n的取值范圍為.故答案為：4.（2024·廣東·模擬預測）已知函數(shù).(1)求曲線與的公切線的條數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)2條(2)【詳解】（1）設的切點分別為，則，故在切點處的切線方程分別為，則需滿足；,故，解得或，因此曲線與有兩條不同的公切線，（2）由可得，即對于恒成立，，結合解得設，則當時單調遞減，當時，單調遞增，故當，故因此，，令，則，令，得，當時，此時，，故在上單調遞減，所以，所以，由于進而，滿足題意，當時，此時，令，解得單調遞增，令，解得單調遞減，故，令，則，由于，所以，故在單調遞減，故，即可，因此所以，由于進而，滿足題意，綜上可得5.（2024·廣東·模擬預測）設函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)證明：存在，使得當時，.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，所以，則，則曲線在點處的切線方程為，因此.（2）因為，，由得到，由得到，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，要證：，即證：，只需證：，.設，則，設，則，當時，，所以在上單調遞減，而，，故必存在唯一，使得，所以當時，，即；當時，，即.所以在上單調遞增，在上單調遞減，而，，所以在上恒成立，即成立，原命題得證.6.（2024·廣東韶關·二模）記上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(3)設數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【詳解】（1）因為，則，從而有，由，則，則，解得則有，所以；（2）由，則，所以，故（非零常數(shù)），且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；