人教版初二上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（一）1．如圖①，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，BD=AE，BE與CD交于點(diǎn)O．（1）填空：∠BOC＝度；（2）如圖②，以CO為邊作等邊△OCF，AF與BO相等嗎？并說明理由；（3）如圖③，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，連接AO、GO，判斷AO與GO有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．2．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在第一象限，，（1）如圖，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖，作的角平分線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：（3）若點(diǎn)在第二象限，且為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且，為軸上點(diǎn)右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，直線交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在軸上的位置是否發(fā)生變化，為什么？4．在中，，點(diǎn)在邊上，且是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合，且)，在射線上截取，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)說明線段；②如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，請(qǐng)說明；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果，不需要證明)．5．以點(diǎn)為頂點(diǎn)作等腰，等腰，其中，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接、．（1）試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)試求的度數(shù)；（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說明理由．6．閱讀材料1：對(duì)于兩個(gè)正實(shí)數(shù)，由于，所以，即，所以得到，并且當(dāng)時(shí)，閱讀材料2：若，則，因?yàn)?，，所以由閱讀材料1可得：，即的最小值是2，只有時(shí)，即=1時(shí)取得最小值.根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)回答以下問題：(1)比較大小(其中≥1)；

-2(其中<-1)(2)已知代數(shù)式變形為，求常數(shù)的值(3)當(dāng)=時(shí)，有最小值，最小值為(直接寫出答案).7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，在BD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E滿足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于點(diǎn)F．(1)如圖1，連CF，求證：△ACF≌△AEF．(2)如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，線段AF，EF，BF之間存在某種數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．(3)如圖3，當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，且AE∥BC，若EF＝3，請(qǐng)直接寫出線段BD的長(zhǎng)是（只填寫結(jié)果）．8．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．(1)如圖1，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰，若，，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰．當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，整式的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理出；(3)如圖3，若，于點(diǎn)F，以O(shè)B為邊作等邊，連接AM交OF于點(diǎn)N，若，，請(qǐng)直接寫出線段AM的長(zhǎng)．【參考答案】2．（1）120；（2）相等，理由見解析；（3）AO=2OG．理由見解析【分析】（1）證明△EAB≌△DBC（SAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：AF=BO，證明△FCA≌△OCB（SAS），可得結(jié)解析：（1）120；（2）相等，理由見解析；（3）AO=2OG．理由見解析【分析】（1）證明△EAB≌△DBC（SAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：AF=BO，證明△FCA≌△OCB（SAS），可得結(jié)論．（3）證明△AFO≌△OBR（SAS），推出OA=OR，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，在△EAB和△DBC中，，∴△EAB≌△DBC（SAS），∴∠ABE=∠BCD，∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°．故答案為：120．（2）相等．理由：如圖②中，∵△FCO，△ACB都是等邊三角形，∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，∴∠FCA=∠OCB，在△FCA和△OCB中，，∴△FCA≌△OCB（SAS），∴AF=BO．（3）如圖③中，結(jié)論：AO=2OG．理由：延長(zhǎng)OG到R，使得GR=GO，連接CR，BR．在△CGO和△BGR中，，∴△CGO≌△BGR（SAS），∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，AF=BO，∴CO∥BR，∵△FCA≌△OCB，∴∠AFC=∠BOC=120°，∵∠CFO=∠COF=60°，∴∠AFO=∠COF=60°，∴AF∥CO，∴AF∥BR，∴∠AFO=∠RBO，在△AFO和△OBR中，，∴△AFO≌△OBR（SAS），∴OA=OR，∵OR=2OG，∴OA=2OG．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（1）C；（2）見解析；（3）或或【分析】（1）作垂足為，證明，求出CM和OM的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，先證明，得BD=CF，再證明，得CE=EF，即可證明結(jié)論；（3）解析：（1）C；（2）見解析；（3）或或【分析】（1）作垂足為，證明，求出CM和OM的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，先證明，得BD=CF，再證明，得CE=EF，即可證明結(jié)論；（3）分情況討論，畫出對(duì)應(yīng)的等腰直角三角形的圖象，做輔助線構(gòu)造全等三角形，求出點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：如圖中，作垂足為，，，，在和中，，點(diǎn)坐標(biāo)；如圖，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，，在和中，，，，在和中，，，；（3）①如圖，，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，在和中，，∴，∴，，∴，∴；②如圖，，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，在和中，，∴，∴，，∴，∴；③如圖，，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵，，∴，在和中，，∴，設(shè)，，∵，，∴，解得，∴，，∴；綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和幾何綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握作輔助線構(gòu)造全等三角形的方法，利用全等三角形的性質(zhì)求解點(diǎn)坐標(biāo)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想．4．（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；（3）設(shè)，由全等三角形的性質(zhì)可得出，故為定值，再由，可知的長(zhǎng)度不變，故可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，解得，，，作于點(diǎn)，，，，，在與中，，，；（2）證明：，，即，在與中，，；（3）點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．理由：設(shè)，由（2）知，，，，為定值，，長(zhǎng)度不變，點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5．（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等邊三角形得到是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得解析：（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）BF＝AE-CD【分析】（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角，求到，再由含有60°角的等腰三角形是等邊三角形得到是等邊三角形，之后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由△DEF為等邊三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根據(jù)線段的和差即可整理出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】（1）①證明：，且E與A重合，是等邊三角形在和中②如圖2，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF為等邊三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易證△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如圖3，和（1）中②相同，過點(diǎn)A做AG∥EF交BC于點(diǎn)G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（1）BD=CE，理由見解析；（2）90°；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△解析：（1）BD=CE，理由見解析；（2）90°；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則BD=CE；（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．【詳解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，又∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，∴∠BFC=∠DAB=90°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì).判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，熟知判定方法并根據(jù)題目條件選擇合適的方法進(jìn)行解答．7．（1）；（2）；（3）0，3．【分析】（1）根據(jù)求差法比較大小，由材料1可知將結(jié)果用配方法變形即可得出結(jié)論.（2）根據(jù)材料（2）的方法，把代數(shù)式變形為，解答即可；（3）先將變形為,由材料解析：（1）；（2）；（3）0，3．【分析】（1）根據(jù)求差法比較大小，由材料1可知將結(jié)果用配方法變形即可得出結(jié)論.（2）根據(jù)材料（2）的方法，把代數(shù)式變形為，解答即可；（3）先將變形為,由材料（2）可知時(shí)（即x=0，）有最小值．【詳解】解：（1），所以；當(dāng)時(shí)，由閱讀材料1可得，，所以；（2），所以；（3）∵x≥0，∴即：當(dāng)時(shí)，有最小值，∴當(dāng)x=0時(shí)，有最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算和配方法的應(yīng)用．讀懂材料并加以運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．8．(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)6【分析】（1）由角平分線的定義可知，再根據(jù)等量代換得出AC=AE，由此可直接利用“SAS”證明；（2）在BE上截取BM=CF，連接AM．由解析：(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)6【分析】（1）由角平分線的定義可知，再根據(jù)等量代換得出AC=AE，由此可直接利用“SAS”證明；（2）在BE上截取BM=CF，連接AM．由所作輔助線易證，得出，．由題意易判斷為等邊三角形，即可求出，即說明為等邊三角形，得出，由此即得出；（3）延長(zhǎng)BA，CF交于點(diǎn)N．由題意可知為等腰直角三角形，即，．根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角即得出BE為的角平分線，從而可求出，進(jìn)而可求出．由角平分線的性質(zhì)可得出，從而可求出．又易證，即得出．(1)∵AF平分∠CAE，∴．∵AB=AC，AB=AE，∴AC=AE．又∵AF=AF，∴．(2)證明：∵，∴，．如圖，在BE上截取BM=CF，連接AM．在和中，，∴，∴，．∵，，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，即，∴為等邊三角形，∴，∴．即AF，EF，BF之間存在的關(guān)系為：；(3)如圖，延長(zhǎng)BA，CF交于點(diǎn)N．∵，，∴為等腰直角三角形，∴，．∵AE∥BC，∴．∵，∴，∴．由（1）可知，∴，∴，即．∵為的角平分線，∴．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，綜合性強(qiáng)，較難．解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．(1)(2)整式的值不發(fā)生變化．其值為(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以證明，由，，再由條件就可以求出的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以證明，則有為定值，從而可以得出結(jié)論的值不變?yōu)?；解析?1)(2)整式的值不發(fā)生變化．其值為(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以證明，由，，再由條件就可以求出的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以證明，則有為定值，從而可以得出結(jié)