【第五章曲線運(yùn)動】

一、曲線運(yùn)動中值得注意的幾個問題

問題一：曲線運(yùn)動的條件

物體做曲線運(yùn)動的條件：物體所受的合力方向（加速度的方向）跟它

的速度方向不在同一條直線上。

概括：

（1）物體必須有初速度；

（2）必須有合力；

（3）速度與合力的方向不在同一條直線上。

合外力對速度的影響：合外力不僅可以改變速度的大小，還可以改變

速度的方向。

如圖1-甲，與v共線的分力B改變速度的大??；與v垂直的分力K改

變速度的方向。

F2

r]----------r

圖1-甲

如圖1-乙、1-丙，將合力F沿著速度方向和垂直速度方向分解為乙和

F2,沿著速度方向的分力K產(chǎn)生加速度修改變速度的大小，垂直速度方向

問題二：運(yùn)動的合成和分解

1.怎樣確定合運(yùn)動和分運(yùn)動？

物體的實(shí)際運(yùn)動——合運(yùn)動。合運(yùn)動是兩個（或兒個）分運(yùn)動合成的

結(jié)果。當(dāng)把一個實(shí)際運(yùn)動分解，在確定它的分運(yùn)動時.，兩個分運(yùn)動要有實(shí)

際意義。

2.運(yùn)動合成的規(guī)律

（1）合運(yùn)動與分運(yùn)動具有等時性；

（2）分運(yùn)動具有各自的獨(dú)立性。

3.如何將已知運(yùn)動進(jìn)行合成或分解

（1）在一條直線上的兩個分運(yùn)動的合成

例如：速度等于v0的勻速直線運(yùn)動與在同一條直線上的初速度等于零

的勻加速直線運(yùn)動的合運(yùn)動是初速度等于v0的勻變速直線運(yùn)動。

（2）互成角度的兩個直線運(yùn)動的合運(yùn)動

兩個分運(yùn)動都是勻速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動也是勻速直線運(yùn)動。

一個分運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動，另一個分運(yùn)動是勻變速直線運(yùn)動，其合

運(yùn)動是一個勻變速曲線運(yùn)動.反之，一個勻變速曲線運(yùn)動也可分解為一個

方向上的勻速直線運(yùn)動和另一個方向上的勻變速直線運(yùn)動——為研究復(fù)雜

的曲線運(yùn)動提供了一種方法。

初速度為零的兩個勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動是一個初速度為零的勻變

速直線運(yùn)動。

總結(jié)規(guī)律：對于以上這些特例，我們可以通過圖示研究會更加簡便。

具體做法：先將速度進(jìn)行合成，再合成加速度，通過觀察合速度與合加速

度的方向是否共線，進(jìn)而判定是直線運(yùn)動還是曲線運(yùn)動。如圖2所示。

圖2

問題三：關(guān)于繩子末端速度的分解

解決此類問題的關(guān)鍵是抓住合運(yùn)動和分運(yùn)動的實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確地判斷出分

運(yùn)動或合運(yùn)動，而后再根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行正確的運(yùn)動合成或分解。

例：如圖3,重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車〃?沿斜面升高。

則：當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成。角，且重物下滑的速率為v時，小車的

速度為多少？

圖3

思維點(diǎn)撥：解決此類問題的重要思想就是通過對物體的運(yùn)動進(jìn)行分解,

找到兩個物體速度之間的關(guān)系。就本題而言，重物M的速度V是它的合速

度，繩運(yùn)動的速度既是小車的合速度又是重物的一個分速度，問題就是另

一個分速度是什么。實(shí)質(zhì)上重物在下滑的過程中，既有沿繩向下運(yùn)動的趨

勢，同時又有繞滑輪轉(zhuǎn)動的速度，繩的收縮效果與轉(zhuǎn)動效果相互垂直，且

為M的兩個分運(yùn)動。

解析：如圖4,將重物的速度u分解，由兒何關(guān)系得出小車的速度

v'-VCOS0

問題四：（小船、汽艇等）渡河問題

有關(guān)小船渡河問題是運(yùn)動的合成與分解節(jié)中典型實(shí)例，難度較大。

小船渡河問題往往設(shè)置兩種情況：（1）渡河時間最短；（2）渡河位移最短。

現(xiàn)將有關(guān)問題討論如下，供大家參考。

處理此類問題的方法常常有兩種：

（1）將船渡河問題看作水流的運(yùn)動（水沖船的運(yùn)動）和船的運(yùn)動（即

設(shè)水不流動時船的運(yùn)動）的合運(yùn)動。

（2）將船的速度吆沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如圖5,

%為水流速度，則匕-匕cos。為船實(shí)際上沿水流方向的運(yùn)動速度，v2sin。

為船垂直于河岸方向的運(yùn)動速度。

問題1：渡河位移最短

河寬d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情況下渡河位移最短

的一定是河寬d呢？下面就這個問題進(jìn)行如下討論：

⑴叫〉4

要使渡河位移最小為河寬d,只有使船垂直橫渡，則應(yīng)

口水一y船cos。=o,即y船Ay水，因此只有u船,u水，小船才能夠垂直河

岸渡河，此時渡河的最短位移為河寬d。渡河時間f=2-=--—。

“v船sm。

圖6

（2）丫船＜丫水

由以上分析可知，此時小船不能垂直河岸渡河。

以水流速度的末端A為圓心，小船的開航速度大小為半徑作圓，過0

點(diǎn)作該圓的切線，交圓于B點(diǎn)，此時讓船速與半徑AB平行，如圖7所示,

從而小船實(shí)際運(yùn)動的速度（合速度）與垂直河岸方向的夾角最小，小船渡

河位移最小。

由相似三角形知識可得士="

du船

解得5=幺］

口船

渡河時間仍可以采用上面的方法

sd

t=—=----------

u介v船sin。

⑶%=口水

此時小船仍不能垂直河岸渡河。由圖8不難看出，船速與水速間的夾角

越大，兩者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但無法求解其

最小值，只能定性地判斷出，船速與水速間的夾角越大，其位移越小而已。

圖8

問題2：渡河時間最短;

渡河時間的長短同船速與水速間的大小關(guān)系無關(guān)，它只取決于在垂直

河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的時間就越短。因此，只

有船的開航速度方向垂直河岸時，渡河時間最短，B|Jf=—o

y船

二、如何解決平拋運(yùn)動中的常見問題

（一）理論基礎(chǔ)

平拋運(yùn)動可分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落

體運(yùn)動，因此常用的公式有如下幾點(diǎn)：（如圖1）

位移公式：

12

Sx=V0?，Sy=gt

速度公式：

Vpf

=v0,vv=gt，tan°==—

匕%

兩者關(guān)系：

tana=包=-^―,tan/?=—=—

Sg2Vo叭/

2tana=tan（5（P點(diǎn)為OQ的中點(diǎn)）

（二）典型例題分析

1、利用速度公式解題

如圖2所示，球做平拋運(yùn)動，在球落地前1s,其速度方向與豎直方向

的夾角由45。變?yōu)?0。，求此球做平拋運(yùn)動的初速度,

解：根據(jù)平拋運(yùn)動速度公式有

tana=—=-=1①

jgt

8,_%_1

聯(lián)立①②解得%=[%m/s

2、利用位移公式解題

如圖3所示，斜面高1加，傾角為30。，在斜面的頂點(diǎn)A以%的速度水

平拋出一小球，小球剛好落在B點(diǎn)，不計(jì)阻力，求拋出速度%、小球在空

中運(yùn)動的時間t?（g=10，"http://）

解：根據(jù)平拋運(yùn)動的位移公式

hs73與

tana=—=—=——①

ss,3

/?=-gr=1②

S-vat③

聯(lián)立①②③解得v0=VT5/72/s,t=s

3、利用兩者的關(guān)系公式解題

4、用平拋曲線求初速度的n種方法

在研究平拋物體運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)中，用實(shí)驗(yàn)描繪出的軌跡曲線求平拋物體

的初速度V。，是本實(shí)驗(yàn)的主要目的之一?，F(xiàn)簡析幾種求初速度乙的方法，

供參考。

①平拋規(guī)律法

根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律，水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做自由落

體運(yùn)動。若實(shí)驗(yàn)描繪出的軌跡曲線如圖5所示，選拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。建

由軌跡曲線測出多個點(diǎn)ABCDE的坐標(biāo)（x,y）,分別代入③式求出

多個/值，最后求出它們的平均值即為所求初速度外。

②軌跡方程法

由法1中的①、②消去f,可得平拋軌跡方程y=會》2

結(jié)合圖中軌跡曲線，若測出水平位移X"=XBC=AX，豎直位移

=%，=為

yAByBc

由軌跡曲線方程可導(dǎo)出，%="冒^。

推證如下：

因?yàn)榱?肅X：'%=受焉,%=翥.

所以必=系（了；—x；）_X,）（XB+x.

2%2v0

同理乃=yc-yB=—ri%-xe）（xc+x8）

2%

又-工8='，XC~~XA=

所以為一力=T7Ax（%一冗A）=與?2

2v0v0

故％=Ax

顯然，只要測出相等時間內(nèi)的水平位移Ac和對應(yīng)的豎直位移的差值

力―必，即可求出初速度必。

③紙帶結(jié)論法

對于勻變速直線運(yùn)動，相鄰的相等時間T內(nèi)的位移差A(yù)s都相等，且

ks=aT'這是處理紙帶常用的一條重要結(jié)論。

對于法2的測量數(shù)據(jù)，有

XAB-XBC=八￥=④

力一>1=gT'⑤

聯(lián)立④、⑤二式可得％=Ar

另外，此法還可以擴(kuò)展，若軌跡曲線上依次還有點(diǎn)D、E等，且水平位

移均為Ax,豎直位移依次為內(nèi)、>4等，則有

XXX

AB=BC=CD=…=Al=V()T⑥

y3f=2gL⑦

>4一%=3g72⑧

由⑥與⑦或⑧聯(lián)立可得%=Ai

一〃)g

故%=Ax(〃=1、2、3、…，m=2^3、4、…，且機(jī)>〃)

"一yn

以上的分析給我們以啟示，在處理實(shí)驗(yàn)或解題時.，不要墨守成規(guī)過分

依賴課本，要善于開動腦筋思考創(chuàng)新，尋找更好的方法和措施。這樣，既

提高了解題能力和速度，也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識和發(fā)散思維。

5、平拋運(yùn)動中n種常用的時間求解方法

平拋運(yùn)動是高中物理運(yùn)動學(xué)中一個基本模型，具有典型的物理規(guī)律。

考查中常常涉及到“速度、位移、時間”等問題，下面針對平拋運(yùn)動中的

時間問題常用的幾種方法進(jìn)行歸納總結(jié)，供大家參考。

①利用水平位移或豎直位移求解時間

平拋運(yùn)動可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體

運(yùn)動。由合運(yùn)動和分運(yùn)動的等時性，平拋運(yùn)動的時間等于各分運(yùn)動的時間。

vt,可得￡=注

水平方向：S水o

豎直方向：S豎

②利用水平位移、豎直位移及傾角求解時間

例1：如圖7,AB為斜面，傾角為30。，小球從A點(diǎn)以初速度咻水平

拋出，恰好落到B點(diǎn)，求物體在空中飛行的時間。

分析及解答：由本題所給的條件，顯然直接利用水平位移或豎直位移

無法解答，但兩個位移可以通過斜面的傾角發(fā)生聯(lián)系。

對于水平方向：5水=咻，①

對于豎直方向：S豎^-gt2②

又由.=cot300③

S豎

由以上三式聯(lián)立可得，=2?

3g

③利用速度求解時間

由于豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動，則有匕=gf,可得，=1。

例2：如圖8,以9.8〃?/s的初速度水平拋出的物體，飛行一段時間后，

垂直地撞在傾角。為30°的斜面上，可知物體完成這段飛行的時間為（）

V3D2V3

A.——sB.----C.岳D.2s

33

圖8

分析及解答：根據(jù)本題所給的信息，顯然無法利用位移求解，但我們

可以從速度入手，將物體撞擊在斜面上的速度分解，如圖9所示，由兒何關(guān)

系可得：

匕,=v0cot30°=V3v0

豎直方向做自由落體運(yùn)動，由vv=gt可得

④利用勻變速直線運(yùn)動的推論加二。/求解時間

例3：如圖10,是某次實(shí)驗(yàn)記錄的小球平拋運(yùn)動軌跡中的三點(diǎn)，測得A、

B間的水平距離和B、C間的水平距離都是15。加，AB間的豎直距離是15c〃z,

BC間的豎直距離是25cm。若取g=10機(jī)/$2,則

小球平拋的初速度也等于多少？

分析與解答：在實(shí)驗(yàn)《研究勻變速直線運(yùn)動》

中，設(shè)初速度為％，加速度為。，在兩個連續(xù)相

等的時間間隔f內(nèi)的位移分別為》和52，可以推

出As=$2-S|=a產(chǎn)。本題中，由于物體水平方

向做勻速直線運(yùn)動，而且AB、BC兩段水平位移

相等，由此可知，這兩段距離所用的時間相等均

為At，根據(jù)上述結(jié)論可得：

在豎直方向上：0.1=gAf2,解得加=(Ms

由水平方向：5水=%/,可得匕=1.5加/s

⑤利用平拋運(yùn)動的推論求解時間

推論：平拋運(yùn)動中以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系中任一點(diǎn)p（X,y）

X

的速度的反向延長線交于X軸的一處。

2

例4：如圖11,將一小球從坐標(biāo)原點(diǎn)沿著水平軸Ox以％=2mls的速

度拋出，經(jīng)過一段時間到達(dá)P點(diǎn)，M為P點(diǎn)在Ox軸上投影，做小球軌跡在

P點(diǎn)的切線并反向延長，與Ox軸相交于Q點(diǎn)，已知。"=36，則小球運(yùn)

動的時間為多少？

圖11

分析與解答：由上面的結(jié)論可知，Q為OM的中點(diǎn)，則從O點(diǎn)運(yùn)動到P

點(diǎn)的過程中，小球發(fā)生的水平位移$水=OM=2QM=6〃？

由于水平方向做勻速直線運(yùn)動，則小球在這段過程中運(yùn)動的時間為

s水々

t——=3s。

%

6、平拋運(yùn)動中偏轉(zhuǎn)角的應(yīng)用

在平拋運(yùn)動中涉及角度問題常有兩類：位移偏轉(zhuǎn)角和速度偏轉(zhuǎn)角。

例如：如圖12是初速度為％的物體做平拋運(yùn)動的軌跡圖，OA是物體

運(yùn)動到A點(diǎn)時的位移，u是物體在A點(diǎn)時的速度，其中。為位移偏轉(zhuǎn)角，a

為速度偏轉(zhuǎn)角,則有tan0=

gtgf

2Vo%

圖12

如能恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用這一規(guī)律，解題就可事半功倍，應(yīng)用如下：

例：如圖13,小球在斜面上A點(diǎn)以速度%水平拋出，落在斜面上的C

點(diǎn)，已知斜面傾角為。，求：

(1)小球何時離斜面最遠(yuǎn)；

(2)小球何時落在斜面上的C點(diǎn)？

(3)小球剛要落到斜面上時，速度方向與斜面間的夾角？

圖13

分析：

(1)當(dāng)小球的運(yùn)動方向與斜面平行時，小球與斜面相距最遠(yuǎn)，此時,

小球的運(yùn)動方向與水平方向間的夾角為。，如圖14由上面結(jié)論可得

tan^=—=—

叭之

?,vtan0

所以/=?(1-----

g

(2)當(dāng)小球落在斜面上時，小球的位移

方向與水平方向間的夾角為。，故可得

12

t〃5.y2^gt

tanU=—=--------=------

S*vot2v0

2vtan(9

所rC1以1|/=—0-----

g

(3)設(shè)小球的速度方向與斜面間的夾角為。，小球的速度方向與水平

面的夾角為/，如圖15,則可得tan￡=8,且f為小球落到斜面上的時

%

間，/=2嗎t(yī)an6,又e=￡一。，所以可得夕=arctan(2tan。)-。。

g

三、勻速圓周運(yùn)動典型問題剖析

勻速圓周運(yùn)動問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，同時它又容易和很多知識

綜合在一起，形成能力性很強(qiáng)的題目。對勻速圓周運(yùn)動的學(xué)習(xí)可重點(diǎn)從兩

個方面掌握其特點(diǎn)，首先是勻速圓周運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)規(guī)律，其次是其動力學(xué)

規(guī)律，現(xiàn)就各部分涉及的典型問題作點(diǎn)滴說明。

（-）運(yùn)動學(xué)特征及應(yīng)用

勻速圓周運(yùn)動的加速度、線速度的大小不變，而方向都是時刻變化的，

因此勻速圓周運(yùn)動是典型的變加速曲線運(yùn)動。為了描述其運(yùn)動的特殊性，

又引入周期（T）、頻率（f）、角速度（口）等物理量，涉及的物理量及

公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，并加以靈活選擇運(yùn)用，

是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

1.基本概念、公式的理解和運(yùn)用

［例1］關(guān)于勻速圓周運(yùn)動，下列說法正確的是（）

A.線速度不變B.角速度不變C.加速度為零D.周期不變

解析：勻速圓周運(yùn)動的角速度和周期是不變的；線速度的大小不變，但

方向時刻變化，故勻速圓周運(yùn)動的線速度是變化的，加速度不為零，答案

為B、Do

［例2］在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的圓環(huán)上有A、B兩點(diǎn),如圖1所示，過A、B

的半徑與豎直軸的夾角分別為30°和60。，則A、B兩點(diǎn)的線速度之比

為;向心加速度之比為____。

圖1

解析：A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動的半徑分別為

1J3

=Rsin30°=—Ar=sin60°=—

2Ra2

它們的角速度相同，所以線速度之比幺=處=遼=!=走

加速度之比色■=駕'=/

3

2.傳動帶傳動問題

（二）動力學(xué)特征及應(yīng)用

物體做勻速圓周運(yùn)動時、由合力提供圓周運(yùn)動的向心力

合22

且有F=4句=ma|；iJ=m-=mrco=mr（—）

方向始終指向圓心

1.基本概念及規(guī)律的應(yīng)用

［例4］如圖3所示，質(zhì)量相等的小球A、B分別固定在輕桿的中點(diǎn)和端點(diǎn)，

當(dāng)桿在光滑水平面上繞。點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動時求桿OA和AB段對球A的拉力之

比。

解析：隔離A、B球進(jìn)行受力分析，如圖3所示。因A、B兩球角速度

相同，設(shè)為①，選用公式耳,j=，并取指向圓心方向?yàn)檎较?，則

2

對A球：F{-F2=ma)LOA①

2

對B球：F2-ma)L0B②

①②兩式聯(lián)立解得區(qū)=3

點(diǎn)評：向心力正向是指做勻速圓周運(yùn)動物體受到的合力，而不一定是某

一個力，要對物體進(jìn)行正確的受力分析。

［例5］如圖4所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固

定不動，有兩個質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平

面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，則下列說法正確的是()?

A.球A的線速度必定大于球B的線速度\F

B.球A的角速度必定小于球B的角速度'一|一一.

C.球A的運(yùn)動周期必定小于球B的運(yùn)動周期后

D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓么一」—一

解析：對小球A、B受力分析，兩球的向心力都

來源于重力mg和支持力入，的合力，其合成如圖4所

示，故兩球的向心力&=FB=mgcota

V

比較線速度時，選用尸=加一分析得r大，v一

定大，A答案正確。

比較角速度時，選用尸=機(jī)02r分析得「大，o-定小，B答案正確。

27r

比較周期時，選用尸=〃2(—尸，分析得r大，T一定大，C答案不正確。

T

小球A和B受到的支持力F都等于「駕，D答案不正確。

Nsina

點(diǎn)評：①“向心力始終指向圓心”可以幫助我們合理處理物體的受力；

②根據(jù)問題討論需要，解題時要合理選擇向心力公式。

2.軌跡圓（圓心、半徑）的確定

［例6］甲、乙兩名滑冰運(yùn)動員，例甲=80依，〃4=40依，面對面拉著彈

簧秤做勻速圓周運(yùn)動的滑冰表演，如圖5所示,

兩人相距0.9m,彈簧秤的示數(shù)為9.2N,下列判斷

中正確的是（）

A.兩人的線速度相同，約為40m/s

B.兩人的角速度相同，為6rad/s

C.兩人的運(yùn)動半徑相同，都是0.45m

D.兩人的運(yùn)動半徑不同，甲為0.3m,乙為0.6m

解析：甲、乙兩人做圓周運(yùn)動的角速度相同，向心力大小都是彈簧的彈

力，則有Mp〃何=M乙co?r乙即〃甲廂=M乙r乙且r甲+r乙=0.9〃？.

例甲=80Ag,A/乙=40依解得而=0.3機(jī)，rL-0.6m

由于F—A/甲力~r甲

所以。=/———=J———=0.62{radIs)

中小V80x0.3

而v=or,r不同，v不同。所以答案選D。

點(diǎn)評：有些勻速圓周運(yùn)動的軌跡圓是比較“隱蔽”的，一旦理解錯誤,

就會給解題帶來麻煩，如本題中兩人做勻速圓周運(yùn)動的半徑并不是兩人的

間距，例2中A、B做圓周運(yùn)動的圓心并不是圓環(huán)的中心O等。

3.聯(lián)系實(shí)際問題

［例7］司機(jī)開著汽車在一寬闊的馬路上勻速行駛突然發(fā)現(xiàn)前方有一堵墻，他

是剎車好還是轉(zhuǎn)彎好？（設(shè)轉(zhuǎn)彎時汽車做勻速圓周運(yùn)動，最大靜摩擦力與

滑動摩擦力相等。）

解析：設(shè)汽車質(zhì)量為m,車輪與地面的動摩擦因數(shù)為〃，剎車時車速

為％,此時車離墻距離為％，為方便起見，設(shè)車是沿墻底線的中垂線運(yùn)動。

若司機(jī)采用剎車，車向前滑行的距離設(shè)為s,則s=」L=常數(shù)，若司采取

2〃g

22

急轉(zhuǎn)彎法，則〃加g=〃?'（R是最小轉(zhuǎn)彎半徑），R=%_=2s。

R4g

討論：

（1）若So〉R，則急剎車或急轉(zhuǎn)彎均可以；

（2）若R>s0>s,則急剎車會平安無事，汽車能否急轉(zhuǎn)彎與墻的長

度和位置有關(guān)，如圖6所示，質(zhì)點(diǎn)P表示汽車，AB表示墻,若墻長度I<2R,

如圖6,/=2（R-Reos。），則墻在AB和CD之間任一位置匕汽車轉(zhuǎn)彎

同樣平安無事；

（3）若So<$，則不能急剎車，但由（2）知若墻長和位置符合一定條

件，汽車照樣可以轉(zhuǎn)彎。

點(diǎn)評:利用基本知識解決實(shí)際問題的關(guān)犍是看能否將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為合

理的物理模型。

圖6

（三）勻速圓周運(yùn)動的實(shí)例變形

課文中的圓周運(yùn)動只有汽車過橋和火車轉(zhuǎn)彎兩個實(shí)例，而從這兩個實(shí)例

可以變化出很多模型。試分析如下：

1、汽車過橋

原型：汽車過凸橋

如圖1所示，汽車受到重力G和支持力FN，合力提供汽車過橋所需的

向心力。

mv~

假設(shè)汽車過橋的速度為v,質(zhì)量為m,橋的半徑為r,G-FN=-?

圖1

2

分析：當(dāng)支持力為零時，只有重力提供汽車所需的向心力，即G=一且，

A.當(dāng)汽車的速度汽車所受的重力G小于過橋所需的向心力，汽

車過橋時就會離開橋面飛起來。

B.當(dāng)汽車的速度v=i，o,汽車所受的重力G恰好等于過橋需要的向心力，

2

汽車恰好通過橋面的最高點(diǎn)。（6=%，%=癡7）

C.當(dāng)汽車的速度v<%，汽車所受的重力G大于所需的向心力，此時需

mv2

要的向心力要由重力和支持力的合力共同來提供。(G—FN=」一)

r

因此，汽車過凸橋的最大速度為病。

模型一：繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的運(yùn)動。

如圖2所示，小球所受的重力和繩的拉力的合力提供小球所需的向心

2

力，即mg+尸7=m-o

一中J>

/、、V

/VG\

圖2

分析：當(dāng)繩的拉力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即

a.當(dāng)小球的速度V〉%，物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向

心力?不足的部分將由小球所受的繩的拉力來提供，只要不超過繩的承受

V2

力，已知物體的速度，就可求出對應(yīng)的拉力。(mg+FT=m—)

b.當(dāng)小球的速度v=%,物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。

(G=,%=病)

r

C.當(dāng)小球的速度v<Vo,物體所受的重力G大于所需的向心力，此時小

球?qū)⑸喜坏阶罡唿c(diǎn)。

因此，繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)時的最小速度為％=而。

實(shí)例：翻轉(zhuǎn)過山車

如圖3所示：由于過山車在軌道最高點(diǎn)所受的力為重力和軌道的支持

力，故分析方法與模型一類似。請同學(xué)們自己分析一下。

圖3

模型二：一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的運(yùn)動。

如圖4所示，物體所受的重力和桿對球的彈力的合力提供物體所需的向

v2

心力，即機(jī)g-Fr-m—

M

IG

圖4

分析：當(dāng)桿對球的彈力為零時，只有重力提供小球所需的向心力，即

「_mv；I—*

G=----->%=

r

a.當(dāng)小球的速度n〉％,物體所受的重力G已不足以提供物體所需的向

心力?不足的部分將由小球所受的桿的拉力來提供。(此時桿對小球的彈

力為向下的拉力，參考圖3)。已知物體的速度，就可求出對應(yīng)的拉力。

V2

(mg+F-m——)

Tr

b.當(dāng)小球的速度v=%,物體所受的重力G剛好提供物體所需的向心力。

(G=,%=y[gr)

r

C.當(dāng)小球的速度v<Vo,物體所受的重力G大于所需的向心力，多余的

部分將由桿對小球的支持力來抵消。(此時桿對小球的彈力為向上的支持

2

力)。(mg-F=m—)

Tr

<1.當(dāng)小球的速度u=0,物體所受的重力G等于桿對小球的支持力。

(mg=FQ

因此，一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點(diǎn)的最小速度為0。

2、火車轉(zhuǎn)彎

原型：火車轉(zhuǎn)彎

如圖5所示，火車在平直的軌道上轉(zhuǎn)彎，將擠壓外軌，由外軌給火車的

彈力提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力，這樣久而久之，將損壞外軌。

圖5

故火車轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車駛過轉(zhuǎn)彎處時，鐵軌對火車的支

持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向

圓心，提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力（如圖6所示）。這就減輕了輪緣與外軌

的擠壓。

圖6

分析：當(dāng)火車的速度為%時.，火車所需的向心力全部由重力和支持力

的合力來提供，即機(jī)=，〃',（.

gtan6v0=-Jgrtan0

r

a.若火車的速度u>%,將擠壓外軌；

b.若火車的速度u<%，將擠壓內(nèi)軌。

模型一：圓錐擺

小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來提供（如圖7所示）

G

圖7

模型二：小球在漏斗中的轉(zhuǎn)動

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力來提供（如圖8所示）

、

（四）勻速圓周運(yùn)動的多解問題

勻速圓周運(yùn)動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運(yùn)動，其中一個

做勻速圓周運(yùn)動，另一個做其他形式的運(yùn)動。由于這兩種運(yùn)動是同時進(jìn)行

的，因此，依據(jù)等時性建立等式來解待求量是解答此類問題的基本思路。

特別需要提醒同學(xué)們注意的是，因勻速圓周運(yùn)動具有周期性，使得前一個

周期中發(fā)生的事件在后一個周期中同樣可能發(fā)生，這就要求我們在表達(dá)做

勻速圓周運(yùn)動物體的運(yùn)動時間時，必須把各種可能都考慮進(jìn)去，以下幾例

運(yùn)算結(jié)果中的自然數(shù)“n”正是這一考慮的數(shù)學(xué)化。

［例1］如圖1所示，直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速圓周運(yùn)動，槍口發(fā)射的

子彈速度為v,并沿直徑勻速穿過圓筒。若子彈穿出后在圓筒上只留下一個

彈孔，則圓筒運(yùn)動的角速度為多少？?

解析：子彈穿過圓筒后做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)它再次到達(dá)圓筒壁時，若原

來的彈孔也恰好運(yùn)動到此處。則圓筒上只留下一個彈孔，在子彈運(yùn)動位移

為d的時間內(nèi)，圓筒轉(zhuǎn)過的角度為2”4+%，其中〃=0,1,2,3…，即

d2〃4+乃

—=-------O

vco

解得角速度的值0=-------V,〃=0,1,2,3…

d

［例2］質(zhì)點(diǎn)P以O(shè)為圓心做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，如圖2所示，周期為

T?當(dāng)P經(jīng)過圖中D點(diǎn)時，有一質(zhì)量為m的另一質(zhì)點(diǎn)Q受到力F的作用從

靜止開始做勻加速直線運(yùn)動。為使P、Q兩質(zhì)點(diǎn)在某時刻的速度相同，則F

的大小應(yīng)滿足什么條件？

cG)

Q

——IZZH-*

F

圖2

解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由質(zhì)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)情況可知,

只有當(dāng)P運(yùn)動到圓周上的C點(diǎn)時P、Q速度方向才相同，即質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過

(〃+3周(〃=0,1,2,3…)經(jīng)歷的時間f=(〃+』)7(〃=0,1,2,3…)

44

①

質(zhì)點(diǎn)P的速率丫=四②

T

在同樣的時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)Q做勻加速直線運(yùn)動，速度應(yīng)達(dá)到v,由牛頓第

二定律及速度公式得v=￡f③

m

聯(lián)立以上三式，解得尸=—8加1R萬(〃=0,1,2,3…)

(4”+3)72

【第六章萬有引力與航天】

一、萬有引力定律及其應(yīng)用

（一）開普勒運(yùn)動定律R3

1、開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，

太陽處在所有橢圓的一個焦點(diǎn)上./

2、開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連哆

線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等.

3、開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公

轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.

（二）萬有引力定律

1,內(nèi)容：宇宙間的?切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟

它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比.

2,公式：F=G四等淇中G=6.67x10-3?機(jī)2/a2,稱為為有引力恒量。

rz

3、適用條件

（1）適用于兩個質(zhì)點(diǎn)之間。

（2）適用于兩個均勻球體之間。

（3）適用于一個質(zhì)點(diǎn)與一個均勻球體之間。

注意：萬有引力定律把地面上的運(yùn)動與天體運(yùn)動統(tǒng)一起來，是自然界中最

普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均

為1千克的兩個質(zhì)點(diǎn)相距1米時相互作用的萬有引力.

（三）萬有引力和重力

重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地

球自轉(zhuǎn)時需要向心力.重力實(shí)際上是萬有引力的一個分力.另一個分力就

是物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做

圓周運(yùn)動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變

化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大.通常的計(jì)

算中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m2g=G^-,

g=GM/F常用來計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g

隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（r+h）2,比較得即=（」—）

r+h

2*g

在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F時和m2g剛好在一條直線上，

則有

F=Ff.i+m2g,

2

所以m2g=F-F向=G'華■—m2R3ri

r2

因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G'空?m2R3」所以m2g=G嗎乜

r2廠

假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，即3□變大，由m2g=G為箸-mzR3nz知物體的重力

將變小，當(dāng)6半F水3小時，m2g=0,此時地球上物體無重力，但是它要

r2

求地球自轉(zhuǎn)的角速度3,■,=.&,比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多.

V/?,

(四)天體表面重力加速度問題

!,—Mmzg>八M+

設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,由mg-G*得g-G—7,由

此推得兩個不同天體表面重力加速度的關(guān)系為區(qū)=生*竺

R：牝

二、應(yīng)用萬有引力定律分析天體問題

1.基本方法：把天體的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動，其所需向心力由萬有

引力提供。

?MmV22/2兀、2/Cr12

G——=m—=ma)~r=m(——)r=m(2nj)r

r"rT

應(yīng)用時，可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析計(jì)算。

2.天體質(zhì)量M、密度°的估算

測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T,由

Mm4/"4/rMM34/

G，得M=-----—,p=——=-----=—，q為天體

GT2-V43GT2^°

的半徑。

3乃

當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運(yùn)行時廠=不，則夕=二產(chǎn)。

3.天體質(zhì)量的幾種計(jì)算方法

以地球質(zhì)量的計(jì)算為例：

(1)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半徑r,根據(jù)

2

M地叫44/□?,4萬，3

G,2=加月＞下-，得用地=GT?。

(2)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的線速度v和半徑r,根據(jù)

何地叫v-2vQ2

G=團(tuán)月一，得仞地=不

2rG

(3)若已知月球運(yùn)行的線速度v和周期T,根據(jù)G"他，！=叫產(chǎn)票和

Vv3T

=啊一，得加地=

2TTG

(4)若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度g,根據(jù)

I-MD20

〃吆=G—得M地=-^,此式通常稱為黃金代換式。

三、人造衛(wèi)星

1.衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑r的關(guān)系

Mmv2

(1)由6歲=機(jī)二得vGM

r~r

r越大，v越小

,、、.Mm2工GM

(2)由G—―=ma)~r,得。=V

r越大，切越小

—Mm41241/

(3)由G—Y~=mr—r得T

GM

，r越大，T越大

2.在不同軌道上衛(wèi)星的角速度比較

如圖所示，衛(wèi)星分別處在地球的不同圓形軌道上，繞地球做勻速圓周

運(yùn)動，其中物體1在地面上隨地球自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星2在近地軌道上(h?0),衛(wèi)

星3在同步軌道上，衛(wèi)星4在離地球更遠(yuǎn)的軌道上.顯然，(4為

地球自轉(zhuǎn)角速度)，電=跳，由6—=機(jī)療廠，可知療/=GM,隨r

的增大，。減小。

故處于地表以上同步軌道以下的圓軌道上的衛(wèi)星的角速度處>/；

處于同步軌道以上的衛(wèi)星04cty0,即用〉電=q=例)>@

若某一時刻衛(wèi)星2、3、4處于過地心的同一直線上沿軌道同向運(yùn)動，則

站在位置1處的觀察者會看到過一小段時間衛(wèi)星3仍處于自己的正上方，衛(wèi)

星2將運(yùn)動至頭頂前方，衛(wèi)星4將滯后于衛(wèi)星3,在頭頂上方偏后，因此衛(wèi)

星2、3、4將不在同一直線上。

3.衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度和物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度

衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力完全是由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供的，而放

在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是由萬有引力的一個分力提供

的。

衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度％=G"/2，其中M為地球質(zhì)量，r為

衛(wèi)星與地心間的距離.物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度4=。2尺=3巴，

其中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R為地球半徑.々比近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加

速度q=G”《2要小得多。

四、應(yīng)用萬有引力定律的一些解題技巧

1、掌握一些推論并能靈活運(yùn)用，將會化繁化簡，變難為易，解決

問題的思路和方法清晰明了，方便快捷。

題型一：g---r關(guān)系

在質(zhì)量為M的某天體上空，有一質(zhì)量為機(jī)的物體，距該天體中心的距

離為廣，所受重力為萬有引力：機(jī)g=g華

r~

由上式可得〃g=GM=常量或/g=K

推論一：在某天體上空物體的重力加速度g與「2成反比。即

g=4■或&=1①

廠g26

例1：設(shè)地球表面重力加速度為go，物體在距離地心4R（R是地球的

半徑）處,由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加速度為g,則上-為（)

go

11

A.1B.C.一D.

9416

R2I

解析:由①式得出-=

go(W16

答案應(yīng)選D。

題型二：v---r關(guān)系

有一質(zhì)量為機(jī)的物體（衛(wèi)星或行星等）繞質(zhì)量為M的天體做勻速圓周

CTMmmv~

運(yùn)動，其軌道半徑為廠，線速度為v,萬有引力提供向心力：當(dāng)竺="

r~r

由上式可得丫2「=GM=常量或dr=K

推論二：繞某天體運(yùn)動物體的速度v與軌道半徑r的平方根成反比。即

戶或L"②

Vrv2\r{

例2：已知人造地球衛(wèi)星靠近地面運(yùn)行時的環(huán)繞速度約為弘加/s,則

在離地面的高度等于地球半徑處運(yùn)行的速度為（）

A.20kmIsB.4km/sC.A4lkm/sD.8kmis

解析:由②式得匕=%--46km/s

rz

答案應(yīng)選C

題型三：3——r關(guān)系

有一質(zhì)量為機(jī)的物體（衛(wèi)星或行星等）繞質(zhì)量為M的天體做勻速圓周

運(yùn)動，其軌道半徑為r，角速度為。，萬有引力提供向心力：絲絲=wire?

r

由上式可得：/=GV=常量