3.2函數的基本性質

3.2.1單調性與最大（?。┲?/p>

第一課時函數的單調性

課標要求素養(yǎng)要求

1.借助函數圖象，會用符號語言表達函

1結.合實例，經歷從具體的直觀描述到

數的單調性.

形式的符號表達的抽象過程.體會用符

2理.解函數單調性的作用和實際意義.

號形式表達單調性定義的必要性.

3.在理解函數單調性概念的基礎上，理

2.在函數單調性的應用過程中，發(fā)展邏

解函數單調性的作用，掌握函數單調性

輯推理和數學運算素養(yǎng).

的應用.

課前預習?，，，，”川mmiiiniiimi知識探究illlllllllllllllMIIIIIMIIRillllll

教材知識探究

A情境引入

德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關研究.

他經過測試，得到了以下一些數據:

8?9

剛記憶20分鐘60分鐘1天2天6天一個

時間間隔t小時

完畢后后后后后月后

后

記憶量y

10058.244.235.833.727.825.421.1

（百分比）

以上數據表明，記憶量y是時間間隔f的函數.艾賓浩斯根據這些數據描繪出了著

名的“艾賓浩斯遺忘曲線”，如圖.

問題（1）當時間間隔，逐漸增大，你能看出對應的函數值y有什么變化趨勢？通

過這個試驗，你打算以后如何對待剛學過的知識？

（2）“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們如何用數學觀點

進行解釋？

提示（1）隨著時間間隔，逐漸增大，函數值y逐漸變小，這個試驗告訴我們，在

以后的學習中，我們應及時復習剛學習過的知識.

（2）“艾賓浩斯遺忘曲線”是減函數曲線.

上新知梳理

1.增函數與減函數注意其定義中的“任意性”

2.函數的單調區(qū)間單調區(qū)間一般用“，”或“和”連接

如果函數y=?x）在區(qū)間D上是單調遞增或單調遞減,那么就說函數y=/U）在這

一區(qū)間具有（嚴格的）單調性,區(qū)間。叫做y=Ax）的單調區(qū)間.

3.有關單調性的常用結論記住這些結論有利于快速解題

在公共定義域內，增函數+增函數=增函數;減函數+減函數=減函數;

增函數一減函數=增函數;減函數一增函數=減函數.

教材拓展補遺

［微判斷］

1.函數yu)的定義域為/，如果定義域內某個區(qū)間。上存在兩個自變量》”短，當

幻時，有危。勺(⑼，則/W在區(qū)間。上是增函數.(X)

提示應該為XI,X2^D,當X1<X2時，7(X1)勺口2),則?X)在區(qū)間。上為增函數.

2.若兀r)在區(qū)間。上為減函數，則在此區(qū)間上函數值隨自變量的增大而減小.(J)

3.函數yu)=:在其定義域上為減函數.(X)

提示在區(qū)間(0,+8)和(一8,0)上為減函數.

4.若/U)是R上的減函數，則/一3)次2).(J)

5：心)在區(qū)間。上為增函數，且XI,X2&D,若加1)勺⑴)，則X1<X2.(J)

［微訓練］

1.下列函數中，在區(qū)間(一8,0)上為減函數的是()

A./U)=-(B./x)=x

C：*x)=-fD.*x)=l—x

解析由函數的圖象知?r)=l—x在(一8,0)上為減函數，故選D.

答案D

2.若函數y(x)=依-3在R上單調遞增，則a的取值范圍為.

解析因為4%)=以-3在R上遞增，所以a〉0.

答案(0,+°°)

3.已知函數y=/(x)(xe［—2,6］)的圖象如圖.根據圖象寫出y=/(x)的單調區(qū)間，增

區(qū)間為,減區(qū)間為.

解析由圖象可知人x)在［-2,6］上的遞增區(qū)間為［-2,—1］和［2,6］,減區(qū)間為

［T，2］.

答案［—2，—1］和⑵6］［-1,2］

［微思考］

1.幻,％2金0,若。2—幻）伏刈一/（m）］〉0,則丁=_/2在某個區(qū)間。上是增函數嗎？

若（X2—xi）［/U2）—/Ui）］<0,則y=/u）在某個區(qū)間。上是減函數嗎？簡要說明原因.

提示是.若（X2—X1）［/（X2）一*%1）］>0則無2—XI與風由）一汽XI）同號，即X2>Xl時，

兀切次》）,所以人犬）在D上為增函數.同理（X2—處）應版）一式幻）］<0時，7U）在D上

為減函數.

2.XI,X2WO,若?。┒。?>0,則），=大外在某個區(qū)間。上是增函數嗎？

X12X-\

<0則y=/U）在某個區(qū)間。上是減函數？并簡要說明原因.

f（X2）—f（X1）

提示是.若------------->0,則X2—X\與兀T2）—/（XI）同號，即X2>Xl時，

元2A1

於2）次XI）,所以加）在D上為增函數洞理^（.）,二/（"）<0時，段）在D上為

X2XI

減函數.

課堂互動川|川11川|皿刪郵1冊11刪11咖|||||||刪18型剖析刪|||唧刪|||唧跚唧|唧唧，||

題型一判斷或證明函數的單調性變形是關鍵，通常化為因式乘積的形式

【例1］已知函數yu）=禺.

（1）求人只的定義域；

（2）判斷函數y（x）在（1,+8）上單調性，并用定義加以證明.

解（1）由/一1#0,得尤#±1,

所以函數的定義域為且xW±l}.

（2）函數?尤）=了匕在（1,+8）上單調遞減.

證明：Xl,X2^（L+°°）,且Xl<%2,貝！jX2—%1>0,

有人照）一?ri）=錯誤！一錯誤！=錯誤！

由XI,X2（1,+°°）,得X1>1,X2>1,

所以X?l1>0,X^—1>0,XI+x2>0.

又Xl<%2,所以XI—X2<0,于是錯誤!<0,即次X2）,

因此，函數7(x)=￡i在(1,+8)上單調遞減.

規(guī)律方法利用定義證明函數單調性的步驟：

(1)取值：設尤1,X2是該區(qū)間內的任意兩個值，且X1<X2；

(2)作差變形：作差yuo-/U2),并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段,

轉化為易判斷正負的關系式；

(3)定號：確定“￥])一?￥2)的符號

(4)結論：根據人用)一於2)的符號與定義確定單調性.

【訓練1】證明函數兀1)=尢+2在區(qū)間(2,+8)上是增函數.

證明XI,X2^（2,+°°）,且X1<X2,

有）-fiX2）=X}+--X2--

4（%2—Xl）（XI—X2）（X1X2-4）

=（X\-X2）~i

X\X2X\X2

由xi,X2^（2,+°°）,得xi>2,X2>2.

所以X1X2>4,XU2-4>0,又由X1<X2,得XI—X2<0.

?。╔I—X2）（冗1X2-4）Hr

于無—<0，即./Ui）勺（X2）.

4I人

4

所以函數yu)=x+1在(2,十8)上是增函數.

題型二求函數的單調區(qū)間

在書寫單調區(qū)間時，對區(qū)間端點的開閉不作要求，但若函數在區(qū)間某些點處無意

義，單調區(qū)間一定不能含有這些點

【例2】已知函數,**)=/一4|x|+3,x￡R.

(1)將函數寫成分段函數的形式;

(2)畫出函數的圖象；

(3)根據圖象寫出它的單調區(qū)間.

2

解⑴段)=/一煙+3=f<x+—44葉x+33,,x<N。O.,

(2)如圖.

(3)由圖象可知單調遞增區(qū)間為(一2,0),[2,+8),單調遞減區(qū)間為(一8,-

2),[0,2].

規(guī)律方法1.求函數單調區(qū)間時，若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反

比例函數等，可根據其單調性寫出函數的單調區(qū)間，若函數不是上述函數且函數

圖象容易作出，可作出其圖象，根據圖象寫出其單調區(qū)間.

2.一個函數出現兩個或兩個以上的單調區(qū)間時，不能用“U”連接兩個單調區(qū)

間，而要用“和”或“，”連接.

【訓練2】(1)如圖所示的是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數y=/U)的圖象，則函

數的單調遞減區(qū)間是，在區(qū)間________上是增函數.

(2)畫出函數了=-/+2國+1的圖象并寫出函數的單調區(qū)間.

(1)解析觀察圖象可知單調遞增區(qū)間為[—5,-2],[1,3],單調遞減區(qū)間為[—

2,1],[3,5].

答案[-2,1]和[3,5][-5,-2]和[1,3]

—x2+2x+1,

⑵解尸+心<0,

一(%—1)2+2,x20,

=

即y\0

〔一(x+1)2+2,x<0.

函數的大致圖象如圖所示，單調遞增區(qū)間為(一8,-1],[0,1],單調遞減區(qū)間

為[-1,0],[1,4-00).

題型三利用單調性求參數的取值范圍根據單調性轉化成不等式問題

【例3】(1)已知函數式犬)=/+以+人在區(qū)間口，2］上不單調，則實數。的取值

范圍是.

(2)已知函數y=/(x)在定義域(一1,1)上是減函數，且五1一0勺(2a—1),則實數a

的取值范圍為.

解析對稱軸為x=-1

又_Ax)在區(qū)間［1，2］上不單調，

所以1<—^<2,即一4<a<一2,

即a的取值范圍為(-4,—2).

⑵由題知｛7<2a—1<1,解得0<a<］,即所求a的取值范圍是(0,|).

11~a>2a~1,

答案(1)(—4,—2)(2)(0,1j

規(guī)律方法由函數單調性求參數范圍的處理方法是：

(1)由函數解析式求參數

若為二次函數——判斷開口方向與對稱軸——利用單調性確定參數滿足的條件，

若為一次函數——由一次項系數的正負決定單調性.

若為復合函數)=lAx)l或)=*刈——數形結合，探求參數滿足的條件.

(2)當函數/U)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據函數單調性的定義和性

質，將符號,尸脫掉，列出關于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數的

定義域.

【訓練3】(1)已知函數1X)為定義在區(qū)間［-1,1］上的增函數，則滿足7U)勺

的實數X的取值范圍是.

（2）已知函數兀0=/+依+/?在區(qū)間（-8,1］上單調遞減，在口，+8）上單調遞

增，且人加+2）勺（2）,則實數機的取值范圍是.

—1WxW1,

解析（1）由題意得，1解得一lWx<］.

x<y2

⑵:/㈤在（一8,1］上遞減，在［1,+8）上遞增,

a.1

?二一］=1，???〃=-2.如圖.

V/m+2)<A2),/(0)=/2),

0<m+2<2,/?—2<"2<0,

則實數機的取值范圍為(一2,0).

答案(1)一1，，(2)(-2,0)

核心素養(yǎng)全面提升

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，能夠養(yǎng)成規(guī)范化思考問題的習慣，重點提升學生的邏輯推

理、數學運算素養(yǎng).

2.函數的單調性是函數在定義域的某個子集上的性質.這個子集可以是整個定義

域，也可以是定義域的真子集.

3.若函數人x）在其定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（減）函數，一般不能簡單認

為凡￥）在AU8上是增（減）函數.

4.利用函數單調性可以比較函數自變量（函數值）的大小.

二、素養(yǎng)訓練

1.下列函數在區(qū)間（0,+8）上不是增函數的是（）

A.y=2x+1B.y=f+1

C.y=3—xD.jy=x2+2x+1

解析函數y=3-x在區(qū)間（0,+8）上是減函數.

答案c

2.函數=+2x+3的單調減區(qū)間是()

A.(—8,1)B.(l,+8)

C.(—8,2)D.(2,+00)

解析易知函數?r)=—f+2x+3是圖象開口向下的二次函數，其對稱軸為尤=

1,所以其單調減區(qū)間是(1,+8).

答案B

3.已知函數yc刈uf+d九+c,則()

A./(1)<C<A-2)B.c<K—2)勺⑴

C.c>AD>A-2)D：/U)>c次一2)

解析二次函數/U)=f+4x+c圖象的對稱軸為x=—2,且開口向上，所以在

[-2,+8)上為增函數，所以八一2)勺(。)勺U)，又X0)=c，所以/U)>c次-2).

答案D

4.定義在(一2,2)上的函數人x)是增函數，且滿足負1一。)勺(①，則實數a的取值

范圍是.

解析由題設知實數a應滿足：

f—2<1—a<2,

{-2<a<2,解得;<a<2.

11-a<a,

答案&2)

'—2x+5,xW1,

5.已知函數是減函數，求實數a的取值范圍.

、一2x+a,x>l

解由題意得，要使?r)是減函數，需一2X1+52—2X1+0,即aW5.故實數a

的取值范圍為(-8,5].

課后作業(yè)鞏固提高

基礎達標

一、選擇題

1.函數y=/(x),xe[-4,4]的圖象如圖所示，則./U)的增區(qū)間是()

A.[-4,4]B.[-4,-3]U[1,4]

C.[-3,1]D.[-3,4]

解析由圖象知增區(qū)間為[—3,1],故選C.

答案C

2.下列說法中，正確的有（）

①若任意汨，X2G/,當XS2時，,”一〉0,則y=/（x）在/上是增函數;

九2

②函數在R上是增函數；③函數y=一;在定義域上是增函數；④函數y=

《的單調區(qū)間是（一8,0）0（0,+°°）.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

f（X1）—f（X2）

解析當XI<X2時，％1—X2<0,tir>0知兀￥1）—/（X2）<O,A/（X1）</（X2）,

XlX2

①正確；②③④均不正確.

答案B

3.下列函數中，在區(qū)間（0,2）上為增函數的是（）

A.y=5—xB.y=x2+2

C-y=~.D.y=~\x\

解析選項A,C,D中的函數在（0,2）上是減函數，只有函數y=f+2在（0,

2）上是增函數.

答案B

4.若函數yuf+Qa—l）x+l在區(qū)間（-8,2]上是減函數，則實數。的取值范圍

是（）

A.（-1,+0°jB.（-8,—|

C.(3,+0°)D.(—8,-3]

解析?.?函數y=f+(2a—1)尤+1的圖象是開口向上，直線-為函數的對

稱軸，又?..函數在區(qū)間(一8,2］上是減函數，故2W、-,解得后一右

答案B

5.已知定義域為R的函數凡r)在(4,+8)上為減函數，且函數y=^x)的對稱軸為

九=4,則()

A次2)43)B以2)之穴5)

Cy(3)>X5)D..A3)>/(6)

解析..了口)關于x=4對稱且在(4,+8)上為減函數，

在(一8,4)上為增函數,且.*5)=43),X6)=/(2),

.?式3)/2)=/(6),故選D.

答案D

二'填空題

6.函數在伍，+8)上單調遞減，則。的取值范圍是.

解析函數負幻=97［■的單調減區(qū)間為(一1,+°°),(一8,—1),又加)在他，

+8)上單調遞減，所以—1.

答案［-1,+°°)

7.下列函數中滿足“對任意XI,x2e(O,+8),都有/(K)―/(X2)>0”的是

XI—X2

________(填序號).

2

①/0)=_嚏；②/a)=_3x+i；

(3)/(JC)=X2+4JC+3；(4)/(X)=X—p

解析由題意知火X)在(0,+8)上為增函數，①③④在(0,+8)上均為增函數.

答案①③④

8.函數y=/(x)在(一2,2)上為增函數，且八2加)次一加+1),則實數機的取值范圍

是.

-2<2m<2,

—2<—w+l<2,

{2m>—m+1,

解得;</n<l.

答案&1）

三'解答題

9.已知函數危）=/nr+2+；（加，〃是常數），且4）=2,兀2）=%

⑴求〃2,〃的值；

⑵當“正”,+8）時，判斷式》）的單調性并用定義證明.

解（1）因為11）=〃?+1+3=2,

八/2,）=2m+^2-〃+^2=~r4.

m=1,

所以C

[n=2.

（2）由（1）知?r）=x+=+5，兀r）在xG[l,+8）上為增函數，證明如下:

設lWxi<X2,

Xxi）—/（X2）=X1+擊下卜+會+力

=（XLX2）（l-壺）

（XLX2）（2X1X2-1）

2x1x2,

因為1WX1<X2,所以XI—X2<0,X1X2>1,

所以2XIX2>2>1,

“一（了1-X2）（2xiX2-l）

所以云瓦;<0，即火XI）勺（北），

所以兀r）在口，+8）上單調遞增.

9

10.求函數式x）=x+；（x>0）的單調區(qū)間.

解設XI,%2是（0,+8）上的任意兩個實數，且X1<X2,則/（為）一外2）=（加+孑）一

xi+-

、祝

9（川―X2）

=）

（X|—X2X\X2

（Xl—X2）（11X2-9）