中考特色題型專練之三大運動——翻折幾何篇題型一、與三角形結合1．如圖，將沿、翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．連接并延長，設，則，依據(jù)三角形外角性質，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接并延長至G，設，則，由折疊可得，，是的外角，，同理可得，，，解得，，故選：B．2．如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了翻折變換的性質，三角形內角和定理，一元一次方程，正確掌握圖形翻折的性質是解題的關鍵．設，由翻折得，根據(jù)三角形內角和得到，求出，再利用三角形內角和求出的度數(shù)．【詳解】解：設，由翻折得，，，，解得，，，．故選：A3．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，是軸上的動點（不與點重合），若將沿直線翻折，點恰好落在軸上，則點的坐標為【答案】或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)綜合應用、勾股定理、折疊的性質等知識，解題關鍵是分兩種情況討論，避免遺漏．首先確定點坐標，利用勾股定理解得，然后分點在軸負半軸上和點在軸正半軸上兩種情況討論，結合折疊的性質和勾股定理求解即可．【詳解】解：對于直線，令，則，即，令，則，即，∴，，∵，∴，分兩種情況討論：①點在軸負半軸上時，如下圖，由折疊可知，，，∴，設，則，在中，可有，即，解得，∴，∴；②點在軸正半軸上時，如下圖，由折疊可知，，，∴，設，則，在中，可有，即，解得，∴，∴．綜上所述，點的坐標為為或．故答案為：或．4．如圖，在中，已知，，為邊的中點，把沿翻折，點落在處，當時，的長為．【答案】【分析】本題考查解直角三角形，翻折問題，如圖，連接，過點作于，由可知，由翻折可知，，，進而可得，，由為的中點，可知，證得，再由勾股定理即可求解．添加輔助線構造直角三角形是解決問題得關鍵．【詳解】解：如圖，連接，過點作于，∵，，，∴，由翻折可知，，，設，，，∴，則，，由勾股定理可得：，∵為的中點，則，∴，∴，，又∵，則，∴，∴，故答案為：．5．在中，，點為延長線上任一點，連接．(1)如圖，若，，求線段的長；(2)如圖，將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，連接．點為的中點，連接．求證：；(3)在（）的條件下，設點為直線上的點，交于點．點在延長線上運動的過程中，當時，將沿直線翻折到所在平面內得到，同時將沿直線翻折到所在平面內得到．在取得最大值時，請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)旋轉的性質得到，證明是等腰直角三角形，求出，的長度，在中運用勾股定理得到從而求出；（）取的中點，連接，證明，得到，證明點三點共線，再證明，，即可證明結論；（）由題可知，點在以點為圓心，的長度為半徑的圓上運動，得點在線段上時，取得最大值，證明，設，則，，，根據(jù)相似三角形的性質表示，根據(jù)銳角三角函數(shù)，表示，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，將繞點逆時針旋轉，使得與重合，得到，連接，∵是等腰直角三角形，∴，∴，由旋轉得，，∴，，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，在中，∵，，∴，∴；（2）證明：連接，由線段繞著點逆時針旋轉得到線段，得，，∵，∴，∵，，∴，∴，取的中點，連接，∵，點是中點，∴，∵點是中點，∴是的中位線，∴，，∵，∴，∵，∴點三點共線，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（3）解：由題可知，點在以點為圓心，的長度為半徑的圓上運動，得點在線段上時，取得最大值，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，設，則，，，∵，∴，∴，∴，，由折疊可知，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，，在中，∵，，∴，∴，∵關于對稱，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，三角形中位線的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練運用上述知識點解題．6．如圖①，在中，延長AC到D，使，E是AD上方一點，且，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)如圖①，若，將沿直線翻折得到，連接和，與交于F，若，求證：F是的中點；(3)在如圖②，若，，將沿直線翻折得到，連接交于F，交于G，若，，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）結合條件中角的關系，由三角形外角的性質，得，證出，得，即可證明結論；（2）同（1）證出，由翻折得，結合易得，即，由三線合一得F是的中點；（3）先利用折疊的性質，證明，易得，利用三角形內角和可得，由角的轉化得到，最后證明，進而求得．【詳解】（1）證明：，，，，在與中，，，，∴是等腰三角形；（2）證明：，，，，在與中，，，，∴，如圖，連接，將沿直線翻折得到，，，，即．由三線合一，得：F是的中點；（3）解：如圖，連，延長交于M，根據(jù)折疊的性質，則，，，，∵，∴，在與中，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在與中，，，，，．【點睛】本題是三角形翻折變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和，平行線的性質，等腰三角形三線合一，其中能夠利用全等三角形的性質與翻折性質得到的邊、角相等進行等量代換是解題關鍵．題型二、與四邊形結合1．如圖，在正方形中，是邊的中點，將沿直線翻折，點落在點處，連結，那么的正切值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了求正切函數(shù)值，折疊的性質及正方形的性質．由折疊可得，，再根據(jù)三角形的外角性質及折疊的性質得到，進而可得，求解即可．【詳解】解：由折疊可得，，正方形中，是邊的中點，，，，是的外角，，，，．故選：A．2．在矩形中，，點在上，將沿翻折，若點的對應點恰好落在矩形的對稱軸上，則折痕的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由于矩形有兩條對稱軸，分兩種情況，根據(jù)折疊的性質和勾股定理進行解答即可．【詳解】解：①如圖1，當點落在中垂線這條對稱軸上時，．

圖1，，，．②如圖2，當點落在中垂線這條對稱軸上時，

圖2，，．設，∴在中，，解得，．綜上所述，折痕的長為或．【點睛】本題考查翻折變換的性質、矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質等知識；熟練掌握翻折變換和勾股定理是解題的關鍵．3．如圖，在矩形中，，，點，分別在，上，且，，為直線上一動點，連接，將沿所在直線翻折得到，當點恰好落在直線上時，的長為．【答案】或【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．由矩形的性質得到，，，根據(jù)已知條件得到，推出四邊形的矩形，得到，，根據(jù)折疊的性質得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)矩形的判定和性質得到，，再由勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，∵，∴四邊形的矩形，∴，，∵將沿所在直線翻折得到，∴，，∵，∴，如圖1，在中，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，在中，，∴，解得：．如圖2，在中，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，在中，，∴，解得：，故答案為：或10．4．如圖，矩形中，，點E在邊上，將沿直線翻折，得到，過點作，垂足為G．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了矩形折疊問題，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理，及三角函數(shù)是解題的關鍵．證明是解題的關鍵；設交于點F，由矩形的性質得，根據(jù)折疊的性質可得，在證明，則，，所以，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：設交于點F，四邊形是矩形，，將沿直線翻折，得到，點與點B關于直線對稱，垂直平分，，，，，，，，，故答案為：．5．如圖①，已知矩形的對角線的垂直平分線與邊，分別交于點E，F(xiàn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)如圖②，直線分別交矩形的邊，于點E，F(xiàn)，將矩形沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，求的長；(3)如圖③，直線分別交的邊，于點E，F(xiàn)，將沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，，則五邊形的周長為______．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由“”可證，可得，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形是平行四邊形，即可證平行四邊形是菱形；（2）連接，由折疊的性質可得，由勾股定理可求，，再由，可求出的長；（3）過點A作，交的延長線于N，過點F作于M，由等腰直角三角形的性質可求，由勾股定理可求，再利用勾股定理可求的長，再求出五邊形的周長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵垂直平分，∴，∴，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：如圖，連接，由折疊的性質得：，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴是直角三角形∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖，過點A作，交的延長線于N，過點F作于M，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，∵，，∴是等腰直角三角形∵，∴，由折疊的性質得：，∵，，∴，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴五邊形的周長為．故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，菱形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造直角三角形是本題的關鍵．6．如圖，在矩形中，，，點在邊上，．為上一動點（不與點重合），將沿直線翻折，點落在點處，．(1)如圖1，若，延長交于點，求的長．(2)如圖2，當時，延長交于點，①求證：；②求的長．(3)如圖3，當?shù)难娱L線經(jīng)過點時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可證四邊形是矩形，可得，根據(jù)折疊的性質可得，根據(jù)，，可求出的值，由此即可求解；（2）①根據(jù)折疊可得，，由，直角三角形的性質，內角和定理可求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可求解；②根據(jù)含角的直角三角形的性質，運用解直角三角形的方法分別求出的值，應用相似三角形的判定方法，矩形的性質即可求解；（3）連接，根據(jù)勾股定理可求出的長，根據(jù)折疊的性質可得的值，在中，運用勾股定理可求出的值，設，可用含的式子表示，，在中運用勾股定理可求出的值，即值，在中運用正切值的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，∴由折疊得，．（2）解：①證明：由翻折可知，，，，，，，，；②在中，，，，，，，四邊形是矩形，，．（3）解：，理由如下，如圖，連接，，，，四邊形是矩形，，，，由翻折可知，，，，設，則，，，在中，，即，解得，，．【點睛】本題主要考查矩形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理的運用，相似三角形的判定和性質的綜合，掌握矩形與折疊，勾股定理的計算，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．題型三、與圓結合1．如圖，為的內接三角形，，為邊上的中線，將沿翻折后剛好經(jīng)過點，若已知的半徑為，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作，交于，可得點為點的對應點，根據(jù)折疊點性質可得，根據(jù)圓內接四邊形的性質及鄰補角點定義可得，得出，過點作于，過點作于，連接、，根據(jù)垂徑定理可得出的長，根據(jù)“三線合一”可得的長，即可得出四邊形是正方形，可得、的長，利用勾股定理可求出的長，即可得出的長，利用勾股定理即可得答案．【詳解】解：如圖，過點作，交于，過點作于，過點作于，連接、，∵為邊上的中線，，∴，，∴，∵將沿翻折后剛好經(jīng)過點，，交于，∴點為點的對應點，，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查折疊的性質、垂徑定理、圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質、正方形的判定與性質及勾股定理，根據(jù)圓內接四邊形的性質及折疊性質得出是解題關鍵．2．如圖，為正方形的邊上一點，以為圓心、為半徑作，交于點，過點作的切線交于點，將沿翻折，點的對應點恰好落在上，則的值為______．A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，作于，通過證得，，設，．則，根據(jù)勾股定理，列方程，解方程即可求得結論．【詳解】解：連接、，作于，，，四邊形是正方形，，，是的切線，，，，，，在和中，，設設．則，在中，，解得：，，則故選：C．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了切線的性質、垂定定理、正方形的性質、勾股定理，方程，全等三角形的判定與性質等知識；本題主要考查了圓的切線及全等三角形的判定和性質，關鍵是作出輔助線利用三角形全等證明．3．如圖，是正方形的外接圓，將分別沿、向內翻折．若，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）【答案】【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積公式，正方形的性質，折疊的性質和勾股定理，根據(jù)正方形的性質得到，，求得，根據(jù)各圖形的面積公式即可得到結論，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴由勾股定理得：，∴，∵將分別沿、向內翻折，∴圖中陰影部分的面積正方形的面積（的面積正方形的面積），故答案為：．4．如圖，將上的沿弦翻折交半徑于點D，再將沿翻折交于點E，連接.若，則的值．【答案】/【分析】本題主要考查折疊的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理及弧，弦，圓心角之間的關系，勾股定理．連接、、，作于F，設，則，，，先利用折疊的性質和圓周角定理得到，再利用弧、弦、圓心角的關系得到，然后利用勾股定理計算出，接著再計算出即可．【詳解】解：連接、、，作于F，如圖所示，設，則，，∴，∵上的沿弦翻折交半徑于點D，再將沿翻折交于點E，∴為等圓中的弧，∵它們所對的圓周角為，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，，∴．故答案為：．5．有一張半徑為2的圓形紙片．(1)如圖（1），先將紙片沿直徑左右翻折，再上下翻折，剛好完全重合，然后平鋪展開，則的大小是______；在上任取一點C（異于A，B），則的大小是______；(2)如圖（2），將紙片沿一條弦翻折，使其劣弧恰好經(jīng)過圓心O，作出直徑，則圖中陰影部分的面積是______；(3)如圖（3），是的直徑，將劣弧沿弦翻折，交于點D，再將劣弧沿直徑翻折，交于點E，若點E恰好是翻折后的劣弧的中點，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；或；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質可得，進而根據(jù)圓周角定理以及圓內接四邊形對角互補，即可求解；（2）作交于點E，交于點D，連接，，得出是等邊三角形，進而根據(jù)陰影部分的面積即為的面積，即可求解．（3）首先添加輔助線，利用圓周角定理證明線段，設，則，構建方程求出，再通過解直角三角形求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：根據(jù)折疊了2次，則，如圖（1）所示，當點C在優(yōu)弧上時，，當點C在上時，，

故答案為：；或．（2）解：如圖（2）所示，作交于點E，交于點D，連接，，，

由折疊可知，，，，，，，，和是等邊三角形，，∴弓形的面積等于弓形的面積，∴扇形的面積等于扇形的面積，∴陰影部分的面積即為的面積；，則，，，∴陰影部分面積，故答案為：；（3）解：如圖（3），連接，過點C作于H，

，，，，∵E是的中點，，，，設，則，，是直徑，，，，，，，，則是等腰直角三角形，，，，，，∴弓形，的面積相等，∴陰影部分面積為．【點睛】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形判定和性質、解直角三角形、扇形的面積等知識，學會添加常用輔助線，利用特殊角解決問題是解答本題的關鍵．6．已知，在扇形中，，，點P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點O的對稱點為點Q．①如圖1，當點Q剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點Q落在扇形內部，的延長線與弧交于點C，過點Q作，垂足為H，，求的長；(2)如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點B的對稱點為點E，弧所在的圓與的延長線交于點F，若，求的長．【答案】(1)①；②16(2)【分析】（1）①連接，證明為等邊三角形，得根據(jù)得，利用弧長公式即可解答；②過O作，證，即可解答；（2）將沿著翻折得，過點Q作，垂足為點H，過點P作，垂足為點D，得四邊形是矩形，結合（1）②的結論以及折疊的性質可得，，根據(jù)勾股定理求，設，，，由，得，解方程即可【詳解】（1）①連接，由翻折得，，為等邊三角形，，，，弧的長：；②過O作，，，，由翻折得，在與中，，，；（2）如圖所示，將沿著翻折得，過點Q作，垂足為點H，過點P作，垂足為點D，∵，∴四邊形是矩形，由折疊和(1)可知，，，，，，在中，設，則，，在中，，解得：的長為．【點睛】本題主要考查了弧長公式，垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握折疊的性質以及垂徑定理，構造合理的輔助線，是解答本題的關鍵．題型四、與相似有關1．如圖，在中，，翻折，使點落在直角邊上某一點處，折痕為，點、分別在邊、上，若與相似，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查相似三角形的判定與性質、翻折變換，利用數(shù)形結合的思想和分類討論的數(shù)學思想解答是解答本題的關鍵．根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后根據(jù)題目中的條件，利用三角形相似，可以求得的長，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，當時，則，∵，翻折，使點落在直角邊上某一點處，∴，解得；當時，則，∵，翻折，使點落在直角邊上某一點處，解得；由上可得，的長為或，故選：D．2．如圖，在紙片中，，分別在上，連結，將沿翻折，使點的對應點落在的延長線上，若平分，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)折疊性質得出，，然后根據(jù)角平分線的定義證得，進而證得∠BDF=90°，證明，可求得的長，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：，，由折疊性質得：，，則，平分，，，，即∠BDF=90°，，即，解得：，故選：C．【點睛】本題考查折疊性質、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，熟練掌握折疊性質和相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．3．如圖，在中，，，點D為邊上的點，連接，將沿翻折，點B落在平面內點E處，邊交邊于點F，連接，如果，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了翻折的性質，掌握等腰三角形的性質和解直角三角形是解題的關鍵．先過A作于M，過E作于N，再根據(jù)相似三角形的性質及解直角三角形求解．【詳解】解：如圖所示：過A作于M，過E作于N，∴，∴，∴，設，∵，∴，∴，∵將沿翻折，點B落在平面內點E處，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，點D，E是正兩邊上的點，將沿直線翻折，點B的對應點恰好落在邊上，當時，則的值為．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，折疊的性質．設，則，，根據(jù)等邊三角形的性質得到，根據(jù)折疊的性質得到，，，根據(jù)相似三角形的性質結論．【詳解】解：，設，則，，是等邊三角形，，將沿直線翻折，點的對應點恰好落在邊上，，，，，，，，故答案為：．5．在矩形中，點P為邊上一點，將沿直線翻折，使點B落在矩形內的點E處，直線與邊交于點F．(1)如圖1，當點P為中點時，求證：；(2)如圖2，若，，，求線段的長；(3)若直線與的延長線交于點Q，，，當時，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由翻折可知，，由點P為的中點，可知．，得，結合，可知，進而可證得結論；（2）過點E作于點H，交于K，則，先證為等腰直角三角形，進而可知也是等腰直角三角形，得，設，由翻折可得，可知，．根據(jù)勾股定理得，即，可求得，，進而求得，再證，得進而求出即可求得答案；（3）如圖，連接，分別過B，Q作于點M，交延長線于點N，則，結合題意易知，則，即，可證得，可知四邊形為平行四邊形，得，則，由翻折可得垂直平分BE，得，證得，可知，易證，得，由勾股定理得．，由等面積，過F作于點G，證，，由相似三角形得性質可知，，即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，∵將沿直線翻折得到，∴，．∵點P為的中點，∴．∴．又，∴．∴．（2）解：過點E作于點H，交于K，則，∵，，∴．又∵，∴為等腰直角三角形．∴，則也是等腰直角三角形，∴，在中，設，由翻折可得，．∴，．在中，由勾股定理得，即，解得．∴，．∴．在和中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴．（3）解：如圖，連接，分別過B，Q作于點M，交延長線于點N，則，根據(jù)題意得：，則．∵，∴，∴，即．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．∴．∴．由翻折可得垂直平分BE．∴．∵，，∴，∴．∴．∴．在中，由勾股定理得．∴，過F作于點G，則，∵，，∴，．∴，∴．∴．【點睛】本題考查了矩形的相關知識，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理的計算等知識點．其中利用面積相等求線段或證明平行是解題關鍵．6．興趣小組在數(shù)學活動中，對四邊形內兩條互相垂直的線段進行了如下探究：（1）【初探猜想】如圖1，在正方形中，點，分別是、上的兩點，連接，，若，試判斷線段與的大小關系，并說明理由；（2）【類比探究】如圖2，在矩形中，，，點、分別是邊、上一點，點、分別是邊、上一點，連接，，若，則=______；（3）【知識遷移】如圖3，在四邊形中，，點、分別在線段、上，且，連接，若為等邊三角形，求的值；（4）【拓展應用】如圖4，在矩形中，，，點，分別在邊，上，將四邊形沿翻折，點的對應點點恰好落在上，點的對應點是點，則的最小值為______．（用、的代數(shù)式表示）【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）證明，進而結論得證；（2）如圖2，過作于，過作于，則四邊形均為矩形，，，證明，進而可求結果；（3）如圖3，過作的延長線于，過作于，過作于，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，，同理（2），，則，由為等邊三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后計算求解即可；（4）如圖4，連接，，證明，則，同理（2）可得，，即，則，如圖4，作關于的對稱點，連接，，，則，，當三點共線時，最小，最小為，由勾股定理得，，然后計算求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵正方形，∴，，∵，∴，即，∵，，，∴，∴；（2）解：如圖2，過作于，過作于，∴，∵矩形，∴，∴四邊形均為矩形，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∴，故答案為：；（3）解：如圖3，過作的延長線于，過作于，過作于，∵，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是矩形，，∵，同理（2），，∴，∵為等邊三角形，，∴，，由勾股定理得，，∴，故答案為：；（4）解：如圖4，連接，，由翻折的性質可知，，，，，∴，∴，即，∵，，，∴，∴，同理（2）可得，，即，∴，如圖4，作關于的對稱點，連接，，，∴，，，∴，當三點共線時，最小，最小為，由勾股定理得，，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理，翻折的性質，全等三角形的判定與性質等知識．熟練掌握矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理，翻折的性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．函數(shù)篇題型一、與一次函數(shù)結合1．將的圖象沿y軸向上平移2個單位長度后，再沿x軸翻折所得函數(shù)圖象的對應的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移和翻折，根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”得到平移后的解析式，再設平移后新函數(shù)的圖象上一點P的坐標為，沿軸翻折后的坐標為，再將代入平移后新函數(shù)解析式即可求解．【詳解】解：的圖象沿y軸向上平移2個單位長度，平移后解析式為，設的圖象上一點P的坐標為，則沿軸翻折后的坐標為，沿軸翻折后為，整理得，故選：A．2．已知，如圖，直線：，分別交平面直角坐標系于，兩點，直線與坐標軸交于，兩點，兩直線交于點；點是軸上一動點，連接，將沿翻折，點對應點剛好落在軸負半軸上，則所在直線解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，勾股定理及應用，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．把代入得，即得，當?shù)膶c在軸負半軸時，過作軸于，由知，，設，則，在中，有，用待定系數(shù)法即得直線解析式．【詳解】解：把代入得：，解得，，把代入得：，解得，直線為，當?shù)膶c在軸負半軸時，過作軸于，如圖：在中，令得，，，，，，，，，設，則，，在中，，，解得，，設直線解析式為，把代入得：，解得，直線解析式為．故選：A．3．如圖，直線與坐標軸交于A、B兩點，連接且軸，交直線于點E，連接，將沿著直線翻折，點D正好落在直線上，若，那么點C的坐標為．【答案】【分析】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象，圖形的翻折變換及其性質，勾股定理等知識點．先求出點，由軸，設點C的坐標為，根據(jù)點E在直線上得，則，由翻折的性質得，在中由勾股定理得，根據(jù)得列方程解得（舍去負值），則，再由得，據(jù)此可得點C的坐標．【詳解】∵直線與坐標軸交于A、B兩點，∴，∴，∵軸，∴點C的縱坐標與點B的縱坐標相同，∴可設點C的坐標為，又∵點E在直線上，∴，∴，∵將沿著直線翻折，∴，在中，由勾股定理得：∵，∴，即，解得：或，∵點C在第一象限，因此不合題意∴，∴，又∵，∴，即，解得：，∴點C的坐標為．故答案為：．4．如圖所示，在平面直角坐標系中，，，P為直線AB上一點，以PB為斜邊作，其中軸，將沿PB翻折，若Q點的對應點R剛好落在x軸上，則點P坐標為．【答案】【分析】根據(jù)，，求出直線AB的表達式，設出點P和點Q的坐標，根據(jù)折疊的性質表示出BR和PR，最后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】如圖，設PQ交x軸于M，∵，，∴設直線AB的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y=-3x-2，設P（m，-3m-2），Q（m，-2），M（m，0），∴PQ=-3m-2-（-2）=-3m，BQ=-m，∵將沿PB翻折，若Q點的對應點R剛好落在x軸上，∴BR=BQ=-m，PR=PQ=-3m，∴OR==,∴MR=OM+OR=-m，在Rt△PMR中，PR2=PM2+MR2，∴（-3m）2=（-3m-2）2+（-m）2，∴9m2=9m2+12m+4+m2-4-2m+m2，整理得：2m2+12m-2m=m(2m-2+12)=0，∵m≠0，∴2m-2+12=0，解得：，∴-3m-2=8，∴點P坐標為（，8）．【點睛】此題考查了勾股定理的運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式等知識，解題的關鍵是根據(jù)題意表示出點Q和點P的坐標，列方程求解．5．如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上，過點作軸于點，將沿所在直線翻折，使點恰好落在拋物線上的點處．

(1)求拋物線解析式；(2)連接，①；②若點P為直線上方拋物線上一動點，連接，當四邊形面積最大時，求點P的坐標．(3)拋物線上是否存在一點Q，使？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①2；②(3)或【分析】（1）由點的坐標可得出點的坐標，由點，的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）①利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點的坐標，由點，的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點的坐標，再利用三角形的面積計算公式，結合，即可求出的面積；②由①知，當最大時，即最大時，四邊形的面積最大，過點P作x軸的垂線，交于點Q，設點，則，得到，根據(jù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求出結果；（3）存在，由點，的坐標可得出，結合可得出，設點的坐標為，分點在軸上方及點在軸下方兩種情況考慮：①當點在軸上方時記為，過點作軸于點，則，進而可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，將符合題意的值代入點的坐標中即可求出點的坐標；②當點在軸下方時記為，過點作軸于點，則，進而可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，將符合題意的值代入點的坐標中即可求出點的坐標．【詳解】（1）解：將沿所在直線翻折，使點恰好落在拋物線上的點處，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．將，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：①當時，，點的坐標為．設直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為．點在直線上，軸于點，當時，，點的坐標為．點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，，，，，故答案為：2．②由①知，當最大時，即最大時，四邊形的面積最大，過點P作x軸的垂線，交于點Q，

設點，則，，，，當時，的最大，即四邊形的面積最大，；（3）解：存在，理由如下：點的坐標為，點的坐標為，．在中，，，點Q在拋物線上，設點Q的坐標為．①當點Q在軸上方時記為，過點作軸于點，在中，，，，即，解得：（不合題意，舍去），，點的坐標為；②當點Q在軸下方時記為，過點作軸于點，在中，，，，即，解得：（不合題意，舍去），，點的坐標為．綜上所述，拋物線上存在一點，使，點的坐標為或．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、等腰直角三角形以及解一元二次方程，靈活運用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．6．如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交，軸于點，，在軸負半軸有一點C，滿足，作直線，點D是y軸正半軸上的一個動點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)過點D作y軸的垂線，分別交直線，于點，，若，求點D的坐標；(3)如圖2，連接，將沿直線進行翻折，翻折后點O的對應點為點E，連接，若為直角三角形，求的長度．【答案】(1)；(2)或；(3)或或8．【分析】（1）設直線的解析式為，用待定系數(shù)法即可得直線解析式；（2）分類討論：點D在線段上，點D在線段延長線上，把三個點的坐標表示出來列方程即可求解；（3）點D在y軸正半軸上運動時，分三種情況：，分別畫出圖形，結合圖形，運用勾股定理、矩形、正方形的性質及判定求解即可．【詳解】（1）解：令，，則，令，即，，則，，，，，設直線的函數(shù)表達式為，將，代入，得，解得，直線的函數(shù)表達式為；（2）解：①點D在線段上時，如下圖所示，設，則，，，，，的坐標為；②點D在線段延長線上時，如下圖所示：設，則，，，，，的坐標為；綜上所述，若，D的坐標為或；（3）解：，，，設，則，將沿直線進行翻折得到，，，，①當時，如圖所示：，此時點A、E、B三點在一條直線上，點E在直線上，，，在中，，即，解得；②當時，如圖所示：作于點F，，四邊形是矩形，，在中，，，在中，，即，解得；③當時，如圖所示：，四邊形是正方形，即，；綜上所述，當為直角三角形，的長度為或或8．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合應用，涉及矩形、正方形性質及判定、勾股定理、折疊等知識，解題的關鍵是用含參數(shù)的代數(shù)式變式相關點坐標和相關線段的長度，運用分類討論、數(shù)形結合靈活解題．題型二、與反比例函數(shù)結合1．已知在平面直角坐標系中，過點O的直線交反比例函數(shù)的圖象于A，B兩點（點A在第一象限），過點A作軸于點C，連結并延長，交反比例函數(shù)圖象于點D，連結，將沿線段所在的直線翻折，得到，與交于點E．若點D的橫坐標為2，則的長是（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】求出直線，的解析式，聯(lián)立兩個解析式，求出點坐標，利用兩點間距離公式，進行求解即可．【詳解】解：設點A的坐標為，則點B的坐標為∵軸，∴，設直線的解析式為，把代入，得，解得：，∴，∵點D的橫坐標為，∴把點代入得：(舍)，∴，直線的解析式為：，∵將沿線段所在的直線翻折，得到，∴點的坐標為，設直線的解析式為，把，代入可得：解得：，∴，聯(lián)立，解得：，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用．熟練掌握旋轉的性質，正確的求出一次函數(shù)的解析式，是解題的關鍵．2．如圖，平面直角坐標系中，四邊形的邊在軸正半軸上，軸，，點，連接，以為對稱軸將翻折到，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點、，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作軸于，過點作軸于，連接交射線于，過作軸于，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)三角函數(shù)用k表示出，，，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，用k表示出點的值，即可求出k的值．【詳解】解：過點作軸于，過點作軸于，連接交射線于，過作軸于，如圖所示：設，在中，，，，∴，由翻折得，，，∴，∴，，，，，∴，，∴，軸，軸，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合問題，平行線分線段成比例定理，勾股定理，三角函數(shù)解直角三角形，作出輔助線，設，用k表示出點的坐標，是解題的關鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，分別在軸和軸上，已知對角線，．是邊上一點，過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，若將沿翻折后，點恰好落在上的點處，則．【答案】【分析】如圖，過點作軸于，根據(jù)可得出、的長，可得點坐標，分別用表示出點、坐標，由折疊性質結合直角三角形兩銳角互余可證明，根據(jù)相似三角形的性質列方程即可求出的長．【詳解】解：如圖，過點作軸于，∵矩形的邊，分別在軸和軸上，已知對角線，，∴設，，∴，解得：，（負值舍去）∴，，∴，∵點、在反比例函數(shù)的圖像上，∴，，∴，，∵將沿翻折后，點恰好落在上的點處，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查矩形性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，已知正切值求邊長及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用表示出點、坐標是解題關鍵．4．如圖，在平面直角坐標系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點，以，為邊，在第一象限內作矩形，且，將矩形翻折，使點B與原點重合，折痕為，點C的對應點落在第四象限，過M點的反比例函數(shù)，其圖像恰好過的中點，則點的坐標為．

【答案】【分析】連接，交于點Q，過點Q作，利用反比例函數(shù)k值的幾何意義，三角形中位線定理，勾股定理等計算即可．【詳解】解：連接，與的交點為點Q，

∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴Q也是的中點，根據(jù)折疊性質，得到于點Q，且∴直線是的垂直平分線，∴，過點Q作，垂足分別為H，G，則，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，解得（舍去），∴，，連接，根據(jù)折疊的性質，得∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴，故點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，反比例函數(shù)的性質，中位線定理，勾股定理，熟練掌握反比例函數(shù)的性質，中位線定理，勾股定理是解題的關鍵．5．如圖，在平面直角坐標系中中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點坐標為，反比例函數(shù)的圖像交分別為．(1)當時，求的值；(2)將沿翻折，點對應點記為，問的值是否為定值，若是求出該值、若不是請用表示；(3)連接，作，并使，求過點的反比例函數(shù)解析式．【答案】(1)；(2)是定值，定值為；(3)．【分析】()根據(jù)點的坐標和已知條件求得點的坐標，然后把點的坐標代入函數(shù)解析式即可求出系數(shù)的值；()根據(jù)折疊的性質得到，由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和矩形的性質求得相關線段的長度，將其代入比例式即可求得答案；()根據(jù)余角性質可得，由三角函數(shù)可得，然后利用勾股定理通過點即可求出該反比例函數(shù)的解析式．【詳解】（1）解：∵矩形的邊在軸上，邊在軸上，點坐標為，∴，∵，∴，∴，∵點在反比例函數(shù)上，∴，∴的值是；（2）解：是定值．理由如下：在矩形中，點坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，∴設,，∴，，由折疊的性質知，∴，∴，∴的定值為；（3）解：如圖，連接，，且，過點作軸于，則，∵點坐標為，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，設，過點的反比例函數(shù)關系式為(是常數(shù)，且)，∵，∴，在中，，∴，解得，∴點的坐標為或，∴，∴該反比例函數(shù)解析式為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質以及翻折旋轉的性質，利用待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．6．在函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷“確定函數(shù)表法式—畫函數(shù)圖象—利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質—利用圖象解決問題”的學習過程．畫函數(shù)圖象時，我們常通過描點或平移或翻折的方法畫函數(shù)圖象．請根據(jù)你學到的函數(shù)知識探究函數(shù)的圖象與性質并利用圖象解決如下問題：（1）的取值范圍為__________；（2）在坐標系中作出該函數(shù)圖象；根據(jù)函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質：______________________；（3）直接寫出當函數(shù)的圖象與直線有兩個交點時，的取值范圍為_________________．【答案】（1），（2）圖象見解析，當時，y隨x增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（3）或【分析】（1）根據(jù)分母不為0確定求值范圍即可；（2）根據(jù)描點法畫出圖象，觀察圖象寫出關于增減性的性質即可；（3）觀察圖象，直接寫出取值范圍即可．【詳解】解：（1）根據(jù)分母不為0，所以，即；故答案為：．（2）用描點法畫出圖象如圖，x-2-1-0.50.51234y1244232-1由圖象可知，當時，y隨x增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；故答案為：當時，y隨x增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（3）由圖象可知，當時函數(shù)的圖象與直線有三個交點，或時有兩個交點，時有一個交點；故答案為：或【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的畫法和函數(shù)圖象的性質，解題關鍵是會熟練的畫函數(shù)圖象并能根據(jù)圖象信息解決問題．題型三、與二次函數(shù)結合1．如圖，把二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿著x軸翻折，得到的新函數(shù)叫做的“陷阱”函數(shù)．小明同學畫出了的“陷阱”函數(shù)的圖象，如圖所示并寫出了關于該函數(shù)的4個結論，其中正確結論的個數(shù)為（

）①圖象具有對稱性，對稱軸是直線；

②由圖象得，，；③該“陷阱”函數(shù)與y軸交點坐標為；④的“陷阱”函數(shù)與的“陷阱”函數(shù)的圖象是完全相同的．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是數(shù)形結合，熟練掌握二次函數(shù)的性質，求出原二次函數(shù)解析式．①根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點坐標進行判斷即可；②求出原函數(shù)的解析式進行判斷即可；③求出原函數(shù)圖象與y軸的交點坐標，然后得出新的函數(shù)與y軸的交點坐標進行判斷即可；④先說明的圖象與的圖象關于x軸對稱，然后進行判斷即可．【詳解】解：①∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為：，，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，故此說法正確；②由函數(shù)圖象可知，原二次函數(shù)的頂點坐標為，∴該二次函數(shù)的解析式為：，把代入得：，解得：，∴，∴，，，故原說法錯誤；③把代入得：，∴原函數(shù)與y軸的交點坐標為，∵把二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿著x軸翻折，得到的新函數(shù)叫做的“陷阱”函數(shù)，∴該“陷阱”函數(shù)與y軸交點坐標為，故此說法正確；④∵，∴的圖象與的圖象關于x軸對稱，∴的“陷阱”函數(shù)與的“陷阱”函數(shù)的圖象是完全相同，故此說法正確；綜上分析可知，正確的結論有3個，故C正確．故選：C．2．已知拋物線，直線，將拋物線在直線l左側的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．如果對于任意的實數(shù)n，都存在實數(shù)m，使得點在G上，則a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質，軸對稱的性質，本題先畫出函數(shù)的簡易圖象，計算當?shù)暮瘮?shù)值，對折后可得函數(shù)值取全體實數(shù)，從而可得的范圍．【詳解】解：如圖，把代入，∴，由圖象可得直線，將拋物線在直線l左側的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，如果對于任意的實數(shù)n，都存在實數(shù)m，使得點在G上，∴；故選A3．已知拋物線的圖象如圖①所示，現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象其余部分不變，得到一個新圖象如圖②，當直線與圖象②有多于2個公共點時，則b的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查函數(shù)圖像與直線的交點問題，先根據(jù)頂點式求出拋物線的頂點，在求出翻折后的對稱點的坐標，最后借助于圖像確定b的取值范圍即可，掌握數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．【詳解】解：拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為，根據(jù)翻折變換，關于軸的對稱點為，當直線與圖象②恰有3個公共點時，如圖所示：此時，

當直線與軸重合時，與圖象②有2個公共點，此時，當直線處于直線與直線之間時，與圖象②有4個公共點，此時，當直線位于直線上方時，與圖象②有2個公共點，此時，由圖可知：當直線與圖象②有多于2個公共點時，則b的取值范圍為，故答案為：．4．如圖，中，，以為軸，軸經(jīng)過點，建立平面直角坐標系，已知，，將沿著軸翻折，的對應點為，若拋物線，恰好過、、，則

【答案】【分析