集合知識點1、集合的定義：把某些能夠確切指定的對象看做一個整體，這個整體就叫做集合，簡稱集，通常用大寫字母A,B,C,D……來表示集合，集合中的各個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母a,b,c,d.……來表示元素。如果說a是A中的元素，就說a屬于A，記為a∈A；如果b不是B中的元素，就說b不屬于B，記為b?B。集合中元素的特征（1）確定性（2）互異性（3）無序性（1）列舉法（2）描述法｛x∣x具有性質p｝（3）韋恩圖（文氏圖）（1）有限集（2）無限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為φ（1）自然數集N（正整數集N+或N*）（2）整數集Z（正整數集Z+，負整數集Z）（3）有理數集Q（無理數集CRQ）實數集R（5）復數集C7、區(qū)間的概念：通常把介于兩個實數a，b（a＜b）之間的實數集合稱之為區(qū)間，并規(guī)定（1）滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區(qū)間,表示[a,b]；（2）滿足不等式a<x<b的實數x的集合叫做開區(qū)間,表示﹙a,b﹚；（3）滿足不等式a≤x<b,或a<x≤b的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）滿足不等式x>a或x<a的實數x的集合叫做無限區(qū)間,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（實數集合）（1）子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（任意a∈A則a∈B），那么集合A稱為集合B的子集，記為A?B或

B?A，讀作“集合A\t"s://baike.baidu/item/%E5%AD%90%E9%9B%86/_blank"包含于集合B”或集合B包含集合A”。（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一個元素不屬于A，那么A就是B的\t"s://baike.baidu/item/%E5%AD%90%E9%9B%86/_blank"真子集，可記作：A?B。（3）子集、真子集的一些性質：①規(guī)定空集φ是任何集合的子集；②對于含n個元素的集合，它的子集個數為2n，真子集有2n1個，非空真子集有2n2個。集合的運算交集：由集合A和集合B的公共元素組成的集合，叫做集合A和集合B的交集，記作A∩B，讀作A交B。并集：由所有屬于集合A和集合B的元素組成的集合，叫做集合A和集合B的并集，記作A∪B，讀作A并B。補集：屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作\t"s://zhidao.baidu/question/_blank"CuA。（4）DeMorgan法則（德摩根定理、反演率）Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB考點分析單純的集合知識較難考察，一般只考察其互異性。而在考試中出現的較多題型是子集、交并集與不等式結合的題型。較難的還有與函數結合的綜合題型。例題精講例：已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，CuA∪CuB={2，3，4，6，7，8}，CuA∩B={3，7}，CuA∪B={1，3，5，6，7，8，9}。求集合A、B。思路：利用德摩根定理進行簡化，也可利用圖。解答：由德摩根定理可得CuA∪CuB=Cu(A∩B)，可得A∩B={1，5，9}又∵CuA∩B={3，7}，∴B={1，3，5，7，9}CuA∪B=Cu（A∩CuB），可知A∩CuB={2，4}而A∩B={1，5，9}，∴A={1，2，4，5，9}例：設A={x∣x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R，x∈R},求A中所有元素之和。思路：見到帶字母（含參）就要想到分類討論。在一元二次方程的求解時，我們把重根（Δ=0）看成是兩個根。而在討論解構成的集合的時候，由于集合元素之間的互異性，出現重根時集合中也只有一個元素。解答：通過因式分解，A={x∣(x+1)(x+b+1)=0}①當b=0時，A={1}∴集合A中所有元素之和為1②當b≠0時，A={1，b1}∴集合A中所有元素之和為b2例：設集合P={xy，x+y，xy}，Q={x2+y2，x2y2，0},若P=Q，求集合P，Q。思路：明顯考察了集合元素的互異性。那么具體的已知量只有集合Q中的元素0。我們可以取找集合P中的哪個元素可以取0，從而找到切入點。解答：若xy=0，則x2y2=0集合Q中出現兩個相同元素，違反集合的互異性；若x+y=0，則x2y2=0集合Q中出現連個相同元素，違反集合的互異性。綜上集合P中等于0的元素只能是xy。當y=0時，Q={x2，x2，0}違反集合的互異性，故也不成立?！鄡H可能為x=0，y不等于0y=y2y=y2此時P={y，y，0}Q={y2，y=y2y=y2由P=Q得y=y2或y=y2解得y=±1代入得P=Q={1，1,0}（兩種情況下解出來是一樣的）變式訓練：已知M={x，xy，}，N={0，|x|，y}，若M?N且N?M，則（+）+（+）+…（+）+（+）=__________例：已知=x2+ax+b(a，b∈R)，集合A={x∣x=}，集合B={x∣x=}求證：A?B（2）當A={1,3}時，用列舉法表示B思路：對于第(1)問，我們要注意A是空集的情況，考慮要全面，這樣證明才會嚴密。第(2)問，需要我們去解一個一元四次方程。因為我們沒有學習過一元四次方程的求根公式（5次及以上的方程沒有代數解），所以我們只能考慮對方程進行因式分解，這里需要我們良好的因式分解能力。解答：(1)①若A=φ，則A?B，符合結論②若A≠φ，則設A中的元素為x，則x一定滿足x=f(x)。再將x和f(x)分別看做自變量?！選=f(x)∴f(x)=f(f(x))又因為已知的x=f(x)，故而x=f(f(x))即x也滿足B中的條件，x也是B中的元素?！鄬τ趚∈A，x∈B∴A?B結合①②，∴A?B由A={1,3}可知1,3是方程x=f(x)的兩根，將1,3分別代入解得a=1b=3∴f(x)=x2x3f(f(x))=x(x2x3)2(x2x3)3=x(x2x3)2x2+x+33=x(x2x3)2x2=0(x23)(x22x3)=0(x3)(x+1)(x23)=0B={1,3，，}易錯警醒易錯題：已知全集U=R，集合M={x∣≤0}，求CuM。錯解：∵集合M={x∣≤0}，所以CuM={x∣＞0}，即CuM={x∣x＞1或x＜2}。正解：M={x∣2＜x≤1}，所以CuM={x∣x＞1或x≤2}。拔高訓練思考題：設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對于a，b∈P，都有a+b，ab，ab，(b≠0)均屬于P，則稱P是一個數域。例如有理數集Q是數域，則F={a+b∣a，b∈Q}也是數域。則下列命題中整數集是數域；(2)若有理數集Q?M，則數集M也是數域；(3)數域必為無限集；(4)存在無窮多個數域真命題的有_____________思路：我們一個一個命題去分析。對于命題(1)，若整數集是個數域，任取兩個元素相除，那么根據定義，這個商也是這個數集里的元素，而整數相除會導致分數的產生，故整數集不是個數域(1)顯然是錯誤的；對于命題(2)，取M=Q∪{}，則得到M不是數域；對于命題(3)，將a+b看做基本元素，可得2a+b、3a+b、…na+b、…都是該集合中的元素，所以數域一定是無限集；對于最后的命題(4)，可以根據題目的提示D={a+b∣a，b∈Q}；E={a+b∣a，b∈Q}…均是數域，故數域有無數多個。解答：(3)(4)思考題（高難度，分類討論）：對于函數f(x)，若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”；若f(f(x))=x，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”。函數f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x∣f(x)=x},B={x∣f(f(x))=x}。（Ⅰ）求證：A?B；（Ⅱ）若f(x)=ax21，(a∈R，x∈R)且A=B≠φ，求實數a的取值范圍。思路：這道題的大體框架和思路與例題相似，只是增加了對未知變量的討論，使得這題的難道上了好幾個層次，B中的方程因式分解難度與復雜程度也大幅增加。分類討論要注意不重不漏。B中的方程為a(ax21)21=x，整理之后的形式為a3x42a2x2x+a1=0，最難的點在于把a3x42a2x2x+a1=0因式分解成的過程。解答：（Ⅰ）①若A=φ，則A?B，符合結論②若A≠φ，則設A中的元素為x，則x一定滿足x=f(x)。再將x和f(x)分別看做自變量?！選=f(x)∴f(x)=f(f(x))又因為已知的x=f(x)，故而x=f(f(x))即x也滿足B中的條件，x也是B中的元素。∴對于x∈A，x∈B∴A?B結合①②，∴A?B（Ⅱ）⒈當a=0時，f(x)=1，f(f(x))=1，A=B={1}≠φ⒉當a≠0時，由A≠φ可知?=1+4a≥0。解得a≥由于在集合中兩個相同的根對應一個元素，兩個相異的根對應兩個元素，差異較大，故謹慎起見，我們在(2)的情況下再對a=和a＞再分小點討論。⑴當a=時，f(x)=x21，由f(x)=x解得x=2，即A={2}此時B中的方程為由x24x+20=(x2)2+16≥0可知B中對應方程的解也只有2，即B={2}=A符合題意⑵當a＞時，解A中的方程（求根公式）得x1=，x2=由第（Ⅰ）問我們已證得A?B，即x1、x2也是B中對應方程的解。故B中方程一定可寫成的形式。再此基礎上我們對B中的方程進行因式分解得a(ax21)21=x令第一個因式為0，得到x1，x2；令第二個因式為0，得到的根為x3，x4。接下來就是討論