相似三角形知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題(一)相似三角形1、定義:對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形(強(qiáng)調(diào):?當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可;?相似三角形的特征:形狀一樣，但大小不一定相等;相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質(zhì):對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例(?2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(強(qiáng)調(diào):?全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1(所以全等三角形是相似三角形的特例(其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例(?相似比具有順序性(例如?ABC??A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則?A′B′C′??ABC的相似比，當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k′=1(?相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出(3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形(4、相似三角形的預(yù)備定理:平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似(強(qiáng)調(diào):?定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言:?DE?BC，??ABC??ADE;(雙A型)?這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似的判定定理(它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”;?有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到“見(jiàn)平行，想比例”，還要想到“見(jiàn)平行，想相似”((二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定:判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊?jiǎn)單說(shuō)成:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。例1、已知:如圖，?1=?2=?3，求證:?ABC??ADE(例2、如圖，E、F分別是?ABC的邊BC上的點(diǎn)，DE?AB,DF?AC,求證:?ABC??DEF.ADCBEF第4題判定定理2:如果三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似(2例1、?ABC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC=AD?AB，那么?ACD與?ABC相似嗎,說(shuō)說(shuō)你的理由(例2、如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，?PCD是等邊三角形。(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，?ACP??PDB,(2)當(dāng)?ACP??PDB時(shí)，求?APB的度數(shù)。如圖在正方形網(wǎng)格上有和，,ABC,ABC111222它們相似嗎,如果相似，求出相似比;如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。判定定理3:如果三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成:三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似(強(qiáng)調(diào):?有平行線時(shí)，用預(yù)備定理;?已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2;?已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3(但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等(2、直角三角形相似的判定:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似(例1、已知:如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP,3PC，Q是CD的中點(diǎn)(求證:?ADQ??QCP(A例2、如圖,AB?BD,CD?BD,P為BD上一動(dòng)點(diǎn),AB=60Ecm,CD=40cm,BD=140cm,當(dāng)P點(diǎn)在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)F時(shí),PB的長(zhǎng)滿足什么條件,可以使圖中的兩個(gè)三角形相似?請(qǐng)說(shuō)BCD明理由.例3、如圖AD?AB于D，CE?AB于E交AB于F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)有對(duì)。例4、已知:AD是Rt?ABC中?A的平分線，?C=90?，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N。求證:(1)?AME??NMD2(2)ND=NC?NB強(qiáng)調(diào):?由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似;?如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛((直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直三角形的與原三角形相似)?如圖，可簡(jiǎn)單記為:在Rt?ABC中，CD?AB，則?ABC??CBD??ACD(?補(bǔ)充射影定理。特殊情況:第一:頂角(或底角)相等的兩個(gè)等腰三角形相似。第二:腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。第三:有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。第四:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。第五:如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定AAS(ASA)SASSSSHL兩邊對(duì)應(yīng)成一條直角邊相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成兩角對(duì)應(yīng)相比例夾角相與斜邊對(duì)應(yīng)的判定比例等等成比例二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功(通常有以下幾種方法:(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角;相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角;相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊;(2)相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊(或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊;對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角;對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角((3)對(duì)應(yīng)字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上，可直接得出對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形:學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái);對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶;對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法(如:(1)平行型:(A型，X型)AAA(2)交錯(cuò)型:EEDDDBCBCCBCAEDBC(3)旋轉(zhuǎn)型:(4)母子三角形:BAD(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見(jiàn)前圖(“見(jiàn)平行，想相似”是解這類題的基本思路;(2)“相交線型”相似三角形，如上圖(其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?“見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路;(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖(若圖中?1=?2，?B=?D(或?C=?E)，則?ADE??ABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的?ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的(強(qiáng)調(diào):從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線(以上“平行線型”是常見(jiàn)的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形(練習(xí):1、如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來(lái)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明識(shí)別的根據(jù)。2、如圖27-2-1-12,在大小為4×4的正方形方格中,?ABC的頂點(diǎn)A,B,C在單位正方形的頂點(diǎn)上,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一個(gè)?ABC,使?ABC??ABC(相似比不為1),且點(diǎn)A,B,C都在單位111111111正方形的頂點(diǎn)上.圖27-2-1-12練習(xí)題相似三角形的判定,ABC1.如圖，銳角的高CD和BE相交于點(diǎn)O，圖中A,ODB與相似的三角形有()DA4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)EOCB,ABC，ABC,2，C，ABC2.如圖，在中，，BD平分，試說(shuō)明:AB?BC=AC?CD003.已知:ΔACB為等腰直角三角形，?ACB=90延長(zhǎng)BA至E，延長(zhǎng)AB至F，?ECF=135求證:ΔEAC?ΔCBF4.已知:如圖,ΔABC中,AD=DB,?1=?2.求證:ΔABC?ΔEAD.5.、如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且ΔPCD是等邊三角形.(1)當(dāng)AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，ΔACP?ΔPDB;(2)當(dāng)ΔPDB?ΔACP時(shí)，試求?APB的度數(shù).，1,，3，，B,，D，AB,DE,5，BC,46.如圖，,ABC,ADE(1)?嗎,說(shuō)明理由。(2)求AD的長(zhǎng)。7.已知:如圖,CE是RtΔABC的斜邊AB上的高,BG?AP.2求證:CE=EDEP.?8.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE?BC于E，AF?CD于F.(1)ΔABE與ΔADF相似嗎,說(shuō)明理由.(2)ΔAEF與ΔABC相似嗎,說(shuō)說(shuō)你的理由.9.如圖，D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，E為ΔABC外一點(diǎn)，且?1=?2，?3=?4.(1)ΔABD與ΔCBE相似嗎,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)ΔABC與ΔDBE相似嗎,請(qǐng)說(shuō)明理由.10.已知:如圖,CE是RtΔABC的斜邊AB上的高,BG?AP.2求證:CE=EDEP.?相似三角形提高訓(xùn)練一(填空題(共2小題)1(如圖所示，已知AB?EF?CD，若AB=6厘米，CD=9厘米(求EF(2(如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F(若AB=a，AD=c，BE=b，則BF=_________(二(解答題(共17小題)3(如圖所示(在?ABC中，?BAC=120?，AD平分?BAC交BC于D(求證:(4(如圖所示，?ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長(zhǎng)線交AB于G(求證:(5(一條直線截?ABC的邊BC、CA、AB(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)D、E、F(求證:(6(如圖所示(P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425(求d(7(如圖所示(梯形ABCD中，AD?BC，BD，AC交于O點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF?BC(AD=12厘米，BC=20厘米(求EF(8(已知:P為?ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，求證:(9(如圖所示，梯形ABCD中，AD?BC，MN?BC，且MN與對(duì)角線BD交于O(若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN(10(P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖所示)(求證:(11(如圖所示(在梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD(一條直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I(已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC:AB(12(已知P為?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)(求證:(1)(2)三者中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不少于2(13(如圖所示(在?ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分?BAC，BD?AE的延長(zhǎng)線于D，且交AM延長(zhǎng)線于F(求證:EF?AB(14(如圖所示(P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BH?PC于H(求證:QH?DH(15(已知M是Rt?ABC中斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在AB、AC上，且PM?QM(求證:222PQ=PB+QC(16(如圖所示(在?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，AE平分?CAB，CF平分?BCD(求證:EF?BC(17(如圖所示(在?ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足?APB=?BPC=?CPA(若2?B=?A+?C，求2證:PB=PA?PC((提示:設(shè)法證明?PAB??PBC()18(已知:如圖，?ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點(diǎn)，E在AB上，且AE:EB=2:1(求證:CE?AD(19(如圖所示，?ABC中，M、N是邊BC的三等分點(diǎn)，BE是AC邊上的中線，連接AM、AN，分別交BE于F、G，求BF:FG:GE的值(20.在?ABC中，?A??B??C=1?2?4(求證提示:要證明如幾何題的常用方法:?比例法:將原等式變?yōu)椋蕵?gòu)造成以a+b、b為邊且與a、c所在三角形相似的三角形。?通分法:將原等式變?yōu)?，利用相關(guān)定理將兩個(gè)個(gè)比通分即:2013初中相似三角形難題易錯(cuò)題參考答案與解析一(填空題(共2小題)1(如圖所示，已知AB?EF?CD，若AB=6厘米，CD=9厘米(求EF(考點(diǎn):平行線分線段成比例(專題:計(jì)算題(分析:由于BC是?ABC與?DBC的公共邊，且AB?EF?CD，利用平行線分線段成比例的定理，可求EF(解答:解:在?ABC中，因?yàn)镋F?AB，所以EF:AB=CF:CB?，同樣，在?DBC中有EF:CD=BF:CB?，?+?得EF:AB+EF:CD=CF:CB+BF:CB=1?(設(shè)EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入?得x:6+x:9=1，解得x=(故EF=厘米(點(diǎn)評(píng):考查了平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(2(如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F(若AB=a，AD=c，BE=b，則BF=(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì)(專題:計(jì)算題(分析:首先作輔助線:取AB的中點(diǎn)M，連接OM，由平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，即可求得:?EFB??EOM與OM的值，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得BF的值(解答:解:取AB的中點(diǎn)M，連接OM，?四邊形ABCD是平行四邊形，?AD?BC，OB=OD，?OM?AD?BC，OM=AD=c，??EFB??EOM，?，?AB=a，AD=c，BE=b，?ME=MB+BE=AB+BE=a+b，?，?BF=(故答案為:(點(diǎn)評(píng):此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)(解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題(二(解答題(共17小題)(如圖所示(在?ABC中，?BAC=120?，AD平分?BAC交BC于D(求證:(3考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定(專題:證明題(分析:過(guò)D引DE?AB，交AC于E，因?yàn)锳D平分?BAC(=120?)，所以?BAD=?EAD=60?(若引DE?AB，交AC于E，則?ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用?CED??CAB，可實(shí)現(xiàn)求證的目標(biāo)(解答:證明:過(guò)D引DE?AB，交AC于E(?AD是?BAC的平分線，?BAC=120?，??BAD=?CAD=60?(又?BAD=?EDA=60?，所以??ADE是正三角形，?EA=ED=AD(?由于DE?AB，所以?CED??CAB，?===1,(?由?，?得=1,，從而+=(點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，考查了等邊三角形的判定，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求證?CED??CAB是解題的關(guān)鍵(4(如圖所示，?ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長(zhǎng)線交AB于G(求證:(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì)(專題:證明題(分析:應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線使各線段“集中”到一個(gè)三角形中來(lái)求證(解答:證明:延長(zhǎng)CB與EG，其延長(zhǎng)線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB(在?EIH中，由于DF?IH，?=(?IH=AB，?=，從而，,=,===1+(?在?OED與?OBH中，?DOE=?BOH，?OED=?OHB，OD=OB，??OED??OBH(AAS)(從而DE=BH=AI，?=1(?由?，?得,=2(點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)CB與EG，其延長(zhǎng)線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB(這是此題的突破點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，因此屬于一道難題(5(一條直線截?ABC的邊BC、CA、AB(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)D、E、F(求證:(考點(diǎn):三角形的面積(專題:證明題(分析:連接BE、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比，然后約分即可求證(解答:證明:如圖，連接BE、AD，??BDE與?DCE等高，?=，??DCE與?ADE等高，?=，??ADF與?BDF等高，?=，??AEF與?BEF等高，?=，?=，???=??=1(點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生對(duì)三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是連接BE、AD，并把線段之比轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之比(6(如圖所示(P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425(求d(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì)(專題:計(jì)算題(分析:由FG?BC，HI?CA，ED?AB，易證四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，利用平行線分線段成比例定理的推論可得?IHB??AFG??ABC，于是=，=，再結(jié)合=，先計(jì)算式子右邊的和，易求++==2，從而有++=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可(解答:解:?FG?BC，HI?CA，ED?AB，?四邊形AIPE、四邊形BDPF、四邊形CGPH均是平行四邊形，??IHB??AFG??ABC，?=，=，?++=，又?DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，?DE+AF+BI=2×(AI+IF+FB)=2AB，?++==2，?DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，?++=++=2，?++=2，解得d=306(點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、平行四邊形的判定和性質(zhì)(7(如圖所示(梯形ABCD中，AD?BC，BD，AC交于O點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF?BC(AD=12厘米，BC=20厘米(求EF(考點(diǎn):平行線分線段成比例(分析:由平行線的性質(zhì)可得===，得出OE與BC，OF與AD的關(guān)系，進(jìn)而即可求解EF的長(zhǎng)(解答:解:?AD?BC，EF?BC，?===，又==，==，?OE=BC=，OF=AD=，?EF=OE+OF=15(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平行線的性質(zhì)問(wèn)題，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題(8(已知:P為?ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，求證:(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)(專題:證明題(分析:由于AB=CD，所以將轉(zhuǎn)化為，再由平行線的性質(zhì)可得=，進(jìn)而求解即可(解答:證明:在平行四邊形ABCD中，則AD?BC，AB?CD，?==?,=,==1(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握(9(如圖所示，梯形ABCD中，AD?BC，MN?BC，且MN與對(duì)角線BD交于O(若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);梯形(專題:計(jì)算題(分析:由平行線分線段成比例可得對(duì)應(yīng)線段的比，再由題中已知條件即可求解線段MN的長(zhǎng)(解答:解:?MN?BC，?在?ABD中，=，即OM==，同理ON==，?MN=OM+ON=(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握(10(P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖所示)(求證:(考點(diǎn):平行線分線段成比例(專題:證明題(分析:(1)由平行線可得?PIF??CAB，得出對(duì)應(yīng)線段成比例，即==，同理得出==，即可證明結(jié)論;(2)證明方法與(1)相同(解答:證明:(1)?DE?AB，IH?AC，F(xiàn)G?BC，?可得?PIF??CAB，?==，同理==，++=++=1((2)仿(1)可得==，===，?++=++=1(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了平行線的性質(zhì)問(wèn)題，能夠利用其性質(zhì)通過(guò)線段之間的轉(zhuǎn)化，證明一些簡(jiǎn)單的結(jié)論(11(如圖所示(在梯形ABCD中，AB?CD，AB,CD(一條直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I(已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC:AB(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);梯形(專題:計(jì)算題(分析:由平行線可得對(duì)應(yīng)線段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分別求出線段AB、CD與AE、CJ的關(guān)系，進(jìn)而可求解結(jié)論(解答:解:?AB?CD，EF=FG=CH=HI=IJ，?==，?==，==，?DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，?AB=CJ，EB=4CJ，==，CD=5CJ，?AB:CD=:5=1:2(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或平行線分線段成比例的性質(zhì)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握(12(已知P為?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)(求證:(1)(2)三者中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不少于2(考點(diǎn):平行線分線段成比例(專題:證明題(分析:(1)第一問(wèn)可由三角形的面積入手，即?PBC+?PAC+?PAB=?ABC，通過(guò)化簡(jiǎn)可得面積與線段之間的關(guān)系，進(jìn)而即可求解((2)由(1)中得出，則其中至少有一個(gè)不大于，可設(shè)?，即3AD?PD，而AD=AP+PD，進(jìn)而通過(guò)證明即可得出結(jié)論(解答:解:(1)由面積概念得:S+S+S=S??PBC?PAC?PAB?ABC整理等式得:++=1，?由面積概念得:=，=，?=，即=?同理得:=?=?把式?、?、?、代入式?得:;(2)由，知，，中至少有一個(gè)不大于，不妨設(shè)?即3AD?PD(而AD=AP+PD，?AP?2PD，??2，即不小于2，同理可證三式中至少有一個(gè)不大于2(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角形的面積比與對(duì)應(yīng)邊的比值之間的關(guān)系，能夠熟練掌握其內(nèi)在聯(lián)系，并能求解一些比較復(fù)雜的問(wèn)題(13(如圖所示(在?ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分?BAC，BD?AE的延長(zhǎng)線于D，且交AM延長(zhǎng)線于F(求證:EF?AB(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì)(專題:證明題(分析:利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明?MEF??MAB，從而EF?AB解答:證明:過(guò)B作BG?AC交AE的延長(zhǎng)線于G，交AM的延長(zhǎng)線于H(?AE是?BAC的平分線，??BAE=?CAE(?BG?AC，??CAE=?G，??BAE=?G，?BA=BG(又BD?AG，??ABG是等腰三角形，?ABF=?HBF，?F到AB與BH的距離相等，?S:S=AB:BH，?ABF?HBF?S:S=AF:FH，?ABF?HBF?AB:BH=AF:FH(又M是BC邊的中點(diǎn)，且BH?AC，易知ABHC是平行四邊形，從而B(niǎo)H=AC，?AB:AC=AF:FH(?AE是?ABC中?BAC的平分線，?AB:AC=BE:EC，AF:FH=BE:EC，即(AM+MF):(AM,MF)=(BM+ME):(BM,ME)(這是因?yàn)锳BHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC)(由合分比定理，上式變?yōu)锳M:MB=FM:ME(在?MEF與?MAB中，?EMF=?AMB，??MEF??MAB??ABM=?FEM，所以EF?AB(點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是過(guò)B引BG?AC交AE的延長(zhǎng)線于G，交AM的延長(zhǎng)線于H(和利用合分比定理(14(如圖所示(P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BH?PC于H(求證:QH?DH(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);直角三角形的性質(zhì);正方形的性質(zhì)(專題:證明題(分析:要證QH?DH，只要證明?BHQ=?CHD(由于?PBC是直角三角形，且BH?PC，熟知?PBH=?PCB，從而?HBQ=?HCD，因而?BHQ與?DHC相似(解答:證明:在Rt?PBC中，?BH?PC，??PBC=?PHB=90?，??PBH=?PCB(顯然，Rt?PBC?Rt?BHC，?=，由已知，BP=BQ，BC=DC，?=，?=(??ABC=?BCD=90?，?PBH=?PCB，??HBQ=?HCD(在?HBQ與?HCD中，?=，?HBQ=?HCD，??HBQ??HCD，??BHQ=?DHC，?BHQ+?QHC=?DHC+?QHC(又??BHQ+?QHC=90?，??QHD=?QHC+DHC=90?，即DH?HQ(點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法(15(已知M是Rt?ABC中斜邊BC的中點(diǎn)，P、Q分別在AB、AC上，且PM?QM(求證:222PQ=PB+QC(考點(diǎn):直角三角形斜邊上的中線;勾股定理(專題:證明題(分析:以M點(diǎn)為中心，?MCQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180?至?MBN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可得?MCQ與?MBN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，?MBN=?C，再連接PN，可以證明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后證明?PBN為直角三角形，根據(jù)勾股定理即可證明(解答:證明:如圖，以M點(diǎn)為中心，?MCQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180?至?MBN，??MCQ??MBN，?BN=QC，MN=MQ，?MBN=?C，連接PN，?PM?QM，?PM垂直平分NQ，?PN=PQ，??ABC是直角三角形，BC是斜邊，??ABC+?C=90?，??ABC+?MBN=90?，即?PBN是直角三角形，222根據(jù)勾股定理可得，PN=PB+BN，222?PQ=PB+QC(點(diǎn)評(píng):本題考查了直角三角形的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應(yīng)用，利用旋轉(zhuǎn)變換把構(gòu)造出以PQ、PB、QC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的三邊是證明的關(guān)鍵(16(如圖所示(在?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，AE平分?CAB，CF平分?BCD(求證:EF?BC(考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);平行線的判定(專題:證明題(分析:由題中條件可得AC=AF，即?ACF是等腰三角形，所以EC=EF，進(jìn)而得出?ECF=?EFC，結(jié)論得證(解答:證明:??ACB=90?，CD?AB，??CAD=?BCD，又AE平分?CAB，CF平分?BCD，??BCF=?CAE，?B=?ACD，??B+?ECF=?B+?BCF，即?ACF=?AFC，又AE平分?CAB，?AC=AF，?CE=EF，即?ECF=?EFC，??EFC=?BCF，即EF?BC(點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握(17(如圖所示(在?ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足?APB=?BPC=?CPA(若2?B=?A+?C，求2證:PB=PA?PC((提示:設(shè)法證明?PAB??PBC()考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì)(專題:證明題(分析:用?APB=?APC=120?，?CBP=?BAP兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等證明?PAB??PBC，根據(jù)相似比可證到結(jié)論(解答:證明:??APB=120?，??ABP+?BAP=60?，又??ABC=60?，??ABP+?CBP=60?，??CBP=?BAP，又??APB=?APC=120?，??ABP??BCP，?=，2?BP=PA?PC(點(diǎn)評(píng):本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，先用判定定理證明相似，然后根據(jù)相似對(duì)應(yīng)邊成比