2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古烏海市重點(diǎn)中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．3．在中，為邊上的中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．4．已知滿足，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．， B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值8．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A． B． C． D．9．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，的值為()A． B． C． D．10．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）A．324 B．522 C．535 D．57811．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．12．已知定義在R上的函數(shù)（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________．14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______．15．已知，，且，則的最小值是______.16．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．18．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），是的中點(diǎn).（1）當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí)，證明：.平面（2）當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．21．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價(jià)于，因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.2、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由為邊上的中點(diǎn)，表示出，然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點(diǎn)，，故選：A【點(diǎn)睛】在三角形中，考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當(dāng)時(shí)，D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間，A，B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).6、B【解析】

設(shè)點(diǎn)位于第二象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故B錯(cuò)誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.8、B【解析】

延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.9、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10、D【解析】

因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，所以編號(hào)必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個(gè)編號(hào).【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．12、B【解析】

根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數(shù)；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題15、1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【詳解】解：，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個(gè)變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，得到，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；（Ⅱ），根據(jù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求前2020項(xiàng)和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，即．∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點(diǎn)，再證明平面平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由題意，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí).則其外接球的半徑為.因?yàn)闀r(shí)邊長(zhǎng)為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，，，所以.因?yàn)?，所以為的中點(diǎn).記的中點(diǎn)為，連接，.則，，，所以平面平面.因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，的面積最大.所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.所以，，，.設(shè)平面的法向量為.則令，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是，則.所以當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運(yùn)用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知，結(jié)合可得，進(jìn)而可證明，即，即可由線面垂直的判定定理證明平面；（2）結(jié)合（1）可證明兩兩互相垂直.即以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)，連接，如下圖所示：∵側(cè)面為菱形，∴，且為及的中點(diǎn)，又，則為直角三角形，，又，，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.(2)平面，平面，，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，∴可取，設(shè)平面的法向量為，則.同理可取，由圖示可知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時(shí)先證明三條兩兩垂直的直線，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)與已知弦長(zhǎng)相等可解得．【詳解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2＝4y．（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．21、（1）極大值是，無(wú)極小值；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對(duì)任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)