江蘇省淮安市棉花中學高三數(shù)學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）對任意x＞2恒成立，則k的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）對任意x＞2恒成立，即k＜對任意x＞2恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）對任意x＞2恒成立，即k＜對任意x＞2恒成立．令g（x）=，則g′（x）=，令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），則h′（x）=1﹣=，所以函數(shù)h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．因為h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實根x0，且滿足x0∈（8，9）．當2＜x＜x0時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當x＞x0時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函數(shù)g（x）=在（2，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整數(shù)k的最大值是4．故選：B．2.要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組學習，則按分層抽樣組成此課外興趣小組的概率為

A．

B．

C．

D．參考答案：D3.若集合，集合，則等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B4.如圖是用二分法求方程近似解的程序框圖，其中．判斷框內(nèi)可以填寫的內(nèi)容有如下四個選擇：

①；②；

③；④.其中正確的是A．①③

B．②③C．①④

D．②④參考答案：C5.下列命題錯誤的是（

）

A．命題若的逆否命題為“若，則”

B．若為假命題，則，均為假命題

C．對于命題存在,使得,則為:任意,均有

D．的充分不必要條件參考答案：B略6.設A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是A． B．C． D．參考答案：A當，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得；當，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得，故m的取值范圍為，選A.7.下圖是函數(shù)的圖像，它與軸有個不同的公共點．給出下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（

）

A．

C．

B．

D．參考答案：B

8.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，在A中任取三個元素，使它們的和小于余下的三個元素的和，則 取法種數(shù)共有A．4

B．10

C．15

D．20參考答案：B9.已知記，要得到函數(shù)

的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度

C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度參考答案：D略10.定義在R上的函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)，有成立，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍A．

B．C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為圖象上任意一點，為在點處的切線，則坐標原點到距離的最小值為

．參考答案：212.已知函數(shù)f（x）=，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（，1]【考點】特稱命題．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用；簡易邏輯．【分析】由x＜1時函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉(zhuǎn)化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），求出切點和斜率，設直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切于點（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．【解答】解：當x＜1時，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，當x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；當0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù)；畫出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0時，使得f（t）＜kt恒成立；作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），則由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；設直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）的圖象相切于點（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），則有k=1，由圖象可得，當直線繞著原點旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，以及與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切時，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范圍是（，1]．故答案為：（，1]．【點評】本題考查了分段函數(shù)的應用問題，也考查了存在性命題與全稱性命題的互相轉(zhuǎn)化問題以及不等式恒成立的問題，是較難的題目．13.若關(guān)于的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍為

.參考答案：a<114.函數(shù)的定義域為

.參考答案：15.若，則sinx·siny的最小值為__________。參考答案：16.函數(shù)是奇函數(shù)，則等于______．參考答案：試題分析：根據(jù)題意，化簡f（x）的解析式可得f（x）=﹣2sin（3x﹣﹣θ），結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則有﹣﹣θ=kπ，進一步求tanθ即可．詳解：根據(jù)題意，f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）=2sin（﹣3x+θ）=﹣2sin（3x﹣﹣θ），若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則有﹣﹣θ=kπ，即θ=﹣kπ﹣，故tanθ=tan（﹣kπ﹣）=；故答案為：．

17.有下列四個命題：

①若，則函數(shù)的最小值為；

②已知平面，，直線，，若，，，則∥；

③在△ABC中，和的夾角等于；④等軸雙曲線的離心率為2。其中所有真命題的序號是

。參考答案：③①錯當，得（0，1]，函數(shù)的最小值不是；②錯，∥或與異面或與相交均有可能；③正確；④錯，等軸雙曲線的離心率為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.中，為邊上的一點，，，，求．參考答案：由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.從而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=.由正弦定理得，所以.略19.如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）設AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，并注明函數(shù)的定義域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請給予證明.參考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函數(shù)的定義域為.(Ⅱ）如果DE是水管，則，

當且僅當，即時“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是參觀線路，記，則

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增

故.

∴.

即DE為AB中線或AC中線時，DE最長.20.某煤礦發(fā)生透水事故時，作業(yè)區(qū)有若干人員被困．救援隊從入口進入之后有L1，L2兩條巷道通往作業(yè)區(qū)（如圖），L1巷道有A1，A2，A3三個易堵塞點，各點被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2兩個易堵塞點，被堵塞的概率分別為，．（Ⅰ）求L1巷道中，三個易堵塞點最多有一個被堵塞的概率；（Ⅱ）若L2巷道中堵塞點個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望EX，并按照“平均堵塞點少的巷道是較好的搶險路線“的標準，請你幫助救援隊選擇一條搶險路線，并說明理由．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式．專題：綜合題；概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）利用互獨立事件的概率計算公式即可得出；（Ⅱ）比較走兩條路的數(shù)學期望的大小，即可得出要選擇的路線．解答：解：（Ⅰ）設”L1巷道中，三個易堵塞點最多有一個被堵塞”為事件A則（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2所以，隨機變量X的分布列為：X012P設L1巷道中堵塞點個數(shù)為Y，則Y的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以，隨機變量Y的分布列為：Y0123P．因為EX＜EY，所以選擇L2巷道為搶險路線為好．點評：熟練掌握二項分布列、相互獨立事件的概率計算公式及離散型隨機變量的期望計算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|?|x﹣1|≥|x+5|，等價于（x﹣1）與（x+5）的和與差同號，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式得答案；（Ⅱ）利用絕對值的不等式放縮，把f（x）≥8恒成立轉(zhuǎn)化為|a+5|≥8，求解絕對值的不等式得答案．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）≥2|x+5