【新教材】4.3.1對(duì)數(shù)的概念（人教A版）

教材分析

對(duì)數(shù)與指數(shù)是相通的，本節(jié)在已經(jīng)學(xué)習(xí)指數(shù)的基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)例總結(jié)歸納對(duì)數(shù)的概念，通過(guò)對(duì)數(shù)的性

質(zhì)和恒等式解決一些與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題.

教學(xué)目標(biāo)與被心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

1、理解對(duì)數(shù)的概念以及對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)；

2、掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化；

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：對(duì)數(shù)的概念；

2.邏輯推理：推導(dǎo)對(duì)數(shù)性質(zhì)；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式求值；

4.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)與指數(shù)式的比較，引出對(duì)數(shù)定義與性質(zhì).

教學(xué)重速息

重點(diǎn)：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)性質(zhì);

難點(diǎn)：推導(dǎo)對(duì)數(shù)性質(zhì).

課前發(fā)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

敢學(xué)過(guò)程

一、情景導(dǎo)入

已知中國(guó)的人口數(shù)y和年頭x滿(mǎn)足關(guān)系y=13xL01，中，若知年頭數(shù)則能算出相應(yīng)的人口總數(shù)。反之,

如果問(wèn)“哪一年的人口數(shù)可達(dá)到18億，20億，30億.....”，該如何解決？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀(guān)察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本122-123頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1.對(duì)數(shù)的定義是什么？底數(shù)和真數(shù)又分別是什么？

2.什么是常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)？

3.如何進(jìn)行對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1.對(duì)數(shù)的概念

如果a'=Ma>0,且a#l),那么數(shù)x叫做以a為底兒的對(duì)數(shù),記作x=log/其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),

人叫做真數(shù).

［點(diǎn)睛］log"是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開(kāi)書(shū)寫(xiě).

2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù),logiW可簡(jiǎn)記為地/logc#

簡(jiǎn)記為InN.

3.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

若a>0,且a#l,則

對(duì)數(shù)恒等式：alog/=7V；logaa'=^(a>0,且a#l).

4.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

(1)1的對(duì)數(shù)為雯；

(2)底的對(duì)數(shù)為L(zhǎng)

(3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).

四、典例分析、舉一反三

題型一對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

例1將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：

(l)logi27=-3;(2)43=64;(3)e-1^;(4)10^4).001.

3e

【答案】(1嗎)3之7.(2)log464^.(3)lni-1.(4)lg0.001=3

解題技巧：(對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化)

1.log“N=6與/=N(a〉0,且a#1)是等價(jià)的,表示a,b,N三者之間的同一種關(guān)系.如下圖：

fTa>0,Xa^lJ,斯

---------------b=\ogaN

I+N>0s,

2.根據(jù)這個(gè)關(guān)系式可以將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,只需將幕作為真數(shù),指數(shù)作為對(duì)數(shù),底

數(shù)不變;而將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式,只需將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為幕,對(duì)數(shù)作為指數(shù),底數(shù)不變.

跟蹤訓(xùn)練一

1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：

1

(1)2一2=±(2)102=100;(3)efl=16;

4

111

⑷log64『-§；(5)10gxy=z(x>0,且x#lj>0).

【答案】(l)log2i=-2.(2)logiolOO=2,Fp1g100=2.(3)logel6=a,?PIn16=a.

11

(4)64-3=(5)xz=y(x>0,且xW1,y>0).

題型二利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值

例2求下列各式中x的值：

XX

(1)4=5?3;(2)log7(x+2)=2;

2

(3)Ine=x;(4)logx27=|;(5)1g0.01=x.

【答案】(1)x=log45(2)x=47(3)x=2(4)x=9(5)x=-2

3

【解析】⑴v4x=5-3x,?4=5,=5,Ax=log45.

3\o/3

(2)Vlog7(x+2)=2,Ax+2=49,Ax=47.

(3)VIne2—x,ex=e2,/.x=2.

332

(4),/log27=—,，xZ=27,；.x=27三=32=9.

2

(5)V1g0.01=x,/.10r=0.01=10-2,Ax-2.

解題技巧：(利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值)

指數(shù)式@乂=^^與對(duì)數(shù)式x=logaN(a>0,且aWl)表示了三個(gè)量a,x,N之間的同一種關(guān)系，因而已知其中兩個(gè)

時(shí),可以通過(guò)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化求出第三個(gè).

跟蹤訓(xùn)練二

1.求下列各式中的x值：

(1)log2X?、苐og216^￥；(3)logx273

【答案】(1)X=V2(2)x=4(3)x=3

【解析】⑴???log2X=|,?..x=25,??.x二夜.

X4

(2)Vlog216=x,A2=16,.\2=2,Ax=4.

(3),.Togx27=3,；.乂3=27,即x3=31,；.x=3.

題型三利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式求值

例3求下列各式中x的值：

log3

(1)ln(log2x)=0;(2)log2(lgx)=1;(3)3^=9.

【答案】(1)x=2(2)x=100(3)x=81

【解析】(1)；InQogzX)=0,二1082工=1,，x=2.

(2)Vlog2(lgx)=l,Algx=2,；.x=100.

⑶由3叱3五=9得6=9,解得x=8L

解題技巧：(利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)恒等式求值)

1.在對(duì)數(shù)的運(yùn)算中，常用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：⑴負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；⑵logj=0(a>0,aW

1)；(3)logaa=l(a>0,a#1)進(jìn)行對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值.

2.對(duì)指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值時(shí)，應(yīng)充分考慮對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用.對(duì)數(shù)恒等式

且aWl,N〉0)的結(jié)構(gòu)形式：(1)指數(shù)中含有對(duì)數(shù)式；(2)它們是同底的；⑶其值為對(duì)數(shù)的真數(shù).

跟蹤訓(xùn)練三

1.求下列各式中x的值：

(I)ln(lgx)=l;(2)log2(log5x)=0；⑶32+1噸35r.

【答案】(1)x=lQe(2)x=5(3)x=45

【解析】(1)VIn(lgx)=l,/.1gx=e,/.x=10e；

(2),."Iog2(log5x)=0,log5x=l,

(3)x=32X3i°g35=9X5=45.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧

六、板書(shū)設(shè)計(jì)