第一章集合與簡易邏輯

1、［文］已知全集U={a,b,c,d,e},A={c,d,e},B={a,b,e},則集合{a,b}可表示為()

A、AABB、(CuA)ABC、(CuB)CAD、Cu(AUB)

1、［文］B

【命題分析】考查集合的概念與運算，逆向思維能力.

1.設(shè)全集令={1,3,5,7,9},集合4={1,|。-5|,9},yA={5,7},則a的值為()

A.2B.8C.-2或8D.2或8

1..D：Ia-5I=3

2.設(shè)集合,"=何％-60},N={y|y=2*-l,xR},若"CN=f則實數(shù)m的取值范

圍是()

A.m?1B.m>-1C.m?1D.m<-\

2、C

【思路分析】：物={x|x￡m},N={y|y?l,xR}

【命題分析】：考察集合的定義和性質(zhì)以及不等式的解法的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

3.全集I={x|x近4,XGN},集合M={1,2,3}在映射f:x9y=x-l下的象集為N,則:()

A.Mp|Ci(N)={0,3}B.MljN=I

C.G(MUN)={4}D.G(AflB)={3,4}

3.C［思路分析］:N={0,1,2}MUN={0,1,2,3},；.G(MUN)=⑷，

［命題分析］:考查集合與映射的概念，集合的交、并、補運算。

4.4知函數(shù)y=f(x)(a<x<b),則集合{(x,y)|y=f(x),a<x<b}n{(x,y)|x=2}中

含有元素的個數(shù)為

A.0B.1或0C.1D.1或2

4.B【思路分析］若2e口力］,則集合中有一個元素，否則，集合中沒有元素.

【命題分析】：考察函數(shù)的定義和集合的概念

5.若P={2,3,4},Q={1,3,5},M={3,5,6},則(PAM)UCM(MAQ)=

()

A、{2,4}B、{2,4,6}C、{1,2,4,6}D、{1,2,3,4,5)

5、B

第二章函數(shù)

1、設(shè)(x)是函數(shù)/(x)=1(2r-2一”)的反函數(shù)，貝I」使(尤)>1成立的X的取值范圍為

()

、/3、

/+°°)B、(~°°,-)C、1,2)D、[2,+oo)

1、A

【思路分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，即求當時，函數(shù)/(x)=；(2'-2T)的值域，此后

注意到了(X)在(1,+8)上遞增即可獲解.

【命題分析】考查反函數(shù)的概念與性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值域的求法，靈活駕駛基礎(chǔ)知

識和基本方法的能力.

2、某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：

①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；

②如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；

③如果超過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠。

某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)他只去一次購買上述同樣的商品，

則應(yīng)付款額是()

A、446.67UB^513.77GC^546.67GD、548.7元

2,C

【思路分析】由于168<200X0.9<423<500X0.9

所以第一次所購商品價格為168元，第二次所購商品價格為里=470元.

0.9

7168+470=500+138

.??一次性購買這兩種商品應(yīng)付500X0.9+138X0.7=546.6元.

【命題分析】考查學生運用不等式解決實際問題的能力.

3、定義：對函數(shù)y=/(x),xe。，若存在常數(shù)C,對任意的不《。，存在唯一的xe。，

使得力(制+/(上),則稱函數(shù)/(x)在。上的“均值”為C.已知/(x)=10:

xe[l,2],則其反函數(shù)y=/T(x)在[10,100]上的均值為

331

A.一B.10C.—D.—

2410

3、Ag(x)=/-'(%)=Igx,xe[10,100],[10,100],

X

/、/000、II1000

g(x)+g(丁)_Igx+lgx_igiooo_3

F-2--2--2,

3

gM=f'](x)在[io,ioo]上的均值為-.

4、若函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)/(x)=(x-2)2(X2)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，則

g(x)=()

A.2-Vx(x0)B.2+Vx(x0)

C.V2-x(x2)D.,2+x(x?2)

4、A

【思路分析工圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，故g(x)與/(x)互為反函數(shù)

【命題分析】：考察反函數(shù)的定義與求法

5、定義在R上的函數(shù)〉=/(x)為周期函數(shù)，最小正周期為T,若函數(shù)y=/(x),xe(0,T)

時有函數(shù)y=/T(x)。xwO則函數(shù)y=/(x),xe(2T,3T)的反函數(shù)為()

A、y=f~'(x)(xeD)B、y=f~I(x—2T)(xeD)

C、y=f-'(x+2T)D、y=f-'(x)+2T(xeD)

5、(分析：???y=/(x)為周期函數(shù)，最小周期為TAy=f(x)=f(x-2T)yxe(2T,3T)

的，x-2Te(0,7)/.x-2T=f^'xXGD選D項)

6、已知映射其中B=R,對法則：=logU-J匚嚏對于實數(shù)

k€B,在集合A中不存在原象，則上的取值范圍是()

A、火>0B、k<lC、k<0D、以上都不對

6、(分析：由題意K不是函數(shù)，y=log05(2—x)—J匚嚏值域中的數(shù)，而函數(shù)

>=10805(2-幻一>/0在定義域(一8,1］中為單調(diào)函數(shù)二值域為(—8,0］,.?.%>()故

選A)

/I、,

(a—)xx<1

7、已知函數(shù)/(x)={4在R上為減函數(shù)，則a的取值范圍為()

axx>l

7、B［思路分析］:伍一工口在x〈l時為減函數(shù)，則。<工，a”在x2l上為減函數(shù)，則

44

0<a<l,.,.0<a<-?

4

［命題分析］:考查次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

8、知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列三個條件：①對任意的xWR都有

/(x+4)=/(%);②對于任意的0<X1<x2<2,都有f(xj>f(x2),

③y=/(x-2)的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中，正確的是

A./(-4.5)</(-1.5)</(7)B./(-4.5)</(7)</(-1.5)

C-/⑺</(-4.5)</(—L5)D./(-1.5)</(7)</(-4.5)

8、D【思路分析】：由圖象求解

【命題分析】：考察函數(shù)圖象之間的關(guān)系

9、(文)函數(shù)f(x)=x?+2(a—l)x—在(-1,3)上存在反函數(shù)的充要條件是()

A.a￡(—8,—2]B,a￡(—8,—2]U[3,+°°)

C.(-8,-2]U[2,+°°)D.[2,+°°)

9、(文)解答：存在反函數(shù)Of(x)在(-1,3)上單調(diào)

/.1—a^—1或1—a23

???a22或aW—2選C

評析：考察反函數(shù)存在的充要條件。

10、函數(shù)y=/(x)的圖象與y=2*的圖象關(guān)于y軸對稱，若月(x)是y=/(x)的反函數(shù)，則

y=/T(1-2x)的單調(diào)增區(qū)間是()

A、［1,+8)B、(2,+8)C、(…，1］D、S,

0)

10、D

11、下列四個函數(shù)：

①f(x)=x2—2x；②f(x)=sinx,0<x<2TT;

③/(x)=2*+x;④/(x)=log2(2x-l),x>1.

其中，能是/［上產(chǎn)］<(xj+/)］恒成立的函數(shù)的個數(shù)是

A、1B、2C、3D、4

11、B

12、已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的XCR都有/(x+4)=/(x)+〃2)成立.

若/⑴=2,則］(2005)等于()

A.2005B.2C.1D.4

12、B【思路分析工令x=—2即〃2)=/(—2)+/(2),.?./(-2)=0,又是偶函數(shù),

即"2)=0..\/(x+4)=/(%),故/(x)的周期為4,/(2005)=/(4x501

+1)=/(1)=2,故選B.

【命題分析】：考查函數(shù)的周期性、奇偶性，對抽象函數(shù)要求學生能夠合理賦值、靈活

轉(zhuǎn)化.

13、已知定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足/(-x)=-/(》+2),則

/⑴+/(2)+…+/⑻=。

13、0［思路分析］:/(一x)=/(x)=—/(x+2)知，f(x+4)=f(x)AT=4

又〃1)=-〃3),/(2)=-。(4).-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0

則/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0

/(1)+/(2)+-+/(8)=0

［命題分析］:考查函數(shù)的周期性及奇偶性

14、請設(shè)計一個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)y=/(x)：①圖象關(guān)于y軸對稱；②對定義域

內(nèi)任意不同兩點七、x2,都有“蒞)+/(々)<2/(土產(chǎn)).

答：.

14、答案不唯一，在定義域內(nèi)圖象上凸的偶函數(shù)均可，如

—j⑶…雙一了龍喙〃無)=一叱心卜苦)等等.

【思路分析】首先由①知/(X)為偶函數(shù)，山②知"X)在定義域內(nèi)圖象上凸，然后在基本初等

函數(shù)中去尋找符合這兩點的模型函數(shù).

【命題分析】考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，問題以開放的形式出現(xiàn)，著重突出對考生數(shù)學素質(zhì)的

要求.

15、(文)定義運算“*”如下：則函數(shù)/(x)=(l*x)-x—(2*x)(xe

[b,a<b

[-2,2])的最大值等于.

15、文6【思路分析】：f(x)=\X；\

[x-2,1<x<2

???/(X)max=/(2)=6.

【命題分析工考查運用所學知識解決實際問題的能力，分段函數(shù)，分類討論的思想方

法.

3丫_2

16、(文)設(shè)函數(shù)/(x)=------,/T(x)為/(x)的反函數(shù)，又函數(shù)y=g(x-l)與函數(shù)

2%-3

y=/-'(x+l)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g(2)=.

4

16、文-【思路分析】：y=g(x—l)與y=/T(x+l)互為反函數(shù)，g(x—l)=/(x)—l,

74

??.g(2)=/(3)-1=§-1=§.

【命題分析工考查反函數(shù)的求法，圖象特征，思維的靈活性.

2

17、1)f(x)=x+—的值域為[3,9],KG[3,9]時，f(x)二K有兩不等的根x”x2,求

x

X1+X2.

2

(2)g(x)=x+2+——的值域為[7,11],KG[7,11]時，g(x)=K

x-1

也有兩不等根X3、Xi,求X3+X4

4

(3)h(x)=x+------b,x>a

x-a

h(x)=K的兩根之和為K+18,且h(x)的最小值為0,試求a與b的值。

22

17、解：(1);X+—23K=x+-

XX

Ax>0x2-kx+2=0

△=k2-8>l

，Xi+X2=K

即XI+X2=K

(2)VK=x+2+-^-

x-1

:.(X-1)2-(K-3)(X-1)=0

△=(K—3)2》8

(X3—l)+(x.i—1)=K—3

；?X3+X4-K-1

即X3+x<=k—1

(3)設(shè)h(x)=k的兩根為x的x6,則x5+x6=k+18

4

Vh(x)=(x—a)+-----+(a—b)

x-a

2a—b+4①

4

由k(x—a)+-----+(a—b)得

x-a

k—(a—b)-(x5—a)+(x6—a)

二k+18—2a

a+b—18=0②

聯(lián)立①②得「7

|-11

即：a、b的殖為7和llo

評析：考察考生聯(lián)想、類比、遞推的能力，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用能力。

第三章數(shù)列

1、設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,已知〃]=5,且〃S“+]=2〃(/?+l)+(〃+l)S〃(n￡N*),則

過點P(n,%)和Q(n+2,冊+2)(n￡N*)的直線的一個方向向量的坐標可以是()

A.(2,-)B.(-1,-1)C.(--,-1)D.(---2)

222

1、D

【思路分析】由條件知2=2

n+1n

,｛互｝是等差數(shù)歹U，.*.左=5+(n-l)X2=2n+3

nn

/.Sn=2n2+3n,當n，2時，an=Sn=Sn-1=4n+l⑶也適合)

.?.kpQ=an+2an=/設(shè)直線PQ的方向向量為Z=(a,b),則有匚=4,只有D符合.

2a

【命題分析】考查等差數(shù)列的通項與前n項和，遞推數(shù)列，直線的方程以及方向向量等基礎(chǔ)

知識.

2(文)已知數(shù)列｛aj中a=1滿足an+i=an+2n,neN*,則a產(chǎn)()

A.n"+n+lB.n"-n+lC.n'-2n+2D.2n'-2n+l

2.解答：由開口向上得：a>0,由頂點在第二象限得：b>0

選C

評析：本題考察考生對導(dǎo)數(shù)及一次、二次函數(shù)圖象的應(yīng)用。

(文)解答：用特值法，取n=l,2即可。a?=3選B

評析：本題考察考生對特值法的應(yīng)用。

〃2（當〃為奇數(shù)時）

3、已知函數(shù)/（x）=?且=/(〃)+/(〃+D則

-〃2（當〃為偶數(shù)時）

+&+???+。［℃=()

CI,1Z31UV''

A.100B.-100C.1002D,1012-1

22

3、A〃為奇數(shù)時〃+1為偶數(shù)，an=n-(n+1)=-2n-\,〃為偶數(shù)時，〃+1為

22

奇數(shù)，an=-n++1)=2n+1ax=—3,a2=5,a3=—7,a4=9,

a5=—11,a7=13,.........,

??j+ci2=2,—2,a耳+a：=2,ci+a】?二2,

***a1+%+生+…+。100=2x50=100

4、已知等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為％,若4=18-%，則S8等于()

A.72B.54C.36D.18

1、A

【思路分析】：由&=18-%得&+%=18,$8=8("'；。8)=8(。4；%)=72

【命題分析】：考察等差數(shù)列的通項公式、求和公式及性質(zhì)’

5、數(shù)列｛%｝滿足%+%+i=；("cN且"21),%=1，L是｛明｝的前〃次和，則為

()

911

A、一B、—C、6D>10

22

5、（分析：顯然［“｝是一個等和數(shù)列，即％=-；形如：一；，1，一；，1，

119

S=10--------=-選A項）

21222

6.在正項等比數(shù)列｛aj中,a1和由9為方程x2-10x+16=0的兩根,則asaioa.（）

A.32B.64C.±64D.256

6.B［思路分析］:由等比數(shù)列的性質(zhì)知：QI?/9=16=。18。12=〃；）

.\aio=4貝ija8aioa12=64

［命題分析］:考查等比數(shù)列的性質(zhì)

7.設(shè)數(shù)列｛6,｝的前n項和為S“，令/=5|+邑+…+S”,稱（為數(shù)列%,%,……，

n

見的“理想數(shù)”,已知數(shù)列q,a2,……，?。1的“理想數(shù)”為2008,那么數(shù)列2,%,

a2,……,%。1的“理想數(shù)”為

A.2002B.2004C.2006D.2008

7.C【思路分析】：501%+500a2+…+%01=501x2008

2x502+501。1+500。,+■,?+6/501x2008

---------------------!------------------------S-0l=2+---------------=2006

502502

【命題分析】：考查理解能力

8.一個正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）:

1

23

4567

則第8行中的第5個數(shù)是

A、68B、132C、133D、260

8C

9.(理)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,(riGN"),關(guān)于數(shù)列｛%｝有下列三個命題：

①若數(shù)列｛%｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+］；

②若=an2+bn(a,beR),則數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列；

③若S“=1—(一1)",則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

這些命題中，真命題的個數(shù)是.

A.0B.1C.2D.3

9.理D【思路分析】：①不妨設(shè)數(shù)列｛冊｝的前三項為a—d,a,a+d,則其又成等比數(shù)列，

故/=/一/,=0,即4=0同；②由S”的公式，可求出an=(2〃-1)。+b,故｛%｝

是等差數(shù)列；③山S“可求由a,,=2(-1丫1,故數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.故選O.

【命題分析工考查等差、等比數(shù)列的概念，S“與知的關(guān)系，思維的靈活性.

10、(文)等差數(shù)列｛4｝的公差d<0,且a；=fl2,則數(shù)列｛您｝的前〃項和S“取得最大值

時的項數(shù)”是()

A.5B.6C.5或6D.6或7

10、文C【思路分析】：由d<0,知％+《［=().a6-0,故選C.

【命題分析】：考查等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式.要求學生能夠運用性質(zhì)簡化計算.

II、(理)設(shè)/(%p)=C1(〃,peN*,pW2〃)，數(shù)列｛%/滿足％,+旬>+為/(+???

+anp=/(〃，p)，則數(shù)列｛。四｝的通項公式是.

11、理%=4?-3【思路分析】：令p=2則42+%+…+?！?=/(〃，2)=Cl,,

則a12+a22+???+a(?_I)2=f(n-1,2)=C\n_2,(n>2),兩式相減得：??22時，

a.2=C；,-《"-2=4"-3,且.2=C；=1=4x1-3,/.an2=4n-3.

【命題分析】：考查運用所學知識解決實際問題的能力，數(shù)列函數(shù)的思想，通項的求法,

組合數(shù)的公式等知識.

12.(14分)已知函數(shù)犬x)=-x?+ax在(0,1)上是增函數(shù).

(1)求實數(shù)a的取值集合A；

(2)當a取A中最小值時,定義數(shù)列｛aj滿足:2ali+產(chǎn)危?),且a產(chǎn)be(0,l)(b為常

數(shù))，試比較an+l與an的大?。?/p>

(3)在(2)的條件下，問是否存在正實數(shù)c.使0<注<2對?切n￡N*恒成立？

12.(l)f(x)=3x2+a>0,對xG(0,1)恒成立，求出a23.........................4分

-

(2)當a=3時，山題意：an+1=^+|an,且ai=be(0,1)

以下用數(shù)學歸納法證明：anG(0,1),對nGN*恒成立.

①當n=l時，ai=be(0,1)成立；.....................................6分

②假設(shè)n=k時，ak￡(0,1)成立,那么當n=k+l時，

+ak，

ak+\^^2由①知g(x)=](—x3+3x)

在(0,1)上單調(diào)遞增，.??g(0)Vg(ak)Vg(l)

即0q+1<1,

由①②知對一切nGN*都有and。，1)

2

而an+1-an=-/a：-an=pn(l-an)>0

?'?an+i>an....................................................................................................................10分

(3)存在正實數(shù)c,使0<曳拄<2恒成立，令y="=l+2,在(c,+8)上是

an-cx-cx—c

減數(shù)，

.??山隨著an增大，而小，

an-c

又｛an｝為遞增數(shù)列，所以要使0<空<2恒成立，

期c

3]—C>0

只須"a1+c<,/.0<c<^L>即0<c<與.....

.a「c

13、(本題滿分14分)已知數(shù)列｛a｝中，4>0,且服產(chǎn)，與”，

(I)試求國的值，使得數(shù)列｛a｝是一個常數(shù)數(shù)列；

(H)試求團的取值范圍，使得aQa“對任何自然數(shù)n都成立；

(HI)若曰=2,設(shè)6〃=|a,^-a?\(n-1,2,3,???),并以￡表示數(shù)列｛&｝的前〃項的

和，求證：S,<—.

2

13、【思路分析】：解：(I)欲使數(shù)列｛a“｝是一個常數(shù)數(shù)列，則

a.尸=a?................2'

又依31>0,

(11)研究外,一

注意到2，^+產(chǎn)1>0

因此，可以得出：a?Lan,a〃一&~i,a-2,…，&一句有相同的符號7

要&士〃對任意自然數(shù)都成立,只須念一a>0即可.

由解得：0<4<3..................................9'

V22

(m)用與(II)中相同的方法，可得

3

當?shù)?gt;士時，外Ka對任何自然數(shù)〃都成立.

2

因此當8二2時，加一為<0...................................10'

/?SLb]+bz+…4

=\1+|既一也|+…+|a^\-an\

-a\一義2+/—aH---\~an—

-a\—a加i=2-a^\...........................................13'

又：a>2二2/1<a,計i,可解得a加］〉,，

31

故$<2一士二一..................................................14'

22

14>(本題滿分12分)已知數(shù)列｛?！ǎ那啊椇?=^1■%(〃￡N*),且〃2=1，

bn=(1+―—)a.+j(〃eN*)。(1)求數(shù)列｛%｝的通項次式；(2)已知定理：若函數(shù)/(x)

2%+1

在區(qū)內(nèi)D上是凹函數(shù)，且f(x)存在，則當x>y(x,ye。)時，總有/⑴-/⑴<八?

》一了

且函數(shù)y=x"+Y〃eN*)在(0,+8)上是凹函數(shù)，試判斷勿與匕同的大小。(3)求證：

3

-<b<2

2"

14>解：(1)〃=1時，％=S[=?=>%=0,又。2=L〃23,

nn-l

烏-=----從而an-烏-?巴也a2=n-l當幾=1,2時也滿足

an-\〃-2a〃_]an-2a2

/.an=〃-1(〃eN*)

n

(2)bn=(1+—),對于凹函數(shù)，y=x"i,有

2n

?+i_?+i

-r------v--<(n-V)xn=xn[(?+l)y-nx]<yn+{

n+]

令x=1+—=1H--------得(〃+l)y—〃x=1=>尤〃<y即bn<bn+l

2n2(/i+1)

??心=a+《)'=i+若°：(力Yi+；+(》2+…+c^r=2-(|r<2

33

又由(2)btni>b〃n-1,>..A/>/?i.=—2：,-2<bn<2

(點評：本題考查了數(shù)列的知識，解起來比較繁瑣，一定要仔細，會常常用到二次項式定

理和其它一些知識)

15>已知函數(shù)/(x)=劭+。/+。2%2-1——+a“x"(nwN)且y=f(x)的圖象經(jīng)過(1,/),

數(shù)列｛4,｝為等差數(shù)列。(14')

①求數(shù)列｛a?｝的通項公式；

②當n為奇數(shù)時，設(shè)g(x)二;"(x)—/(—x)］,問是否存在自然數(shù)m和M使得不等式

m<g(g)<M恒成立？若存在，求出m與M,若不存在說明理由。

15、［思路分析］：(I)由題意得F(l)=n\即ao+ai+&+…+2刁2。

令n=L貝ljao+ai=l.

2

令n=2,則a0+ai+a2=2.

@2=4-(do+dl)=3.

2

令n=3,則ao+ai+a24a3=3,

33~9—(a0+ai+a2)=5.

設(shè)等差數(shù)列｛④｝的公差為d,則

d=a3-a2,ai=a2-d=l,ao=O.

.,.an=l+(n-l)X2=2n-1..........................................6'

(II)由(I)知：f(x)=aix+a2X2+a3X3+,,,+anXn.

23lr1n

n為奇數(shù)時，f(-x)=-aiX+a2x-a3X+???+an-1x-anx.

，g(x)=g"(x)-〃-初

n-Jn

=aix+a3x"+a5x：'+,??+an2X+anx.

=l-1+5-(1)3+9-(1)5+---+(2n-5)-(^)H-2+(2tt-l).(1)n.①

；,g(g)=1,(；)3+5,(；)'+…+(2〃-5)?(；)"+(2〃-1)-(g)"2.②

由①-②得1g(；)=1?；+4[(；)3+(；)'+…+(；)"]-(2n-1)?(；)"+?.

,"小吟十號寺京............

設(shè)％=|心"，

cn+1-c?=i(l-/7)-(|r<O,(ner),

.?.Cn隨n的增加而減小.

又隨n的增大而減小，

g(；)為n的增函數(shù).

當n=l時,

由此易知：使機<g(/)<A/恒成立的m的最大值為0,M的最小值為2。

［命題分析］:本題是函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合大題，主要考查了奇函數(shù)的概念、數(shù)列的單

調(diào)性及數(shù)列求和的方法。

16、已知函數(shù)/(x)=(x—以，數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛a｝是公比為q的

等比數(shù)列(q#l,qeR),若外=f(d+l)，瓦=f(q+l),b3=f(q-V).

(1)求數(shù)列｛4｝和｛/｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，對〃eN+都有幺+魚…+鼠=a,用求

兒%b“

lim.

…S2n

(3)若數(shù)列｛4,｝滿足合=(；)1,T,=4d2…乙，試判斷優(yōu),｝中的最大項為

第幾項，并說明理由。

16、解：(1)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，％一%=2".為等比數(shù)列，

又；％-q=/?+l)-/(d—1)=/一(1-2)2,

d?-(d-2y=2d,解得d=2,4=/(l)=0.

a?=2(n-l).又步“｝為等比數(shù)列，，J=q2.

2

b｝f(q—D(q-2)2.(q-2)2

而—=------------=------o—，??----;—二q

仇〃q+l)Q2q2

n-1,,+1

qW1,€R,q=—2,/?,=4.bn=4(-2)=(-2).4分

(2)由氣+七+

仿b2

￡L￡2,...SZ1

+++=a?②

仇b2bn-\

①-②得｝=a用-%=2.c,=2b?=2-(-2)"+1=8(-2)">

b?

對于｛%｝，—=-2,q=8,知其為等比數(shù)列.

c?-\

2

5=“號"空=2-2)口，&同=如一(-2嚴],52?=|[1-(-2)-].

1—(—Z)3JJ

1-(-2嚴

lim8分

“—>81—(—2產(chǎn)

...|芥|=8?($"，當〃<5時，|T,M|〉|7；|

當“A6時，|十|>卬7]>|或|>|79|>…

6，5721

v^=8-(-|)<0,T7=8.(-1)<0,

828510

rg=8-(--)>0,T5=8-(--)>0

而,=8兀(一|)嗅[8-(|)6『=(4!)3<1

故｛7；｝中的最大項為第8項。

17、(14分)已知點用(1,月),82(2?2)「、8“(〃,%),-?(11€T4*)順次為直線丫=｝+'上的

點,點A1Cq,0),A282，°)，…，An(Xn，0),…順次為x軸上的點,其中x[=a(0<aWl).對于任

意nGN*,點An、Bn,An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項公式，并證明它為等差數(shù)列；

⑵求證：儲,+2T”是常數(shù)，并求數(shù)列｛》“｝的通項公式；

(3)上述等腰AAnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能,

請說明理由.

17、⑴%=++春5-%=：,所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.......2分

(2)由題意知，"[%=凡所以Xn+%]=2〃,從而xn+1+xn+2=2(n4-1)

相減，得X〃+2?X〃=2

/?XJ,x3,X5，-,X2/I_1,…成等差數(shù)列；x2,x4,X6，???,X2〃，…成等差數(shù)列,4分

x2/l_j=x]+(n-1)?2=2n+a-2,

x2rt=x2+(n-1)*2=(2-a)+(n-1)?2=2n-a

n+a-1(n是奇數(shù))

:.a=<........7分

〃[n-a(n是偶數(shù))

(3)當n奇數(shù)時，An(n+a-1,0),An+1(n+l-a,0),所以|AnAn+i|=2(1-a)；

當n是偶數(shù)時，An(n-a,0),An+1(n+a,0),所以|AnAn-l|=2a........9分

作BnG,_Lx軸于C“，則IBnG,+

要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必需且只需|AnAn-l|=2|BnCn|.

所以，當n為奇數(shù)時，有2(1-a)=2(%+，),即12a=11-3n,(*)

21

當n=l時M=7；當九=3時M當nN5時，方程（*）無解.........11分

36

7

當n是偶數(shù)時;12〃=3n+l,同理可求得。.......13分

717

綜上所述，當"3或"石或”內(nèi)時，存在直角三角形?………14分

18、［文］已知｛0“｝是公比為q的等比數(shù)列,且。，“，《用此用成等差數(shù)列.

（I）求q的值；

（II）設(shè)數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，試判斷S,“,S,“+2，S,“+i是否成等差數(shù)列？說明理

由.

18[文]、【思路分析】

(I)依題意，得2am+2=am+1+am

m+ln,m

.,.2a1q=alq+a1q-'

在等比數(shù)列｛an｝中，a|W0,qWO,

/.2q2=q+1,解得q=l或..........4分

(H)若q=l,Sm+Sm+i=ma1+(m+1)ai=(2m+l)ai，Sm+2=(m+2)at

"""S|；.2Sm+2WSm+Sm+l........................6分

=

/-2Sm+2Sm+Sm4.1.......................................11分

故當q=l時，Sm,Sm+2,Sm+l不成等差數(shù)列；

當4=-；時，Sm,Sm+Z,Sm+l成等差數(shù)列.....................“分

19、（12分）已知數(shù)列｛a0｝的首項（a是常數(shù)），a?=2a._,+n2-4n+2

(neN,n>2).

(I)｛4｝是否可能是等差數(shù)列.若可能，求出｛4“｝的通項公式；若不可能，說明理山；

2

(II)設(shè)仇=匕，hn=an+n(ne7V,n>2),S“為數(shù)列也J的前n項和，且

｛S,｝是等比數(shù)列，求實數(shù)。、b滿足的條件.

19.解：(I)Va]=〃,依*=2?！癬]+〃2-4〃+2(〃=2,3,…)

；?%=2。+4-8+2=2。一24=2〃2+9-12+2=4。-5

%=2a3+2=8Q—8a2-a1=2a-2-a=a-2,a3-a2=2a-3,a4-a3=4a-3

若｛%｝是等差數(shù)列，則42~ai~ai一。2,得a=1但由。3-?2=。4-。3，得a=0,矛盾.

二缶“｝不可能是等差數(shù)列

22222

(II)?-?/??=a“+n：./,n+1=an+1+(n+1)=2a?+(n+1)-4(n+1)+2+(n+I)=2a,,+2n=2b?(n>2)

.?也=勺+4=2a+2

當aw-i時，bnHO步“｝從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列

S?=々+(2"+2)(2"'T)=b+(2a+2)(2"-'-1)

2—1

n、2肘.S”_(a+1)2"+b-2a-2_______b-2a-2____

,S?-\~(a+\)2"-'+b-2a-2~~(a+\)2"-'+b-2a-2

：.｛5｝是等比數(shù)列，；.S“(n?2)是常數(shù)Tar-ln寸，."。。1力當a=l時，

S“T

匕2=0,由a=(n》3),得6“=0(n>2)A5?=bt+b2+........+b?=b

是等比數(shù)列...bWO

綜上，｛S“｝是等比數(shù)列，實數(shù)a、b所滿足的條件為!"T或卜=7

[b=2a+2]bwO

20、(14分)(理)已知函數(shù)〃x)=」一，數(shù)列｛%｝滿足：?1=1,a,l+[=fneN*.

3x-2an

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

aaflT

(2)記4?。2-。2,。3+“3.4+…+(T嚴勺?m+t+-----2n'2?+l=n-

①求加

2

②設(shè)數(shù)列仇｝的前"項和S"=L=當，是否存在實數(shù)&,對〃eN*均有瓦4巴成

12Tn

立，若存在，求出實數(shù)k的范圍；若不存在，請說明理由.

21、(文)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/")滿足：①當x<0時，/(x)>1；②任意x,ywR,均

有f(x+y)=f(x)-f(y).數(shù)列?。凉M足:q=/(0),/(a?+i)=------