高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市楊浦區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.已知集合，，則________.〖答案〗〖解析〗集合，，所以.故〖答案〗為：2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.〖答案〗〖解析〗由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故〖答案〗為．3.計(jì)算________（其中為虛數(shù)單位）.〖答案〗〖解析〗由題.故〖答案〗為：.4.若，則__________．〖答案〗〖解析〗5.已知二項(xiàng)式，其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________.〖答案〗45〖解析〗由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，即含項(xiàng)的系數(shù)為45.故〖答案〗為：456.各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項(xiàng)公式為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，，得，則，解得，所以.故〖答案〗為：7.正方體中，異面直線與所成角的大小為________.〖答案〗〖解析〗正方體中，，因此異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此.所以異面直線與所成角的大小為.故〖答案〗為：8.若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)，的值域?yàn)開_______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，所以，時(shí)值域?yàn)?故〖答案〗為：.9.設(shè)復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則________.〖答案〗2〖解析〗依題意，，則，所以.故〖答案〗為：210.有5名志愿者報(bào)名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有________種.〖答案〗60〖解析〗從5人中選1人兩天都參加，有種方法，再從余下4人中選2人分派到周六、周日參加，有種方法，所以不同安排方式共有（種）.故〖答案〗為：6011.某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米．現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為________.〖答案〗134〖解析〗設(shè)第一層有根，共有層，則，，顯然和中一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，則或或，即或或，顯然每增加一層高度增加厘米，當(dāng)時(shí)，厘米厘米，此時(shí)最下層有根；當(dāng)時(shí)，厘米厘米，此時(shí)最下層有根；當(dāng)時(shí)，厘米，超過米，所以堆放占用場地面積最小時(shí)，最下層圓鋼根數(shù)為根.故〖答案〗為：134.12.已知實(shí)數(shù)滿足：①；②存在實(shí)數(shù)，使得，，是等差數(shù)列，，，也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，，依題意，，于是，整理得，即，因此，即有，則隨增大而增大，而當(dāng)，時(shí)，到達(dá)時(shí)是臨界值點(diǎn)，此時(shí)，代入得，即，整理得，而，解得，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：二、選擇題13.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不是；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，D是.故選：D14.已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于ABD，取，滿足，顯然，，，ABD錯(cuò)誤；對于C，，則，C正確.故選：C.15.某區(qū)高三年級3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（）A.350 B.400 C.450 D.500〖答案〗B〖解析〗依題意，，而服從正態(tài)分布，因此，所以此次考試中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：B.16.平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個(gè)結(jié)論：①對任意，存在該平面的向量，滿足②對任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為（）A.①正確，②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤，②正確 C.①正確，②正確 D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤〖答案〗C〖解析〗由，，，不妨令，，設(shè)，，得，而，，則，整理得，由，得，平行直線和間的距離為，到直線和直線距離相等的點(diǎn)到這兩條直線的距離為，如圖，陰影部分表示的區(qū)域?yàn)榧希虼藷o論是否屬于，都有，所以命題①②都正確.故選：C.三、解答題17.如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面中心，，，均在底面圓周上，且為等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：連接，交于點(diǎn)，由為等邊三角形，得是中心，則，而平面，平面，則，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：連接，作于，由（1）知平面，平面，則，而平面，則平面，顯然，，則，而，于是≌，因此，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知.（1）若的最小正周期為，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）已知，中，，，分別是角，,所對的邊,若，，，求的值.解：（1）由的最小正周期為，得，則，于是，；，所以函數(shù)非奇非偶函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，則，，在中，，，則，有，于是，解得，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以.19.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：（1）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分?jǐn)?shù)；（2）獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個(gè)人，求選出的兩個(gè)人均為優(yōu)秀的概率；（3）根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間，兩種生產(chǎn)方式優(yōu)秀與合格的人數(shù)填入下面的2×2列聯(lián)表：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計(jì)優(yōu)秀

合格

總計(jì)

根據(jù)上面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異？.其中，.解：（1）根據(jù)題意，將這40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78,81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94，故取第30人和第31人時(shí)間的平均值為；（2）設(shè)選出的工人為優(yōu)秀為事件A，第一種正產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是2個(gè)，第二種生產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是10個(gè)，所以獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個(gè)人，選出的兩個(gè)人均為優(yōu)秀的概率為.（3）

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計(jì)優(yōu)秀21012合格181028總計(jì)202040，故有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異.20.已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.（其中、分別表示、的面積）解：（1）依題意，，又，解得，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)槊}“對任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，可以取直線為，由，解得或，所以，，則，所以，，所以，設(shè)的重心為，則，，所以，即的重心坐標(biāo)為.（3）依題意可得直線的斜率存在、不為且斜率為負(fù)數(shù)，設(shè)直線，，，則直線：，令，得，同理可得：；所以設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，所以，，，因?yàn)?，故得①，由，則，，代入①得，解得，所以，故直線的方程為.21.函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.（1）判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；（2）已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，均有.求證：存在實(shí)數(shù)，使得對任意，均有.（1）解：若與不為相關(guān)函數(shù)對，則且，則，所以只要即可，當(dāng)，時(shí)