第第頁專題03列方程解應用題小學的應用題大多都可以用算術法來解題，所謂“算術法”就是指一個全部由數(shù)字和符號構(gòu)成的式子，因為計算簡便，成了小學六年來學生們解題的“主菜”，即使小學里學習了方程，但也只能算是“配菜”而已。究其原因不過兩種：其一先入為主（大家都是先學的算術法再學的方程法解應用）；其二是小學老師為了學生盡可能多得分有意無意的希望學生多用算術法?？蛇M入初中后就不同了：自從初一上學期詳細的學習了一元一次方程后，漸漸的，凡是應用題第一反應就是設未知數(shù)列方程，而對原先的“算術法”沒什么印象了。這是因為用算術法來解應用題大多要用逆向思維，而方程所用的大多是正向思維，兩者孰輕孰重一目了然。為了讓學生后續(xù)方程的學習，可以引導學生理解：列方程過程中，重要的是未知數(shù)要參與運算，用等量關系列出方程。引導學生思維方式從算術思維逐步向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變，無疑是中小學數(shù)學教學銜接的重要內(nèi)容。小學解方程，都按四則運算的各部分之間的關系來解，現(xiàn)在（初中）都是按等式的性質(zhì)解方程?？梢钥隙ǖ恼f，用等式的性質(zhì)解方程，是解方程的正途。加強這一方面的教學，目的就是要有利于學生初中階段能更好的學習稍復雜的方程。1．列方程解應用題（1）列方程解應用題的優(yōu)點。先用一個字母代替未知數(shù)，再把它看作已知數(shù)參與列式和運算，便于把題中的數(shù)量關系直接反映出來，使問題簡單化。（2）列方程解應用題一般步驟。列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．要點詮釋：（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的關系，找等量關系；（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．2．常見的數(shù)量關系1）公式形數(shù)量關系生活中許多數(shù)學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯(lián)想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。長方形面積=長×寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長×邊長正方形周長=4邊長2）約定型數(shù)量關系利息問題、利潤問題、質(zhì)量分數(shù)問題、比例尺問題、折扣等涉及的數(shù)量關系，像數(shù)學中的公式，但常常又不算數(shù)學公式。我們稱這類關系為約定型數(shù)量關系。3）基本數(shù)量關系在簡單應用情景中，與其他數(shù)量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關系稱為基本數(shù)量關系。單價×數(shù)量=總價速度×時間=路程工作效率×時間=總工作量現(xiàn)價÷原價＝折數(shù)3．分析數(shù)量關系的常用方法1）直譯法分析數(shù)量關系將題中關鍵性的數(shù)量關系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出等量關系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。2）列表分析數(shù)量關系當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關系。3）圖解法分析數(shù)量關系用圖形表示題目中的數(shù)量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。考點1、行程問題（相遇與追擊問題）【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×時間。不同類型問題，在求解速度時有所不同，具體如下：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．例1．（2022·山西渾源·初一期末）綜合與實踐：甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，速度為120千米/時；快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地，速度為90千米/時．設慢車行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據(jù)題意解答下列問題：（1）當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；（2）當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程；（3）①在慢車從乙地開往甲地的過程中，直接寫出快慢兩車之間的距離；（用含x的代數(shù)式表示）②若第二列快車也從甲地出發(fā)勻速駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，第二列快車與慢車相遇，直接寫出第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時．【答案】（1）4小時（2）360千米或720千米（3）①0≤x＜4時，840﹣210x；4≤x＜7時，210x﹣840；7≤x≤10時，90x②小時【分析】（1）設慢車行駛的時間為x小時，根據(jù)相遇時，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900，依此列出方程，求解即可；（2）當兩車之間的距離為315千米時，分三種情況：①兩車相遇前相距315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900-315；②兩車相遇后相距315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900+315；③當快車到達乙地時，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，7×90=630＞315，此種情況不存在；（3）①分三種情況：慢車與快車相遇前；慢車與快車相遇后；快車到達乙地時；②在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4+=小時，快車慢車行駛的時間為4++=5小時．設第二列快車行駛y小時與慢車相遇，根據(jù)相遇時，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900，求出y的值，進而求解即可．【解析】解：（1）設慢車行駛的時間為x小時，由題意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．答：當快車與慢車相遇時，慢車行駛了4小時．（2）當兩車之間的距離為315千米時，有兩種情況：①兩車相遇前相距315千米，此時120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5．120（x＋）＝360（千米）；②兩車相遇后相距315千米，此時120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5．120（x＋）＝720（千米）；③當快車到達乙地時，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，7×90＝630＞315，此種情況不存在．答：當兩車之間的距離為315千米時，快車所行的路程為360千米或720千米；（3）①當慢車與快車相遇前，即0≤x＜4時，兩車的距離為900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；當慢車與快車相遇后，快車到達乙地前，即4≤x＜7時，兩車的距離為120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；當快車到達乙地時，即7≤x≤10時，兩車的距離為90x；②第二列快車比第一列快車晚出發(fā)小時．在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4＋＝小時，快車行駛的時間為4＋＋＝5小時．設第二列快車行駛y小時與慢車相遇，由題意，得120y＋×90＝900，解得y＝4．5﹣4＝（小時）．答：第二列快車比第一列快車晚出發(fā)小時．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．例2．（2022·廣東郁南·初一期末）某中學學生步行到郊外旅行，七年級班學生組成前隊，步行速度為4千米小時，七班的學生組成后隊，速度為6千米小時；前隊出發(fā)1小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯(lián)絡，他騎車的速度為10千米小時．后隊追上前隊需要多長時間？后隊追上前隊的時間內(nèi)，聯(lián)絡員走的路程是多少？七年級班出發(fā)多少小時后兩隊相距2千米？【答案】（1）后隊追上前隊需要2小時；（2）聯(lián)絡員走的路程是20千米；（3）七年級班出發(fā)小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米【分析】(1)設后隊追上前隊需要x小時，由后隊走的路程=前隊先走的路程+前隊后來走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×時間可求聯(lián)絡員走的路程；(3)分三種情況討論，列出方程求解即可．【解析】設后隊追上前隊需要x小時，根據(jù)題意得：，答：后隊追上前隊需要2小時；千米，答：聯(lián)絡員走的路程是20千米；設七年級班出發(fā)t小時后，兩隊相距2千米，當七年級班沒有出發(fā)時，，當七年級班出發(fā)，但沒有追上七年級班時，，，當七年級班追上七年級班后，，，答：七年級班出發(fā)小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，分類討論的思想，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式1．（2022·仁壽縣七年級期中）甲在乙后12千米處，甲的速度為7千米/小時，乙的速度為5千米/小時，現(xiàn)兩人同向同時出發(fā)，那么甲從出發(fā)到剛好追上乙所需要時間是(

)A．5小時 B．1小時 C．6小時 D．2.4小時【答案】C【分析】設甲從出發(fā)到剛好追上乙所需要時間x小時，可得7x-5x=12，即可解得答案．【詳解】解：設甲從出發(fā)到剛好追上乙所需要時間x小時，根據(jù)題意得：7x-5x=12，解得x=6，答：甲從出發(fā)到剛好追上乙所需要時間是6小時．故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，掌握追擊問題的等量關系列方程．變式2．（2022·廣東七年級期末）已知A、B兩站間的距離為480千米，一列慢車從A站出發(fā)，一列快車從B站出發(fā)，慢車的平均速度為60千米/時，快車的平均速度為100千米/時，如果兩車同時出發(fā)，慢車在前，快車在后，同向而行，那么出發(fā)后________小時兩車相距80千米．【答案】10或14【分析】可設出發(fā)后x小時兩車相距80千米，分兩種情況：兩車相距80千米時慢車在前；兩車相距80千米時快車在前列方程，解方程即可求解．【詳解】解：設出發(fā)后x小時兩車相距80千米，當慢車在前時，100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，當快車在前時，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，答：出發(fā)后10小時或14小時兩車相距80千米，故答案為：10或14．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，涉及路程問題，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．變式3．（2022·河南·南陽市第九中學校七年級階段練習）小莉和同學在“五一”假期去森林公園玩，在溪流邊的A碼頭租了一艘小艇，逆流而上，劃行速度8千米/時．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A碼頭比去時少花了20分鐘．求A、B兩地之間的路程．【答案】8千米【分析】設A、B兩地之間的路程為x千米，根據(jù)等量關系式：回到A碼頭比去時少花了20分鐘列出方程，解方程即可．【詳解】解：設A、B兩地之間的路程為x千米，依題意得：，解得：x＝8．答：A、B兩地之間的路程為8千米．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據(jù)等量關系列出方程，是解題的關鍵．變式4．（2022·黑龍江·大慶市期末）甲乙兩車分別從A、B兩城同時相對開出，經(jīng)過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點13千米，已知甲車比乙車每小時多行3千米，A、B兩城相距多少千米？【答案】千米【分析】設A、B兩城相距x千米，根據(jù)“經(jīng)過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點13千米，甲車比乙車每小時多行3千米”，列出一元一次方程即可求解．【詳解】解：設A、B兩城相距x千米x=答：兩城相距千米．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．考點2、航行問題與火車過橋問題【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×時間。不同類型問題，在求解速度時有所不同，具體如下：航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．例1．（2022·哈爾濱七年級期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時．若水流速度是3千米/時，則甲、乙兩碼頭之間的距離是_____千米．【答案】60【分析】設船在靜水中的速度為x千米/小時，根據(jù)順流速度＝靜水速度+水流速度逆流速度＝靜水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根據(jù)求出的船在靜水中的速度，再根據(jù)路程＝順流的時間×順流的速度，列出算式，進行計算即可．【詳解】解：設船在靜水中的速度為x千米/小時，根據(jù)題意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在靜水中的速度是27千米/小時，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵在于能夠準確找到等量關系進行求解．例2．（2022·四川廣元·七年級期末）已知某鐵路橋長1600米．現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時間是70秒．則這列火車長______米．【答案】200【分析】設這列火車的長為x米，利用速度＝路程÷時間，結(jié)合火車的速度不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設這列火車的長為x米，根據(jù)題意得，，解得，∴這列火車的長為200米．故答案為：200【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式1．（2022·湖北七年級期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設A港和B港相距xkm．根據(jù)題意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設A港和B港相距x千米，根據(jù)行船問題公式可知，順水速度較快，所用時間較少，所以利用行程問題公式，列方程為：，變形為：，據(jù)此選擇．【詳解】解：設A港和B港相距x千米，，變形為：∴方程為：故選B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，抓住關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．順水速度=水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．變式2．（2022·天津和平·七年級期末）某中學學生軍訓，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進，每小時走4.5千米．一列火車以每小時120千米的速度迎面開來，測得從火車頭與隊首學生相遇，到車尾與隊末學生相遇，共經(jīng)過12秒．如果隊伍長150米，那么火車長（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先將12秒化為小時，設火車長x千米，然后根據(jù)學生行駛的路程+火車的路程＝火車的長度+學生隊伍的長度列方程求解即可，注意單位換算．【詳解】解：12秒＝小時，150米＝0.15千米，設火車長x千米，根據(jù)題意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火車長265米．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題的關鍵是理解題意，找到正確的等量關系．考點3、工程問題【解題技巧】我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個關系來列寫等式方程。工程問題關鍵是把“一項工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時間的倒數(shù)來表示。復雜的工程問題，往往需要設多個未知數(shù)，不要擔心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。例1．（2022·河南南陽·七年級期中）某廠接到一所中學的冬季校服定做任務，計劃用、兩臺大型設備進行加工，如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完；為了同學們能及時領到冬季校服，工廠決定由兩臺設備同時趕制．(1)填空：型設備的工作效率是_________，型設備的工作效率是_________；(2)若兩臺設備同時加工10天后，型設備出了故障，暫時不能工作，如果由型設備單獨完成剩下的任務，則還需要多少天？【答案】(1)，(2)20天【分析】（1）利用工作效率工作總量工作時間，可得出，兩臺設備的工作效率；（2）先設還需要天完成，利用型設備完成的工作量型設備完成的工作量總工作量，即可得出關于的一元一次方程，求解即可．（1）解：如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完，型設備的工作效率是這批冬季校服數(shù)量的，型設備的工作效率是這批冬季校服數(shù)量的．故答案為：；．（2）解：設還需要天完成，依題意得：，解得：．答：還需要20天完成．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程求解．例2．（2022·哈爾濱開學考試）某小區(qū)建完之后，需要做內(nèi)墻粉刷裝飾，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊都想承包這項工程，已知甲工程隊每天能粉刷個房間，乙工程隊每天能粉刷個房間．且單獨粉刷這些墻面甲工程隊比乙工程隊要多用天，在粉刷的過程中，該開發(fā)商要付甲工程隊每天費用元，付乙工程隊每天費用元．（1）求這個小區(qū)共有多少間房間？（2）為了盡快完成這項工程，若先由甲、乙兩個工程隊按原粉刷速度合作一段時間后，甲工程隊停工了，而乙工程隊每天的粉刷速度提高乙工程隊單獨完成剩余部分，且乙工程隊的全部工作時間是甲工程隊的工作時間的倍還多天，求乙工程隊共粉刷多少天？（3）經(jīng)開發(fā)商研究制定如下方案:方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由乙工程隊單獨完成；方案三：按（3）問方式完成；請你通過計算幫開發(fā)商選擇一種既省時又省錢的粉刷方案．【答案】（1）間；（2）天；（3）選擇方案三既省時又省錢．【分析】（1）設乙隊要刷天，利用甲乙粉刷的房間數(shù)一樣列方程求解，從而可得答案；（2）設甲工程隊粉刷天，則乙工程隊粉刷天，利用各部分的工作量之和等于總工作量列方程，從而解方程可得答案；（3）先分別計算三種方案的完成工作的工作時間，分別計算出三種情況下的費用，比較以后可得結(jié)論．【解析】解：（1）設乙隊要刷天，根據(jù)題意得:，解得（間），答:這個小區(qū)共有間房間．（2）設甲工程隊粉刷天，則乙工程隊粉刷天，根據(jù)題意得：，解得（天），答：乙工程隊共粉刷天．（3）方案一：由甲工程隊單獨完成需要時間和費用:（天)，（元）方案二：由乙工程隊單獨完成需要天，費用：（元），方案三：按（2）問方式完成需要時間為天，費用：（元）且，方案三最合適，答：選擇方案三既省時又省錢．【點睛】本題考查的是一元一次方程的實際應用，以及最優(yōu)化的選擇問題，掌握以上知識是解題的關鍵．變式1．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習）已知一項工程，甲單獨完成需要5天，乙單獨完成需要10天，現(xiàn)先由甲單獨做2天，然后再安排乙與甲合作完成剩下的部分，則完成這項工程共耗時(

)A．1天 B．2天 C．3天 D．4天【答案】D【分析】設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)總工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設完成這項工程共耗時x天，則甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根據(jù)題意得：1，解得：x＝4．即完成這項工程共耗時4天．故選：D【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式2．（2022·仁壽縣七年級期中）一項工程，甲單獨做需20天完成，乙單獨做需15天完成，現(xiàn)在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙獨做，先后共用12天，請問甲做了多少天？【答案】甲做了4天．【分析】設甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設甲做了x天，依題意得：，解得：x=4．答：甲做了4天．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．變式3．（2022·云南大理·）列方程解應用題：在洱海保護治理工作中，洱海生態(tài)廊道建設是洱海保護體系的最后一道污染物攔截防線，也是洱海最重要的一道生態(tài)安全屏障．大理市政府于2019年啟動了129公里洱海生態(tài)廊道建設．截止2020年10月止，已經(jīng)完成主體建設68公里，其余61公里正在全線推進．記者了解到：其中有一段長2400米的河道需要工程隊進行整治．甲工程隊每天可完成35米，乙工程隊每天可完成45米．（1）若該任務由甲、乙兩個工程隊合作完成，請問整治這段河道任務用了多少天？（2）若在前期，由于乙工程隊需要機械維修，則先由甲工程隊單獨整治一段時間，剩下的工程由甲、乙兩隊來合作完成．整治完了全部河道共用時48天，求甲、乙工程隊分別整治了多少米的河道？【答案】（1）30天；（2）甲、乙工程隊分別整治了1680米、720米的河道．【分析】（1）設甲、乙兩隊合作天可完成任務，由總工程2400米列一元一次方程，解一元一次方程即可；（2）設甲先整治了米，則剩余米由甲、乙兩隊合作完成，根據(jù)所用時間48天，列一元一次方程，解一元一次方程即可解題．【詳解】解：（1）設甲、乙兩隊合作天可完成任務，根據(jù)題意列方程，解方程，得，答：該任務由甲、乙兩個工程隊合作完成，則需要用時30天．（2）設甲先整治了米，則剩余米由甲、乙兩隊合作完成，根據(jù)題意列方程，解方程，得，甲隊先整治的時間為（天），剩余工程由甲、乙兩隊合作整治的時間為（天），甲隊整治河道（米），乙隊整治河道（米），答：甲工程隊分別整治了1680米，乙工程隊分別整治了720米的河道．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．考點4、分段計費問題【解題技巧】此類題型，收費往往因為不同的分段，標準會不一樣。因此，在列寫此類問題的等式方程時，需要先依據(jù)題意將路程進行合理分段，然后在按照不同分段中的收費標準列寫等式方程。常見試題背景：水費、電費、氣費、車費、納稅、社保醫(yī)保體系等例1．（2022·浙江七年級期中）我國最新的個人所得稅“起征點”是5000元，即月工資超過5000元的部分需要繳納稅收，具體如下表．其中應納稅所得額=月工資-5000-專項扣除金額-依法確定的其他扣除金額．2020年個人所得稅稅率表（工資薪金所得適用）級數(shù)應納稅所得額稅率10至3000元的部分3%2超過3000元至12000元的部分10%3超過12000元至25000元的部分20%4超過25000元至35000元的部分25%5超過35000元至55000元的部分30%（1）某員工的應納稅所得額為4000元，求該員工繳納的稅額是多少?（2）我國專項扣除的常見項目及金額如下：①每個子女教育扣除2000元；②住房貸款扣除2000元；③贍養(yǎng)每位老人扣除2000元．某公司一技術專家的月工資是40000元，他有1個讀初中的子女、一套住房的貸款和贍養(yǎng)2位老人，則該技術專家繳納的稅額是多少元?（3）公益捐贈屬于依法確定的其他扣除項目，在（2）的基礎上，該技術專家在三月份參加了公益捐贈活動后，實際收入33610元，求該技術專家在三月份捐贈了多少元?【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）利用應繳納的稅額=3000×3%+超出3000元的部分×10%，即可求出結(jié)論；（2）利用應納稅所得額=月工資-500-專項扣除金額，可求出該技術專家的應納稅所得額，利用應繳納的稅額=3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+超出25000元的部分×25%，即可求出結(jié)論；（3）設該技術專家在三月份捐贈了x元，分x＜2000及x＞2000兩種情況考慮，由該技術專家在三月份的實際收入33610元，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）3000×3%+（4000-3000）×10%=190（元）．答：該員工繳納的稅額是190元．（2）該技術專家的應納稅所得額為40000-5000-2000-2000-2000×2=27000（元），3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-25000）×25%=4090（元）．答：該技術專家繳納的稅額是4090元．（3）設該技術專家在三月份捐贈了x元．當x＜2000時，3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-x-25000）×25%=40000-x-33610，解得：x=（不合題意，舍去）；當x＞2000時，3000×3%+（12000-3000）×10%+（27000-x-12000）×20%=40000-x-33610，解得：x=3000．答：該技術專家在三月份捐贈了3000元．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列式計算；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列式計算；（3）找準等量關系，正確列出一元一次方程．例2．（2022·遼寧鐵嶺·七年級期末）甲、乙兩家超市以相同的價格出售相同的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按8折優(yōu)惠；在乙超市累計購買商品超出100元之后，超出部分按9折優(yōu)惠．設顧客預計購買x元（）的商品．(1)請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在甲、乙兩家超市購物應付的費用；(2)小明準備購買500元的商品，你認為他應該去哪家超市？請說明理由；(3)小明購買多少元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣？【答案】(1)甲超市元，乙超市元(2)甲超市，理由見解析(3)元【分析】（1）分別按照甲乙超市的優(yōu)惠方法：甲：200+超過200元的部分×0.8，乙：100+超過100元的部分×0.9；列代數(shù)式即可；（2）把代入（1）中的代數(shù)式進行計算，再比較即可；（3）利用兩家超市的費用相等構(gòu)建方程，再解方程即可．(1)解：顧客在甲超市購物應付的費用為元；在乙超市購物應付的費用為元；(2)他應該去甲超市．理由如下：當時，甲：，乙：．∵，∴他應該去甲超市；(3)根據(jù)題意，得，解這個方程，得答：小明購買元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣．【點睛】本題考查的是分段計費的問題，列代數(shù)式，求解代數(shù)式的值，一元一次方程的應用，理解題意，正確的列出代數(shù)式是解本題的關鍵．變式1．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學研究室二模）濰坊出租車采用階梯式的計價收費辦法如下表：行駛里程計費方法不超過3公里起步價8元超過3公里且不超過7公里的部分每公里按標準租費收費超過7公里且不超過25公里的部分每公里再加收標準租費的50%超過25公里且不超過100公里的部分每公里再加收標準租費的75%超過100公里的部分每公里再加收標準租費的100%說明：行駛里程不足1公里，按1公里計算；行駛里程超過3公里時的標準租費為1.8元/公里．若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【分析】設行駛里程為x公里，乘車費用為26元．根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可．【詳解】解：設行駛里程為x公里，乘車費用為26元．若，根據(jù)題意得，不成立．若，根據(jù)題意得．解得（舍）．若，根據(jù)題意得．解得．若，根據(jù)題意得．解得（舍）．若時，根據(jù)題意得．解得（舍）．∴若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為11公里．故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，熟練掌握該知識點是解題關鍵．變式2．（2022·浙江麗水·三模）電信公司推出移動電話A，兩種套餐計費方法，收費標準如下表，一個月累計通話時間記為（分）．A計費方法計費方法月租費（元/月）5888不加收通話費時限（分）150350超時部分加收通話費標準（元/分）0.250.20(1)若，則選用哪種套餐話費少？通過計算說明．(2)當時，按這兩種計費方法，所需的話費會相等嗎？若會，求的值；若不會，說明理由．(3)用A套餐時，一個月累計通話時間410分所需的話費，若改用套餐，則可多通話多少分鐘？【答案】(1)選擇A套餐(2)會，當時，所需的話費相等(3)改用套餐，則可多通話115分鐘【分析】（1）直接將代入兩種套餐計算出費用即可比較；（2）根據(jù)話費相等，列出方程，解出t的值即可；（3）根據(jù)題意列出方程即可求解．(1)A套餐收費：；套餐收費：．所以選擇A套餐．(2)當時，，解得．∴當時，所需的話費相等．(3)根據(jù)題意得方程，解得，．答：改用套餐，則可多通話115分鐘．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵在于找到題目中的等量關系列方程．變式3．（2022·聊城市茌平區(qū)實驗中學七年級期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，某省試行階段電價收費制，具體執(zhí)行方案如表：檔次每戶每月用電數(shù)度執(zhí)行電價元度第一檔小于等于200部分第二檔大于200且小于等于400部分第三檔大于400部分（1）若一戶居民七月份用電420度，則需繳電費多少元？（2）若一戶居民某月用電x度大于200且小于，則需繳電費多少元？用含x的代數(shù)式表示（3）某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費262元．已知該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均小于400度，問該戶居民五、六月份各用電多少度？【答案】（1）需繳電費236元；（2）(0.6x-20)元；（3）該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．【分析】（1）根據(jù)階梯電價收費制，用電420度在第三檔，則需繳電費，計算即可；（2）根據(jù)階梯電價收費制，用電度大于200小于，需交電費，化簡即可；（3）設五月份用電度，則六月份用電度，分兩種情況進行討論：①；②．【詳解】解：（1）元．答：需繳電費236元；（2）（元）；（3）設五月份用電x度，則六月份用電度．分兩種情況：第一種情況:當時，，解得，；第二種情況:當時，250≤500-x≤400，，，無解，所以，該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．考點5、銷售問題【解題技巧】此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關系來列寫等式方程。實際售價＝標價×打折率利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．例1．（2022·重慶·黔江區(qū)七年級期中）文峰文具店分兩次購進一款禮品盲盒共70盒，總共花費960元，已知第一批盲盒進價為每盒15元，第二批盲盒進價為每盒12元．(1)文具店老板計劃將每盒盲盒標價20元出售，銷售完第一批盲盒后，再打八折銷售完第二批盲盒，按此計劃該老板總共可以獲得多少利潤？(2)在實際銷售中，該文具店老板在以（1）中標價銷售完m盒后，決定搞一場促銷活動，盡快清理庫存．老板先將標價提高到每盒40元，再推出活動：購買兩盒，第一盒七折，第二盒半價，不單盒銷售．售完所有盲盒該老板共獲利600元，求m的值．【答案】(1)320元(2)30【分析】（1）設第一次購買了盒，則第二次購買了盒，根據(jù)題意列方程，得出每一次購買得數(shù)量，再分別算出每一批的利潤，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別表示出銷售m盒的銷售額、七折的銷售額、半價的銷售額，再根據(jù)總銷售額－成本=利潤，列出方程，即可求解．（1）設第一次購買了盒，則第二次購買了盒，依題意得：，解得：（盒），∴第一次購買了40盒，第二次購買了30盒，則第一批盈利：（元），則第二批盈利：（元），∴總共盈利：（元）．（2）銷售m盒銷售額為：20m，七折的銷售額為：，半價的銷售額為：，∴，解得：．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系．例2．（2022·重慶九龍坡·七年級期中）一水果店第一次購進400kg西瓜，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上又購進了800kg西瓜，進貨價比第一次每千克少了0.5元．兩次進貨共花費4400元．（1）第一次購進的西瓜進價每千克多少元；（2）在銷售過程中，兩次購進的西瓜售價相同．由于西瓜是易壞水果，從購進到全部售完會有部分損耗．第一次購進的西瓜有4%的損耗，第二次購進的西瓜有6%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利2984元，則每千克西瓜的售價為多少元．【答案】（1）4元；（2）6.5元【分析】（1）設第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，根據(jù)題意列一元一次方程即可求解；（2）設售價為元，求出兩次的銷售總額，再減去成本就是獲利，列出一元一次方程，即可求解．【詳解】解：（1）設第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，由題意可得：，即解得答：第一次購進的西瓜進價每千克4元；（2）設每千克西瓜的售價為元，則第一次的銷售額為元，第二次的銷售額為元，總成本為4400元，則，即解得答：每千克西瓜的售價為6.5元【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，理解題意弄清楚題中的等量關系是解題的關鍵．變式1．（2022·河北·邢臺市開元中學七年級階段練習）兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%，另一件贏利40%，則兩件商品賣后（）A．贏利16.8元 B．虧本3元 C．贏利3元 D．不贏不虧【答案】C【分析】先根據(jù)題意設出賺錢的和虧本的衣服的本錢x，y，列出關于x，y的方程，求得兩件衣服的本錢，再根據(jù)售價即可得出盈利3元．【詳解】解：設賺錢的衣服的進價為x元，賠錢的衣服的進價為y元，則x+40%x＝84，解得x＝60，y﹣20%y＝84，解得y＝105，∴84×2﹣（60+105）＝3元．答：兩件商品賣后贏利3元，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是一元一次方程的應用，解答這類題目的時候，同學們一定要讀懂題意，列出正確的方程．變式2．（2022·重慶江津·七年級期末）在六一兒童節(jié)期間，某商家推出零食大禮包，包含薯片、辣條、果凍三種零食．禮包的成本是三種零食成本之和．每個禮包中薯片、辣條、果凍成本之比為：：，其中薯片的利潤率為，果凍的利潤率為，且每個禮包的總利潤率為，則辣條的利潤率為______．【答案】【分析】設辣條的利潤率為x，每個禮包中薯片成本為7m、辣條成本為5m、果凍成本為3m，則每個禮包的成本是15m，根據(jù)每個禮包的總利潤率為34%，列方程即可解得答案．【詳解】解：設辣條的利潤率為，每個禮包中薯片成本為、辣條成本為、果凍成本為，則每個禮包的成本是，根據(jù)題意得：，解得，答：辣條的利潤率為，故答案為：．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程．變式3．（2022·福建·福州七年級期末）某社區(qū)超市第一次用6000元購進一批甲乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)比乙商品件數(shù)的2倍少30件，兩件商品的進價和售價如下圖所示：(1)超市購進的這批貨中甲乙兩種商品各有多少件？(2)該超市第二次分別以第一次同樣的進價購進第二批甲乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)是第一批乙商品件數(shù)的3倍，甲商品件數(shù)不變，甲商品按照原售價銷售，乙商品在原價的基礎上打折銷售，第二批商品全部售出后獲得的總利潤比第一批獲得的總利潤多720元，求第二批乙商品在原價基礎上打幾折銷售？甲乙進價（元/件）2230售價（元/件）2940【答案】(1)甲種商品150件，乙種商品90件；(2)9折．【分析】（1）設第一次購進乙種商品m件，則購進甲種商品（2m﹣30）件，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于m的一元一次方程，解方程后計算，可得兩種商品第一次購進數(shù)量；（2）設第二次乙種商品是按原價打y折銷售，根據(jù)總利潤＝每件的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（1）解：設第一次購進乙種商品m件，則購進甲種商品（2m﹣30）件，依題意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000，解得：m＝90，∴2m﹣30＝150，答：超市購進的這批貨中甲種商品150件，乙種商品90件．（2）設第二次乙種商品是按原價打y折銷售，由（1）可知，第一次兩種商品全部賣完可獲得利潤為：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．依題意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9．答：第二次乙種商品是按原價打9折銷售．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．考點6、數(shù)字與日歷問題【解題技巧】已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．例1．（2022·河北滄州·七年級期末）一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，將兩個數(shù)對調(diào)后得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和是99，求原兩位數(shù).設原兩位數(shù)的個位數(shù)字是，根據(jù)題意可列方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出原兩位數(shù)的十位數(shù)字是，再根據(jù)將兩個數(shù)對調(diào)后得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和是99建立方程即可．【詳解】解：由題意得：原兩位數(shù)的十位數(shù)字是，則可列方程為，故選：D．【點睛】本題考查了列一元一次方程，找準等量關系是解題關鍵．例2．（2022·陜西西安·七年級期末）如圖，在2022年元月份的月歷表中，任意框出表中豎列上相鄰的四個數(shù)，則這四個數(shù)的和可能是（

）A．42 B．60 C．78 D．86【答案】C【分析】由于表中豎列上相鄰兩列的數(shù)相差7，所以可設這四個數(shù)中最小的一個數(shù)為x，則其余的三個數(shù)為x+7，x+14，x+21，然后根據(jù)這四個數(shù)的和分別等于四個選項中的數(shù)列出方程，求出方程的解，然后根據(jù)實際意義取值即可．【詳解】解：設這四個數(shù)中最小的一個數(shù)為x，則其余的三個數(shù)為x+7，x+14，x+21，那么，這四個數(shù)的和為x+x+7+x+14+x+21=4x+42．A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合題意；B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合題意；C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合題意；D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答．變式1．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學七年級期末）在一個3×3的方格中填寫9個數(shù)字，使得每行每列每條對角線上的三個數(shù)之和相等，得到的3×3的方格稱為一個三階幻方．如圖方格中填寫了一些數(shù)和字母，為使該方格構(gòu)成一個三階幻方，則y﹣x的值是（

）A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17【答案】A【分析】根據(jù)題意可得關于x、y的等式，繼而進行求解即可得答案．【詳解】由題意得：-3+y+2=-3+3+x，即y-1=x，則y﹣x＝1．故選：A．【點睛】本題考查了三階幻方，涉及方程，移項等知識，弄清題意，找準數(shù)量關系是解題的關鍵．變式2．（2022·河北承德·七年級期末）如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“U”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示），請你運用所學的數(shù)學知識來研究，發(fā)現(xiàn)此月這7個數(shù)的和可能的是（

）A．106 B．98 C．84 D．78【答案】C【分析】設7個數(shù)中最小的數(shù)為x，則另外6個數(shù)分別為x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，進而可得出7個數(shù)之和為7x+63，然后再驗證每一個選項即可．【詳解】解：設7個數(shù)中最小的數(shù)為x，則另外6個數(shù)分別為x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，由題意得，當時，解得，故選項A不合題意；當時，解得，故選項B不符合題意；當時，解得，故選項C符合題意；當時，解得，故選項D不合題意；故選：C【點睛】本題考查列代數(shù)式及一元一次方程的應用，用含最小數(shù)的代數(shù)式表示出7個數(shù)之和是解題的關鍵．變式3．（2022·北京四中模擬預測）“格子乘法”作為兩個數(shù)相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數(shù)學家帕喬利提出，在明代數(shù)學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算，將乘數(shù)46寫在方格上邊，乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，則______．【答案】6【分析】根據(jù)“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．【詳解】解：根據(jù)題意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k解得k=6故答案為：6．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，根據(jù)“格子乘法”分析圖示，列出方程是關鍵．考點7、和、差、倍、分問題【解題技巧】（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量－降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．例1．（2022·云南紅河·七年級期末）我國古代數(shù)學家著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一根繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．求繩索長多少尺？【答案】繩索長為20尺【分析】設繩索長尺，則竿長為尺，根據(jù)將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可．【詳解】解:設繩索長尺，則竿長為尺．根據(jù)題意可得，解得答：繩索長為20尺．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，理解題意，解設恰當未知數(shù)，找等量關系，列出方程是解題關鍵．例2．（2022·福建泉州·七年級階段練習）為了進一步落實“雙減”政策，學校積極開展社團活動，原國際象棋社團有學生64人，羽毛球社團有學生56人．在家鄉(xiāng)著名羽毛球運動員黃東萍獲得奧運冠軍后學校掀起一股羽毛球熱潮，有部分國際象棋社團學生轉(zhuǎn)入羽毛球社團，現(xiàn)在國際象棋社團人數(shù)是羽毛球社團人數(shù)的一半．問有多少名學生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團？【答案】有24名學生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團【分析】設有x名學生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團，根據(jù)“現(xiàn)在國際象棋社團人數(shù)是羽毛球社團人數(shù)的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．【詳解】解：設有x名學生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團，根據(jù)題意得：2(64-x)=56+x，解得x=24；答：有24名學生從國際象棋社團轉(zhuǎn)入羽毛球社團．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，準確利用數(shù)量關系列出一元一次方程是解題的關鍵．變式1．（2022·山東東營·中考真題）植樹節(jié)當天，七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，七年級2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的，則七年級2班植樹的棵數(shù)是（

）A．36 B．60 C．100 D．180【答案】C【分析】設這批樹苗一共有x棵，據(jù)七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，列出方程求解即可．【詳解】解：設這批樹苗一共有x棵，由題意得：，解得，∴七年級2班植樹的棵數(shù)是棵，故選C．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意列出方程是解題的關鍵．變式2．（2022·福建·泉州七年級期中）疫情無情人有情，愛心捐款傳真情．某校三個年級為疫情重災區(qū)捐款，經(jīng)統(tǒng)計，七年級捐款數(shù)占全校三個年級捐款總數(shù)的，八年級捐款數(shù)是全校三個年級捐款數(shù)的平均數(shù)，已知九年級捐款1916元，求其他兩個年級的捐款數(shù)若設七年級捐款數(shù)為x元，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)七年級的捐款為x元，可以求得三個年級的總的捐款數(shù)，然后即可得到八年級的捐款數(shù)，從而可以列出相應的方程，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，七年級捐款數(shù)為元，則三個年級的總的捐款數(shù)為：，故八年級的捐款為：，則，故選：A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．變式3．（2022·南昌市心遠中學七年級期末）《算法統(tǒng)宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游時，做出這樣-條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．求李白的酒壺中原有酒多少升．【答案】壺中原有升酒．【分析】設壺中原有x升酒，由在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；【詳解】設壺中原有x升酒，根據(jù)題意得，解得．答：壺中原有升酒．【點睛】此題考查一元一次方程的實際應用，正確理解題意，找到等量關系列出方程是解題的關鍵.A級（基礎過關）1．（2022·山東威?！て谀┪覈糯鷶?shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個有趣的數(shù)學問題：“今有五等諸侯，共分橘子60顆，人別加三顆，向五人各得幾何？”題目大意是：諸侯五人，共同分60個橘子，若后面的每個人總比他前一個人多分3個，問每個人各分得多少個橘子？若設中間的那個人分得x個橘子，依題意可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設中間的那個人分得x個橘子，然后根據(jù)題意分別表示出其他四個人的橘子數(shù)，最后根據(jù)橘子總數(shù)為60列出方程即可．【詳解】解：設中間的那個人分得x個橘子，由題意得，故選C．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找準等量關系式解題的關鍵．2．（2022·湖南婁底·七年級期中）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉(zhuǎn)奪冠！某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】設該班獲勝的場數(shù)為x場，則平場為（11-x）場，根據(jù)“開局11場保持不敗，積23分，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設該班獲勝的場數(shù)為x場，則平場為（11-x）場，根據(jù)題意得：，解得：x=6，答：該班獲勝的場數(shù)為6場．故選：C【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．3．（2022·杭州七年級期中）某輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求兩個碼頭之間的距離，我們可以設兩個碼頭之間的距離為xkm，得到方程（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用速度=路程÷時間結(jié)合船在靜水中的速度不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：，故選：B．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．4．（2022·四川德陽·七年級期末）保險公司的汽車保險，汽車修理費是按分段賠償，具體賠償細則如下表．某人在汽車修理后在保險公司得到的賠償金額是2000元，那么此人的汽車修理費是（

）元．汽車修理費x元賠償率0＜x≤50060%500＜x≤100070%1000＜x≤300080%……A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5【答案】B【分析】根據(jù)表可以首先確定此人的修理費應該大于1000元，并且小于3000元，則賠償率是80%，則若修理費是x元，則在保險公司得到的賠償金額是(x-1000)×0.8+300+350元，就可以列出方程，求出x的值．【詳解】解：∵500×60%＝300（元），（1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元），（3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元），且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000，∴此人的汽車修理費x的范圍是：1000＜x≤3000，可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000，解得x＝2687.5，∴此人的汽車修理費是2687.5元，故選：B．【點睛】解決問題的關鍵是讀懂題意，確定修理費的范圍，正確表示出賠償金額是解決本題的關鍵．5．（2022·陜西·西安七年級期末）古代名菩《算學啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里.駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？意思是：兩匹馬從同一地點出發(fā)，跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×150【答案】A【分析】設快馬天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程即可．【詳解】解：設快馬天可以追上慢馬，據(jù)題題意：，故選：A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．6．（2022·江蘇·七年級單元測試）一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以40km/h的速度前進，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進，行進15km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合．設6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經(jīng)過了xh，則x為（

）A．1.5 B．0.75 C． D．【答案】C【分析】整個運動過程可看成二者相對運動了15×2（km），根據(jù)路程＝速度×時間，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：50x＋40x＝15×2，即50x＋40x＝30，解得：x，故選：C．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．7．（2022·甘肅·七年級期末）某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件都以135元出售，若按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%，則在這次買賣中，他(

)A．不賺不賠 B．賠了12元 C．賠了18元 D．賺了18元【答案】C【分析】要知道賠賺，就要先算出兩件衣服的原價，要算出原價就要先設出未知數(shù)，然后根據(jù)題中的等量關系列方程求解．【詳解】設在這次買賣中第一件原價是x，則可列方程：（1+25%）x＝135，解得：x＝108，比較可知，第一件賺了27元；設第二件原價是，第二件可列方程：（1﹣25%）＝135，解得：＝180，比較可知虧了45元，兩件相比則一共虧了45﹣27＝18元．故選：C．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是明白盈利與虧本的含義，準確列出計算式，計算結(jié)果，難度一般．8．（2022·河南鄭州·七年級期末）某種商品每件的進價為80元，標價為120元．為了拓展銷路，商店準備打折銷售，若使利潤率為，設商店打x折銷售，則依題意得到的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用售價減去進價等于利潤即可得到方程．【詳解】解：根據(jù)題意可列一元一次方程：．故選：C．【點睛】本題主要考查列一元一次方程，理解題意是解題的關鍵．10．（2022·山東臨沂·七年級期末）如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個“十”字圈出5個數(shù)（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5個數(shù)的和為115，則這5個數(shù)中的最小數(shù)為_________．【答案】16【析】設第二行中間數(shù)為x，則其他四個數(shù)分別為x-7，x-1，x+1，x+7，根據(jù)最大數(shù)與最小數(shù)的和為115列出x的一元一次方程，求出x的值，進而求得最小的數(shù)．【詳解】解：設第二行中間數(shù)為x，則其他四個數(shù)分別為x-7，x-1，x+1，x+7，根據(jù)題意：則x-7+x-1+x+x+1+x+7=115，解得x=23，即圈出5個數(shù)分別為16，22，23，24，30，所以最小數(shù)是16．故答案是：16．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是設第二行中間數(shù)為x，用x表示出其他四個數(shù)，此題難度不大．10．（2022·山東青島·七年級期中）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大1，若將個位與十位上的數(shù)字對調(diào)，得到的新數(shù)比原數(shù)大9，設個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，根據(jù)題意，可列方程為：______．【答案】或【分析】列代數(shù)式寫出原數(shù)和新數(shù)，通過新數(shù)比原數(shù)大9列方程即可．【詳解】解：①∵十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大1，∴，②∵對調(diào)前個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，∴原數(shù)為：，∵對調(diào)后個位上的數(shù)字為y，十位上的數(shù)字為x，∴新數(shù)為：，∵新數(shù)比原數(shù)大9，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查列方程，正確寫出原數(shù)和新數(shù)的代數(shù)式是解題的關鍵．11．（2022·云南文山·七年級期末）整理一批圖書，如果由一個人單獨做要花40小時．現(xiàn)先由一部分人用1小時整理，隨后增加5人和他們一起又做了2小時，恰好完成整理工作．假設每個人的工作效率相同，那么先安排整理的人員有多少人？【答案】10【分析】等量關系為：所求人數(shù)1小時的工作量+所有人2小時的工作量=1，把相關數(shù)值代入即可求解．【詳解】設先安排整理的人員有x人，依題意得，,解得：，答：先安排整理的人員有10人．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．此題用到的公式是：單人工作效率×工作時間×人數(shù)=工作量．12．（2022·內(nèi)蒙古烏蘭浩特·初一期中）有一批共享單車需要維修，維修后繼續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做維修，甲每天維修16輛，乙每天維修的車輛比甲多8輛，甲單獨維修完成這批共享單車比乙單獨維修完多用20天，公司每天付甲80元維修費，付乙120元維修費．（1）問需要維修的這批共享單車共有多少輛？（2）在維修過程中，公司要派一名人員進行質(zhì)量監(jiān)督，公司負擔他每天10元補助費，現(xiàn)有三種維修方案：①由甲單獨維修；②由乙單獨維修；③甲、乙合作同時維修，你認為哪種方案最省錢，為什么？【答案】（1）960輛；（2）方案三最省錢，理由見詳解.【分析】（1）通過理解題意可知本題的等量關系，即甲乙單獨修完共享單車的數(shù)量相同，列方程求解即可；（2）分別計算，通過比較選擇最省錢的方案．【解析】解：（1）設乙單獨做需要x天完成，則甲單獨做需要（x+20）天，由題意可得：16（x+20）=（16+8）x，解得：x=40，總數(shù)：（16+8）×40=960（輛），∴這批共享單車一共有960輛；（2）方案一：甲單獨完成：60×80+60×10=5400（元），方案二：乙單獨完成：40×120+40×10=5200（元），方案三：甲、乙合作完成：960÷（16+24）=24（天），則一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元），∵，∴方案三最省錢．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．13．（2021·全國·五年級期末）上午8點零8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上他的時候，離家恰好是8千米，問這時是幾點幾分？【答案】8點32分【分析】小明爸爸在追小明，但是小明一直在走，由題得，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，設他爸爸用x分鐘第一次追上小明走了4千米；第二次追上小明時，他爸爸又用了3x分鐘，共走了（4＋8）千米；對小明來說，（8＋x）分鐘走了4千米，然后他爸爸回家后又回來追上他，小明和他爸爸用的時間相同都是3x分鐘，小明走的路程是8千米－4千米．根據(jù)小明的速度一定，由公式路程＝速度×時間變形列式求解?！驹斀狻拷猓涸O他爸爸用x分鐘第一次追上小明走了4千米，因為小明的速度一定，所以，路程和時間成正比例，即：4÷（8＋x）＝（8－4）÷3x8＋x＝3x2x＝8x＝4小明共走的時間為：8＋x＋3x＝8＋4x＝8＋4×4＝8＋16＝24（分鐘）這時是：8時8分＋24分＝8時32分答：這時是8時32分?！军c睛】此題考查了追及問題，解答此題關鍵是當速度一定，所以，路程和時間成正比例。14．（2022·全國·六年級）早上水缸注滿了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。問早上注入多少升水？【答案】115升【分析】可用列方程的方法，利用的等量關系為：最后剩下的水比半水缸多1升。設早上注入x升水，白天用去其中的20%后還剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后還剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后還剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）?！驹斀狻拷猓涸O早上注入x升水。[（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1[0.8x－27]×0.9－0.5x＝10.72x－27×0.9－0.5x＝10.72x－24.3－0.5x＝10.72x－0.5x＝25.30.22x＝25.3x＝115答：早上注入115升水?！军c睛】找出等量關系式是列出方程的關鍵。15．（2022·全國·六年級競賽）甲、乙二人原有錢數(shù)相同，存入銀行，第一年的利息為4%，存入一年后利息降至2%，甲將本錢和利息繼續(xù)存入銀行，而乙將一半本錢投資股市及房地產(chǎn)，獲利20%，一年后，甲比乙賺到的錢的一半還少144元，則甲原來有多少元？【答案】10000元【分析】本題為利息問題，本金×（1＋利息×期數(shù)）＝本息【詳解】詳解過程：設甲和乙原有錢數(shù)都是x．甲在銀行存了兩年，第一年利息為4%，錢變成了x（1+4%），接著再存了一年，第二年利息是2%，本息和為x（1+4%）（1+2%），兩年賺的錢為：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x；乙先將所有的錢在銀行存了一年，本息和為x（1+4%），第二年將一半本息接著存入銀行，一半本錢投入股市，存入銀行的一年后本息和為x（1+4%）（1+2%），投入股市的錢一年后收入為x（1+20%），乙兩年賺的錢為：x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x．已知甲賺的比乙的一半還少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504x，解得x=10000元．答：甲原來有10000元．【點睛】本題考察的是利息問題和利潤問題的綜合求解．在計算本息和時最好寫成x（1+4%），這樣后面的也可以直接寫為x（1+4%）（1+2%）了，比較簡單明了方便計算．推而廣之，在計算所有增加或者減少分率時都可以這樣處理，一般公式為單位“1”×（1±增加或減少分率）．B級（能力提升）1．（2022·浙江臺州·七年級期末）在編寫數(shù)學謎題時，“”內(nèi)要求填寫同一個數(shù)字，若“”內(nèi)數(shù)字為，則列出方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)十位數(shù)的表示方法表示，進而得出方程．【詳解】解：設“”內(nèi)數(shù)字為則故選：D．【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際問題，正確表示出十位數(shù)是解決本題的關鍵．2．（2022·四川內(nèi)江·）2020年12月30日，連云港市圖書館新館正式開館．小明同學從家步行去圖書館，他以的速度行進后，爸爸騎自行車以的速度按原路追趕小明．設爸爸出發(fā)后與小明會合，那么所列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設爸爸出發(fā)后與小明會合，則此時小明出發(fā)了h，利用路程=速度×時間，結(jié)合會合時兩人行走（或騎行）的路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，即可．【詳解】解：設爸爸出發(fā)后與小明會合，則此時小明出發(fā)了h，依據(jù)題意得：，故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題關鍵．3．（2022·陜西·西安七年級期末）甲、乙兩人分別從相距2000米的A，B兩地步行出發(fā)相向而行，兩人速度保持不變，若兩人同時出發(fā)，則他們10分鐘之后相遇；若乙比甲先出發(fā)4分鐘，則甲出發(fā)8分鐘之后，甲乙兩人相遇，則甲的速度為（

）A．70米/分鐘 B．80米/分鐘 C．90米/分鐘 D．100米/分鐘【答案】D【分析】根據(jù)題意可算出甲、乙兩人的速度之和，設甲的速度為米分，可表達出乙的速度，根據(jù)題意可列出方程，從而求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，甲、乙兩人的速度之和為（米分），設甲的速度為米分，則乙的速度為米分，根據(jù)題意可知，，解得．故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程的應用行程問題，解題的關鍵是根據(jù)相遇問題得出甲、乙的速度和．4．（2022·福建福州·七年級期末）姚明在一次“NBA”比賽（美國籃球聯(lián)賽）中，22投14中得28分，除了3個三分球全部投中外，他還投中了______________個兩分球和______________個罰球（一分球）．【答案】

8

3【分析】首先要了解投籃知識，尤其是罰球時每個一分，然后設投中2分球個，那么罰球個，再根據(jù)得28分就可以列出方程，然后解方程即可．【詳解】解：設投中2分球個，那么罰球個，依題意，得：，解得：，∴．∴他還投中了8個兩分球和3個罰球．故答案為：8；3．【點睛】本題考查了一元一次方程組的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，了解投籃知識，再根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程再求解．5．（2022·湖北恩施·七年級期末）某城市出租車收費標準如下：3下米以內(nèi)（含3千米）收費5元，超過3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米計算）．(1)若乘坐出租車行駛千米（為整數(shù)），完成下列表格．行駛里程（千米）應付車費（元）(2)周末小華的爺爺準備乘坐出租車到12千米外小華的姑姑家去，但他只有20元錢，爺爺能夠全程乘坐出租車嗎？如果能夠，他要付多少元車費？如果不能，他至少還要步行幾千米？【答案】(1)見解析(2)爺爺至少還要步行2千米【分析】（1）根據(jù)3下米以內(nèi)（含3千米）收費5元，超過3千米的部分每千米加收2元，分段列式計算；（2）根據(jù)當時，，得到爺爺不能夠全程乘坐出租車，根據(jù)，為整數(shù)，得到，爺爺至少還要步行2千米．(1)行駛里程（千米）應付車費（元）5或(2)解：當時，，所以，爺爺不能夠全程乘坐出租車．，則，因為為整數(shù)，所以，所以爺爺至少還要步行2千米．【點睛】本題主要考查了分段計費，解決問題的關鍵是熟練掌握每段路程中車費與路程的關系列式計算，進行判斷．6．（2022·湖北房縣·初一期末）“十房”天然氣正在緊張施工中，從2018年1月1日起居民生活用氣階梯價格制度將正式實施，一般生活用氣收費標準如下表所示，比如6口以下的戶年天然氣用量在第二檔時，其中350立方米按2.28元/m3收費，超過350立方米的部分按2.5元/m3收費．小冬一家有五口人，他想幫父母計算一下實行階梯價后，家里天然氣費的支出情況．（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然氣，那么需要交多少元天然氣費？（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然氣，那么需要交多少元天然氣費？（3）如果他家2018年需要交1563元天然氣費，他家2018年用了多少立方米天然氣？【答案】（1）684；（2）1173；（3）600【分析】（1）根據(jù)一般生活用氣收費標準，可得小冬一家需要交天然氣費2.28×300，計算即可；（2）根據(jù)一般生活用氣收費標準，可得小冬一家需要交天然氣費2.28×350＋2.5×（500?350），計算即可；（3）設小冬家2018年用了x立方米天然氣．首先判斷出小冬家2018年所用天然氣超過了500立方米，然后根據(jù)他家2018年需要交1563元天然氣費建立方程，求解即可．【解析】（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然氣，那么需要交天然氣費2.28×300＝684（元）；（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然氣，那么需要交天然氣費2.28×350＋2.5×（500?350）＝798＋375＝1173（元）；（3）設小冬家2018年用了x立方米天然氣．∵1563＞1173，∴小冬家2018年所用天然氣超過了500立方米．根據(jù)題意得2.28×350＋2.5×（500?350）＋3.9（x?500）＝1563，解得x＝600．答：小冬家2018年用了600立方米天然氣．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．7．（2022·重慶七年級課時練習）某中學的社團活動深受學生和家長的歡迎，社團種類多達十幾種，極大地豐富了學生的業(yè)余文化生活．其中初一書法社團中女生占全社團人數(shù)的，又有10名女生申請加入，那么女生就占全社團人數(shù)的，求現(xiàn)在初一書法社團的人數(shù)．【答案】100人【分析】設原有女生x人,原來初一書法社團人數(shù)為3x人，利用10名女生申請加入后，女生就占全社團人數(shù)的的等量關系列出方程運算即可．【詳解】解：設原有女生x人，則原來初一書法社團人數(shù)為3x人，根據(jù)題意得：，解得，則．答：現(xiàn)在初一書法社團的人數(shù)有100人．【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，仔細審題從中獲取相關等量關系列出方程是解題的關鍵．8．（2022·河南信陽·七年級期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目．某公司計劃建設一座光伏發(fā)