河北省衡水中學2022-2023學年高一上學期期中數學試題（含解析）2022-2023學年度高一年級上學期期中考試數學學科第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知集合，則()A. B. C. D.2.下列函數中，與是同一個函數的是()A. B.C. D.3.命題“有實數解”的否定是()A.無實數解 B.有實數解C.有實數解 D.無實數解4.已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖像是如圖所示的曲線，則的值為()x123230A.3 B.0 C.1 D.25.已知定義域為，則定義域為()A. B. C. D.6.下列說法正確的是()A.不等式的解集為B.若，則函數的最小值為2C.若實數，，滿足，則D.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是7.因為疫情原因，某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準進校園，某學生早上上學，早上他騎自行車從家里出發(fā)離開家不久，發(fā)現出入證忘在家里了，于是回到家取上出入證，然后改為乘坐出租車以更快速度趕往學校，令x(單位：分鐘)表示離開家的時間，y(單位：千米)表示離開家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()A. B.C. D.8.已知函數，若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是()A. B.C. D.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.設函數，當為增函數時，實數的值可能是()A.2 B. C. D.110.某校學習興趣小組通過研究發(fā)現：形如(，不同時為0)的函數圖象可以由反比例函數的圖象經過平移變換而得到，則對函數的圖象及性質，下列表述正確的是()A.圖象上點的縱坐標不可能為1B.圖象關于點成中心對稱C.圖象與x軸無交點D.函數在區(qū)間上單調遞減11.已知，是正數，且，下列敘述正確的是()A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為12.德國著名數學家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在數學領域成就顯著.19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪函數”其中為實數集，為有理數集．則關于函數有如下四個命題，正確的為()A.對任意，都有B.對任意，都存在，C.若，，則有D.存在三個點，，，使等腰直角三角形第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.“”是“”的__________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)14.已知，若函數在上隨增大而減小，且圖像關于軸對稱，則_______15.函數在區(qū)間上有，則___________.16.已知函數為定義在上的奇函數，滿足對，，其中，都有，且，則不等式的解集為________(寫成集合或區(qū)間的形式)四、解答題：(本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知函數的定義域為A，集合.(1)當時，求；(2)若，求a的取值范圍.18.已知冪函數(實數)的圖像關于軸對稱，且.(1)求的值及函數的解析式；(2)若，求實數的取值范圍.19.已知函數.(1)若函數定義域為R，求a的取值范圍；(2)若函數值域為，求a取值范圍.20.已知函數是定義在上的偶函數，當時，是一個二次函數的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數，，求的最大值．21.某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當中()的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為50分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：(1)當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式；并求出的最小值.22.設函數的定義域是，且對任意的正實數、都有恒成立，已知，且時，(1)求與的值(2)求證：函數在上單調遞增(3)解不等式

2022-2023學年度高一年級上學期期中考試數學學科第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意求出集合的交集即可.【詳解】由題意，所以，故選：A.【點睛】本題主要考查集合的交并補運算，屬于簡單題.2.下列函數中，與是同一個函數的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數的概念，結合函數的定義域與對應法則，逐項分析即得.【詳解】對于A，函數，與函數的定義域不同，不是同一個函數；對于B，函數，與函數的定義域相同，對應關系也相同，是同一個函數；對于C，函數，與函數的對應關系不同，不是同一個函數；對于D，函數，與函數的定義域不同，不是同一個函數.故選：B.3.命題“有實數解”的否定是()A.無實數解 B.有實數解C.有實數解 D.無實數解【答案】D【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可求解.【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“有實數解”的否定是“無實數解”．故選:D．4.已知函數的對應關系如下表所示，函數的圖像是如圖所示的曲線，則的值為()x123230A.3 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據題意，由的圖像求出，再由求解即可.【詳解】根據題意，由函數的圖像，可得，則故選：A．5.已知定義域為，則的定義域為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復合函數的定義域求解規(guī)則求解即可.【詳解】解：因為定義域為，所以函數的定義域為，所以，的定義域為需滿足，解得.所以，的定義域為.故選：A6.下列說法正確的是()A.不等式的解集為B.若，則函數的最小值為2C.若實數，，滿足，則D.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】C【解析】【分析】求出不等式的解集判斷A；由基本不等式等號成立的條件以及函數的單調性可判斷B；利用不等式的性質可判斷C；舉反例判斷D．【詳解】對于A，不等式的解集為或，故A不正確；對于B，令，則函數,當且僅當時取等號，此時無解，故取不到最小值2，所以函數的最小值不可能是2，故B錯誤，對于C，若，則，故C正確；對于D，當時，時，不等式恒成立，故D不正確．故選：C7.因為疫情原因，某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準進校園，某學生早上上學，早上他騎自行車從家里出發(fā)離開家不久，發(fā)現出入證忘在家里了，于是回到家取上出入證，然后改為乘坐出租車以更快的速度趕往學校，令x(單位：分鐘)表示離開家的時間，y(單位：千米)表示離開家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據它離家的距離與離開的速度判斷．【詳解】中途回家取證件，因此中間有零點，排除AB，第二次離開家速度更大，直線的斜率更大，只有C滿足．故選：C．8.已知函數，若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由解析式得到在上單調遞增，由于，結合可得到在，恒成立，即可得到答案．【詳解】，因為在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，且，所以，所以，即在，恒成立，所以，即，解得，所以實數的取值范圍是故選：B二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.設函數，當為增函數時，實數的值可能是()A.2 B. C. D.1【答案】CD【解析】【分析】由題知，且，進而解不等式即可得,再結合選項即可得答案.【詳解】解：當時，為增函數，則，當時，為增函數，故為增函數，則，且，解得，所以，實數的值可能是內的任意實數.故選：CD.10.某校學習興趣小組通過研究發(fā)現：形如(，不同時為0)的函數圖象可以由反比例函數的圖象經過平移變換而得到，則對函數的圖象及性質，下列表述正確的是()A.圖象上點的縱坐標不可能為1B.圖象關于點成中心對稱C.圖象與x軸無交點D.函數在區(qū)間上單調遞減【答案】ABD【解析】【分析】化簡得到，結合反比例函數的性質可得到結果.【詳解】，則函數的圖象可由的圖象先向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，∴圖象上點的縱坐標不可能為1，A正確；圖象關于點成中心對稱，B正確；圖象與軸的交點為，C不正確；函數在區(qū)間上單調遞減,D正確..故選：ABD．11.已知，是正數，且，下列敘述正確的是()A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】【詳解】因為是正數，且，所以不等式可知，即，得，當且僅當，即取得等號，所以的最大值為，所以A正確;因為是正數，且，所以，且，所以，當時有最小值為，所以B正確;由以上知，且，所以，因為，即，當且僅當即時取等號，因為所以等號不成立，即，所以C錯誤;因為，當且僅當，即，解得時等號成立，即，所以的最小值為，所以D正確.故選:ABD.12.德國著名數學家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在數學領域成就顯著.19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數”其中為實數集，為有理數集．則關于函數有如下四個命題，正確的為()A.對任意，都有B.對任意，都存在，C.若，，則有D.存在三個點，，，使為等腰直角三角形【答案】BC【解析】【分析】根據函數的定義以及解析式，逐項判斷即可．【詳解】解：對于A選項，當，則，此時，故A選項錯誤；對于B選項，當任意時，存，則，故；當任意時，存在，則，故，故對任意，都存在，成立，故B選項正確；對于C選項，根據題意得函數的值域為，當，時，，故C選項正確；對于D選項，要為等腰直角三角形，只可能為如下四種情況：①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標為無理數，則中點的橫坐標仍然為無理數，那么點的橫坐標也為無理數，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標為無理數，則點的橫坐標也應為無理數，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標為有理數，則中點的橫坐標仍然為有理數，那么點的橫坐標也應為有理數，這與點的縱坐標為0矛盾，故不成立；④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標為無理數，則點的橫坐標也應為無理數，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D錯誤．故選：BC.【點睛】本題考查函數的新定義問題，考查數學推理與運算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D選項解題的關鍵是根據題意分直角頂點在上，斜邊在軸上；直角頂點在上，斜邊不在軸上；直角頂點在軸上，斜邊在上；直角頂點在軸上，斜邊不在上四種情況討論求解.第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.“”是“”的__________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；詳解】解：由，即，解得，因為，所以由推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立；所以“”是“”充分不必要條件；故答案為：充分不必要14.已知，若函數在上隨增大而減小，且圖像關于軸對稱，則_______【答案】【解析】【分析】利用冪函數的單調性、奇偶性與參數之間的關系可得出的值.【詳解】若函數在上遞減，則.當時，函數為偶函數，合乎題意；當時，函數為奇函數，不合乎題意.綜上所述，.故答案為：.15.函數在區(qū)間上有，則___________.【答案】【解析】【分析】令，由奇偶性定義可知為奇函數，由可構造方程求得結果.【詳解】令，，為定義在上的奇函數，又，，.故答案為：.16.已知函數為定義在上的奇函數，滿足對，，其中，都有，且，則不等式的解集為________(寫成集合或區(qū)間的形式)【答案】【解析】【分析】根據題意構造，判定函數的單調性和奇偶性，利用賦值法得到，再通過單調性和奇偶性求得不等式的解集.【詳解】解：因為，所以當時，，令，則在上單調遞增，又因為為定義在R上的奇函數,所以，所以是偶函數，且在上單調遞減，因為，所以，等價于或，所以或，即不等式的解集為.故答案：.四、解答題：(本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知函數的定義域為A，集合.(1)當時，求；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)求出定義域，得到，進而計算出及；(2)分與，列出不等式，求出a的取值范圍.【小問1詳解】要使函數有意義，則，解得：，所以集合.，∴，∴或，∴或；【小問2詳解】，①當時，，即，滿足題意；②當時，由，得，解得：，綜上所述：a的取值范圍為.18.已知冪函數(實數)的圖像關于軸對稱，且.(1)求的值及函數的解析式；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)由，得到，從而得到，又由，得出的值和冪函數的解析式；(2)由已知得到且，由此即可求解實數的取值范圍.【詳解】(1)由題意，函數(實數)的圖像關于軸對稱，且，所以在區(qū)間為單調遞減函數，所以，解得，又由，且函數(實數)的圖像關于軸對稱，所以為偶數，所以，所以.(2)因為函數圖象關于軸對稱，且在區(qū)間為單調遞減函數，所以不等式，等價于且，解得或，所以實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了冪函數的解析式的求解，以及冪函數的圖象與性質的應用，其中解答中認真審題，熟練應用冪函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19.已知函數.(1)若函數定義域為R，求a的取值范圍；(2)若函數值域為，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據二次根式的性質進行求解即可；(2)根據函數值域的性質進行求解即可.【小問1詳解】因為函數定義域為R，所以在R上恒成立，當時，，不符合題意；當時，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，只需，所以a的取值范圍為；【小問2詳解】當時，，符合題意；當時，要想函數值域為，只需，綜上所述：a的取值范圍為.20.已知函數是定義在上的偶函數，當時，是一個二次函數的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數，，求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)采用待定系數法，結合圖象可求得在時的解析式；由時，可求得；由此可得分段函數解析式；(2)首先確定解析式，分別在、和的情況下，根據單調性得到最大值.【小問1詳解】當時，結合圖象可設：，，，；當時，，，又為偶函數，；綜上所述：.【小問2詳解】當時，，則開口方向向下，對稱軸為；①當，即時，在上單調遞減，；②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，；③