1玻色統(tǒng)計(jì)應(yīng)用-固體的內(nèi)能及熱容量

2一、聲子德拜(Debye)于1912年在愛因斯坦的工作基礎(chǔ)上完成了他的定量理論。固體中的振動(dòng)與它內(nèi)部的聲波對(duì)應(yīng)，振動(dòng)的頻率不是一個(gè)固定的常數(shù)，與波長(zhǎng)有關(guān)，且隨波長(zhǎng)有一個(gè)分布。仿熱輻射的解決辦法，把固體中的聲波也量子化-聲子。振動(dòng)對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)變成聲子氣體的熱容量的問題。3固體可看作連續(xù)的彈性媒質(zhì)，3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)是彈性媒質(zhì)的基本波動(dòng)，聲子的總自由度數(shù)是3N,滿足最大的圓頻率D—德拜頻率。理論上，固體中的任意彈性波都可以分解為3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的疊加，彈性波有縱波和橫波兩種形式?？v波是膨脹壓縮波，橫波是扭轉(zhuǎn)波。4

對(duì)一定的波矢，其縱波有一種振動(dòng)方式，即在傳播方向上的振動(dòng)；橫波有兩種振動(dòng)方式，在垂直于傳播方向的兩個(gè)相互垂直的方向上振動(dòng)。用波矢和偏振標(biāo)志3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)，vL、vT分別表示縱波和橫波的傳播速度(vL>vT)，它們的圓頻率滿足的關(guān)系仿光子在

到

+d

的圓頻率范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)，得簡(jiǎn)正振動(dòng)數(shù)5

二、縱波聲子和橫波聲子將簡(jiǎn)正振動(dòng)的能量量子看作是一種準(zhǔn)粒子，即聲子。聲子是玻色子，它的數(shù)目不守恒。從粒子的觀點(diǎn)討論固體中原子的熱運(yùn)動(dòng)。給定聲波波矢k

，則具有某一偏振的簡(jiǎn)正振動(dòng)的能量表達(dá)式為得縱波聲子和橫波聲子的能量和動(dòng)量關(guān)系6

具有某一波矢和偏振的簡(jiǎn)正振動(dòng)處在量子數(shù)為n的激發(fā)態(tài)，則相當(dāng)于產(chǎn)生了具有某一準(zhǔn)動(dòng)量和偏振的n個(gè)聲子。不同的簡(jiǎn)正振動(dòng)，具有不同的波矢和偏振，對(duì)應(yīng)不同的聲子。簡(jiǎn)正振動(dòng)的量子數(shù)可取零或任意正整數(shù)，處在某狀態(tài)的聲子數(shù)遵從玻色分布。微觀看平衡態(tài)下的各簡(jiǎn)正振動(dòng)的能量不斷變化，相當(dāng)于各狀態(tài)的聲子不斷被產(chǎn)生和消滅，因此聲子數(shù)不守恒。平衡態(tài)下聲子氣體的化學(xué)勢(shì)為零。7聲子氣體對(duì)應(yīng)的分布表達(dá)式由上式得溫度為T時(shí)處在能量為的一個(gè)狀態(tài)上平均聲子數(shù)為

在

到

+d

的圓頻率范圍內(nèi)可能的聲子數(shù)8三、內(nèi)能和熱容量固體在

到

+d

的圓頻率范圍內(nèi)的內(nèi)能引入變量及9

D稱德拜溫度，是物質(zhì)的特征參數(shù)。可由熱容量的數(shù)據(jù)定出，也可由彈性波在固體中的傳播速度推算。德拜函數(shù)固體內(nèi)能1.高溫下，x<<1，ey-1y10與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)相同結(jié)果。2.低溫下，x>>1，x

著名的德拜T3律。11(1)對(duì)非金屬固體，德拜T3律與實(shí)驗(yàn)符合的好。(2)對(duì)金屬在3K以上也與實(shí)驗(yàn)符合的好，在3K以下符合的不好是因?yàn)槟Ｐ椭袥]有考慮自由電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)。(3)內(nèi)能中沒有考慮所有原子都位于平衡位置時(shí)原子間的相互作用能Uo，但它們對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)。(4)對(duì)原子間存在很強(qiáng)相互作用的真實(shí)體系，系統(tǒng)的能量不能表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。但如果將原子的3N個(gè)振子自由度變換為3N個(gè)近獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，問題就容易了。進(jìn)一步將簡(jiǎn)正振動(dòng)的激發(fā)量子看成“準(zhǔn)粒子”—聲子，復(fù)雜的相互作用原子系統(tǒng)簡(jiǎn)化為“準(zhǔn)粒子”的“理想氣體”。幾點(diǎn)說明：121.配分函數(shù)定義式、特性、物理意義及熱力學(xué)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（廣義力、內(nèi)能、熵），應(yīng)用實(shí)例6.2.2、6.2.3。2.了解麥克斯韋速度、速率分布函數(shù)的表達(dá)式，會(huì)求最可幾速率、平均速率和方均根速率。3.能量均分定理及*應(yīng)用（已知能量表達(dá)式，計(jì)算平均能量）4.雙原子分子能量表達(dá)式的各項(xiàng)意義，會(huì)求雙原子分子理想氣體平動(dòng)配分、振動(dòng)配分函數(shù)，并由此求內(nèi)能、熱容量。

5.了解愛因斯坦模型；掌握玻爾茲曼關(guān)系。131.熱力學(xué)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（廣義力、內(nèi)能、熵。2.會(huì)求體積V內(nèi)，

-+d的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)。3.會(huì)求溫度T→0下費(fèi)