拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)TOC\o"13"\h\z\u題型1拋物線的定義及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 2◆類型1定義法 2◆類型2定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用 8題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 10◆類型1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 10◆類型2準(zhǔn)線方程 14◆類型3焦點(diǎn)坐標(biāo) 17◆類型4與“p”相關(guān)的考點(diǎn) 18題型3焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題 23◆類型1利用|AB|=x1+x2+P=2psin2α(α是直線的傾斜角)解決問(wèn)題 ◆類型2利用1|AF|+1|BF|=2p為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))解決問(wèn)題 26◆類型3焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 28題型4周長(zhǎng)問(wèn)題 29題型5面積問(wèn)題 33題型6最值問(wèn)題 37◆類型1定義轉(zhuǎn)換法 37◆類型2平移直線法 43◆類型3函數(shù)法 45題型7直線與拋物線的位置關(guān)系 50◆類型1直線與拋物線的位置關(guān)系 51◆類型2弦長(zhǎng)問(wèn)題 56◆類型3求直線方程 61題型8中點(diǎn)弦問(wèn)題 69題型9解答題 74題型10實(shí)際應(yīng)用 85知識(shí)點(diǎn)一．拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：1.定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語(yǔ)言表示為：P＝{M||MF|＝d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M點(diǎn)；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)二.拋物線的幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開(kāi)口方向向右向左向上向下題型1拋物線的定義及其簡(jiǎn)單應(yīng)用◆類型1定義法【例題11】（2023春·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分定點(diǎn)不在定直線上和定點(diǎn)在定直線上，兩種情況分類討論，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【分析】由題意，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，可得該動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線距離相等，當(dāng)定點(diǎn)不在定直線上時(shí)，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)且垂直于定直線的直線.故選C．【變式11】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)3,0的距離和它到直線x=-3的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義確定軌跡作答.【詳解】動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)3,0的距離和它到直線x=-3的距離相等，而點(diǎn)3,0不在直線x=-3，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)3,0到直線x=-3的垂線段中點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線.故選：B【變式11】2.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)M(2,2)，直線l:x-y-1=0，若動(dòng)點(diǎn)P到l的距離等于PM，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【答案】C【分析】由拋物線的定義求解即可.【詳解】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線.故選：C【變式11】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足方程5A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由5(x-1)2+等式左邊表示點(diǎn)x,y和點(diǎn)1,2的距離，等式的右邊表示點(diǎn)x,y到直線3x+4y+12=0的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)x,y到點(diǎn)1,2的距離和到直線3x+4y+12=0的距離相等，且點(diǎn)1,2不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，A，B為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓A的切線l，當(dāng)rr≥12AB變化時(shí)，A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合找出公共點(diǎn)M到點(diǎn)B與到直線m距離相等，符合拋物線定義，所以由定義可得到軌跡為拋物線.【詳解】由題意畫(huà)圖如下：設(shè)切線l與圓B的一個(gè)公共點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)A作直線AB的垂線m，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥m，垂足為N，連接MB，則MB=r，MN=PA=r，所以MB=MN，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)B的距離等于動(dòng)點(diǎn)M到定直線m的距離，且定點(diǎn)B不在定直線m上，根據(jù)拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以B為焦點(diǎn)，m為準(zhǔn)線的拋物線．故選：D．【變式11】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斜線段AB與平面α所成的角為15°，平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=15°，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支【答案】C【分析】根據(jù)圓錐曲線的幾何定義：軸截面頂角為30°的圓錐體，將一個(gè)平行于母線的平面截圓錐在錐體側(cè)面所成軌跡即為P的軌跡，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合即可確定軌跡的形狀．【詳解】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓錐高成15°故選C．【變式11】6.（2021秋·黑龍江雞西·高二雞西市第一中學(xué)校校考期中）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為側(cè)面ABBA．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離等于點(diǎn)【詳解】解：正方體ABCD-A1B1C1D1中BC⊥平面AB∵平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，∴∵點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離與到直線BC的距離相等，∴MB等于點(diǎn)根據(jù)拋物線的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】7.（2021秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．直線【答案】B【分析】作PQ⊥AD，QR⊥A1D1，PR即為點(diǎn)P到直線A1D1的距離，由勾股定理得PR2-PQ2=R【詳解】解：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C則PQ⊥平面ADD1A1，過(guò)Q作QR⊥A則PR為點(diǎn)P到直線A1由題意得PR由已知得PR所以PQ=PM，即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離，所以根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，求點(diǎn)的軌跡方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題◆類型2定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例題12】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀┤魭佄锞€x2=8y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（

）A．±43 B．±6 C．6【答案】D【分析】設(shè)出P的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準(zhǔn)線方程為y=-2，P點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y0，則y0+2=9故選：D【變式12】1.（2021春·安徽宣城·高二安徽省宣城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)拋物線y2=x焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若AB=4，則弦ABA．74 B．94【答案】B【詳解】如圖所示，過(guò)弦中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線MM'，做直線x+12=0過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線AA',BB'，由梯形中位線的性質(zhì)結(jié)合拋物線的定義可得：MM'=AA'+BB'則弦AB的中點(diǎn)到直線x+12=0本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題【變式12】2.（2023春·四川瀘州·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，Ax0,【答案】2【分析】由拋物線方程求得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義列出關(guān)于x0【詳解】由拋物線C：y2=2x可得p＝1，p2因?yàn)锳x0,y0是C上一點(diǎn)，AF=54故答案為：2.【變式12】3.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若拋物線y2【答案】2【分析】利用拋物線的定義，將拋物線上點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再轉(zhuǎn)化為與x軸的距離即可求.【詳解】由拋物線方程y2=2x可知，設(shè)點(diǎn)Ax1,由拋物線的定義知點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，即AF=同理BF=故AF+BF=x1故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2．故答案為：2.題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)【方法總結(jié)】1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法①先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置；②再定形：即根據(jù)條件求p.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；②要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算．◆類型1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題21】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y=4；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)-3,2；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)A3,m【答案】(1)x(2)x2=(3)y(4)y【分析】根據(jù)題意可確定拋物線焦點(diǎn)的位置，繼而求出焦準(zhǔn)距p，即可得答案.【詳解】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y=4，可知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且p2故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)-3,2，則拋物線焦點(diǎn)可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)或分別將-3,2代入，求得p=9故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=9（3）由于直線3x-4y-12=0與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，由題意可知拋物線焦點(diǎn)為(4,0)，則p2故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（4）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)A3,m則設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，焦點(diǎn)為(p故3-(-p故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2【變式21】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y2A．y2=x B．y2=2x【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義求解．【詳解】由題意拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與它到直線x=-1的距離相，因此-p2=-1故選：C．【變式21】2.（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=axA．x2=1C．x2=-【答案】BD【分析】分類討論求出拋物線準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到準(zhǔn)線距離求出a得解.【詳解】拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程為y=-1則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3+14a=6因此，拋物線方程為y=112x當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，準(zhǔn)線方程為y=-1則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3+1解得a=-1因此，拋物線方程為y=-136x故選：BD【變式21】3.（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谥校╇p曲線x210-【答案】y【分析】由雙曲線的方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程，再由題意可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程．【詳解】由雙曲線x210-y2所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為±4，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-p由題意可得-p2=-4所以拋物線的方程為：y2故答案為：y2【變式21】4.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P1,y0在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q【答案】6【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出MF,【詳解】如圖，不妨令P在x軸上方，準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在C上，根據(jù)拋物線定義可得且∠FPQ=120°，則∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ為等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距離為6.故答案為：6【變式21】5.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線y2=mx(m>0)的準(zhǔn)線與圓【答案】x=-【分析】先根據(jù)圓的方程求得圓心為2,0，半徑為3，再根據(jù)拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為x=-m【詳解】由x2+y2-4x-5=0y2=mx(m>0)的準(zhǔn)線方程為由題意可得2+m4=3所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-◆類型2準(zhǔn)線方程【例題22】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，若直線l過(guò)點(diǎn)P1,0A．y=-3 B．y=【答案】D【分析】設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)出A,B坐標(biāo)，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長(zhǎng)列出方程，求出答案.【詳解】因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)F0,p2,P1,0由y=-p2x-1設(shè)Ax1,因?yàn)锳B=p整理得p3+4p-16=p-2所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是y=-p故選：D.【變式22】1.（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考期末）已知拋物線y2=2pxp>0的準(zhǔn)線為l，且點(diǎn)AA．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】點(diǎn)代入拋物線方程求得p的值，運(yùn)用點(diǎn)到線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，16=8p，所以p=2，所以拋物線方程為y2=4x，則拋物線的準(zhǔn)線l為所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4-(-1)=5.故選：A.【變式22】2.（2023春·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Px0,1在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，若POA．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】由拋物線的定義結(jié)合PO=PQ可求得p的值，由此可得出F到【詳解】易知拋物線C的焦點(diǎn)為F0,p2所以，x02+1=x02+1-故選：C.【變式22】3.（2003·江蘇·高考真題）拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2，則A．18 B．-18 C．【答案】B【分析】將拋物線方程標(biāo)準(zhǔn)化后寫(xiě)出拋物線準(zhǔn)線方程即可求得結(jié)果.【詳解】拋物線y=ax2化為標(biāo)準(zhǔn)方程所以準(zhǔn)線方程是y=-1所以-1解得a=-1故選：B.【變式22】4.（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)F2,0是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求出拋物線的方程，由∠MPF=90°，所以PM?PF=0，設(shè)【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)F2,0是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，所以又因?yàn)椤螹PF=90°，所以PM?設(shè)My028,所以x0故選：B◆類型3焦點(diǎn)坐標(biāo)【例題23】（2022秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線y2A．-a4,0 B．a(chǎn)4,0 C．【答案】B【分析】分a>0，a<0，由2p=a求解.【詳解】解：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，由2p=a得，p2∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fa同理可得當(dāng)a<0時(shí)，焦點(diǎn)Fa故選：B.【變式23】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如果拋物線y2=2px的準(zhǔn)線是直線x=-2【答案】2,0【分析】首先根據(jù)準(zhǔn)線方程求p，再求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x=-2=-p2，即p=4，所以焦點(diǎn)為故答案為：2,0【變式23】2.（2020秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線為l，圓M:(x-1)2【答案】0,1【分析】由題設(shè)拋物線準(zhǔn)線為y=-p2，結(jié)合與已知圓的相切關(guān)系求得【詳解】由題意，拋物線準(zhǔn)線為y=-p2，且與圓M與圓心M(1,2)且半徑為3，所以y=5或y=-1都是圓M的切線，又p>0，則y=-p2=-1，可得p=2，故拋物線C(0,故答案為：0,1【變式23】3.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若拋物線y=x28【答案】4【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線，再由拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線方程y=x28由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線y=-2的距離為6，所以點(diǎn)P到x軸的距離為4．故答案為：4◆類型4與“p”相關(guān)的考點(diǎn)【例題24】（2023春·安徽亳州·高二渦陽(yáng)縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C5p2,0，且△ACF為等邊三角形，△ABCA．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，由拋物線的性質(zhì)，分別表示出AB,AD的長(zhǎng)，然后結(jié)合△ABC的面積為3列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

過(guò)點(diǎn)A，做AD⊥x軸于點(diǎn)D，因?yàn)镃5p2,0，F(xiàn)則CF=2p，F(xiàn)D=CD=12CF=p，則AB=2pS△ABC=1故選：A【變式24】1.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，點(diǎn)M在拋物線上，且|MF|=3，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若M為線段FN的中點(diǎn)，則A．2 B．22 C．4【答案】C【分析】作出輔助線，設(shè)出Mn22p【詳解】過(guò)點(diǎn)M作MA⊥y軸于點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，由題意得Fp2,0由拋物線定義可知，MF=因?yàn)槿鬗為線段FN的中點(diǎn)，所以AM=所以n2將其代入n22p+故選：C【變式24】2.（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)AA．12 B．1 C．2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合AF=3OF可求得x0=p，然后將點(diǎn)【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Ax0,2所以x0+p所以Ap,2，所以4=2p2故選：C【變式24】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為拋物線y2=2px（p>0）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C:A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時(shí)，PQ+PF最短，此時(shí)【詳解】圓C:(x+2)2+(y-4)2拋物線y2=2px（p>0）則由拋的線的定義可知點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d=PF所以PQ+d=由圖可知，當(dāng)C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時(shí)，PQ+而CF=因?yàn)镻Q+所以p2+22故選：B【變式24】4.（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的C的準(zhǔn)線與x軸交于T點(diǎn)，P0,1，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，Q是C【答案】5【分析】設(shè)Qx0,【詳解】拋物線C:y2=2px由題意T-p2設(shè)Qx0,y0因?yàn)镕Q=54所以x0=9代入y02=2px0所以p=5故答案為：5【變式24】5.（2023春·河南濮陽(yáng)·高二濮陽(yáng)一高?？计谥校┮阎獟佄锞€E：x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，且AF【答案】3【分析】利用拋物線的定義結(jié)合三角形中位線定理求解即可.【詳解】設(shè)y軸交準(zhǔn)線于N，過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，因?yàn)镕為AC的中點(diǎn)，且AF=3則由拋物線的定義可得AQ=3，在Rt△ACQ中，F(xiàn)N=12故答案為：3【變式24】6.（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，直線y=4與拋物線交于點(diǎn)M，且MF【答案】4【分析】求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用拋物線的焦半徑公式可得關(guān)于p的方程，即可求得答案.【詳解】把y=4代入拋物線方程y2=2px（p>0），得得M8p,4，根據(jù)拋物線的定義有MF故答案為：4題型3焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題【方法總結(jié)】活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，該問(wèn)題常與弦長(zhǎng)、三角形面積、向量、不等式等知識(shí)相融合，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)和靈活解題能力．命題點(diǎn)主要體現(xiàn)在焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論上：設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))◆類型1利用|AB|=x1+x【例題31】過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【解析】B法一(通性通法)易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1， ①因?yàn)閨AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1， ②由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).法二：(巧用結(jié)論)由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以tanθ＝2eq\r(2).則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).法三：(巧用結(jié)論)因?yàn)閨AF|＝2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).][評(píng)析]本例給出了三種解法，既有通性通法又有秒殺絕技，學(xué)習(xí)中要多總結(jié)，提升自己靈活解題的素養(yǎng)．【變式31】1.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長(zhǎng)為()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)【解析】C[法一：(通性通法)如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq\r(3)，所以A(3,2eq\r(3))，又F(1,0)，所以直線AF的斜率k＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，所以直線AF的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).故選C.法二：(巧用結(jié)論)如上解得p＝2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，p＝2，所以x1＝3，又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).法三：(巧用結(jié)論)因?yàn)閑q\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，p＝2，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).]【變式31】2.(2022·哈爾濱六中期末)過(guò)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝()x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝－1，因?yàn)镻1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l與拋物線的交點(diǎn)，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8.【變式31】3.已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6B．8C．12D．16【解析】選D設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(xiàn)(1,0)．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)－1)?y1y2△AOB的面積為4，得eq\f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋2＝16.◆類型2利用1|AF|+1【例題32】(2022·山東模擬)直線l過(guò)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1，0)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則p＝________，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________．【解析】由題意知eq\f(p,2)＝1，從而p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，將x＝1代入拋物線方程，解得|AF|＝|BF|＝2，從而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1，))從而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋1)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.綜上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.答案：21【變式32】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)與圓O:x2+y2=5交于A、B兩點(diǎn)，且AB=4，直線l過(guò)A．p=2B．1C．存在某條直線l，使得MFD．若點(diǎn)G2,2，則△GFM周長(zhǎng)的最小值為【答案】ABD【分析】由AB=4則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)(1,2),(1,-2)且在拋物線C:y2=2px上，代入方程進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；直線方程為x=my+1與拋物線聯(lián)立，再根據(jù)韋達(dá)定理代入1MF+1NF可求其值則可判斷選項(xiàng)B；利用選項(xiàng)B中1MF+1NF=1代入MF+2NF利用不等式求最小值后進(jìn)行判斷選項(xiàng)C；畫(huà)出大致圖像，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M【詳解】由對(duì)稱性得點(diǎn)(1,2)在拋物線C:y所以22=2p，解得設(shè)直線l和雙曲線交于M(x設(shè)直線方程為x=my+1，代入拋物線方程可得：y2-4my-4=0，所以y1所以：1MF則MF+2當(dāng)且僅當(dāng)MF=1+如圖，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M'，交y軸于M1，取MF的中點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作y過(guò)G作GH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，所以△GFM的周長(zhǎng)為MG+當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)焦點(diǎn)弦，以及焦半徑問(wèn)題時(shí)長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)有以下幾種方法；（1）常規(guī)處理手段，求交點(diǎn)坐標(biāo)然后用距離公式，含參的問(wèn)題不適合；（2）韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式，這是此類問(wèn)題處理的通法；（3）拋物線定義結(jié)合焦點(diǎn)弦公式.◆類型3焦點(diǎn)弦長(zhǎng)【例題33】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)拋物線y2=2pxp>0A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能確定【答案】C【分析】求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，直角三角形AOF中，由大邊對(duì)大角可知∠AOF>45【詳解】設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，則其坐標(biāo)為將x=p2代入拋物線的方程，解得Ap在直角三角形AOF中，OF<AF，故由拋物線的對(duì)稱性可知，∠AOB=∠AOF+∠BOF>45故選：C【變式33】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________.【解析】4法一：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan60°＝eq\f(yA,1－－1)，所以yA＝2eq\r(3).因?yàn)镻A⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2eq\r(3).將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.法二：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)镻A⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝eq\f(1－－1,cos∠AFO)＝4.]【變式33】2.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.【解析】依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.題型4周長(zhǎng)問(wèn)題【例題4】（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E:y2=8x的準(zhǔn)線為l，圓x2+y2=20與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)，與A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【分析】求出拋物線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出由A,B,C,D四點(diǎn)所圍成的四邊形的形狀，再求其周長(zhǎng).【詳解】拋物線E:y2=8x的準(zhǔn)線為l由y2=8xx2+由x=-2x2+y2則由A,B,C,D四點(diǎn)所圍成的四邊形為矩形，AC=4，AB此四邊形的周長(zhǎng)為24+8故選：B.【變式41】1.（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y24-x22=1A．2 B．22 C．8【答案】A【分析】利用雙曲線的漸近線、拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線以及兩點(diǎn)的距離公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由題知，雙曲線y24-拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F0,由y=-p2y=±2x得A所以AF=BF=p2所以2×3p22故選：A.【變式41】2.（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x28-yA．2 B．22 C．8【答案】A【分析】設(shè)A在x軸上方，根據(jù)雙曲線和拋物線的定義表示出AB，F(xiàn)A、【詳解】雙曲線x28-拋物線y2=2pxp>0設(shè)A在x軸上方，則A-p2∴AB=22又∵△ABF的周長(zhǎng)為42∴FA+∴p=2．故選：A.【變式41】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：y2=4x，圓F：x-12+yA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先判斷出拋物線焦點(diǎn)和圓心重合，由拋物線定義得AF=AD，又FB=2，可得△FAB的周長(zhǎng)為FA+AB+FB=DB+2，又知2<DB<4，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線焦點(diǎn)1,0恰為圓心F，拋物線準(zhǔn)線l:x=-1，圓半徑為2，可得圓F與l相切，設(shè)直線l：y=t與準(zhǔn)線l交于D，由拋物線定義知：AF=AD，又FB=2，故△FAB的周長(zhǎng)為FA+AB+FB=AD+AB+2=DB+2，由圖知2<DB<4，故DB+2∈4,6，結(jié)合選項(xiàng)知：△故選：B.【變式41】4.（2023秋·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知P為拋物線C：x2=-16y上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，過(guò)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，若△PFH的周長(zhǎng)不小于48，則點(diǎn)【答案】(-【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,n，根據(jù)拋物線的定義及幾何性質(zhì)確定△PFH的周長(zhǎng)表達(dá)式，轉(zhuǎn)換為含n的式子，利用函數(shù)單調(diào)性與取值求解不等式即可得所求.【詳解】解：拋物線C：x2=-16y，則焦準(zhǔn)距p=8如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,n，則m2=-16n準(zhǔn)線y=4與y軸的交點(diǎn)為則由拋物線定義可得PF又FH=所以△PFH的周長(zhǎng)為FH+設(shè)函數(shù)f(n)=44-n+24-nn≤0，則f(n)因?yàn)閒(-12)=48，所以f(n)≥48的解為n≤-12，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是(-∞故答案為：(-∞【變式41】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線y2=6x的準(zhǔn)線恰好平分圓C:x【答案】-3【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)圓的圓心求得a.【詳解】拋物線y2=6x的準(zhǔn)線為圓C:x2+所以-32=故答案為：-3題型5面積問(wèn)題【例題5】（2023秋·河南三門(mén)峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為π4的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在A．162 B．122 C．8【答案】A【分析】求出直線方程后，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離得出三角形高，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由C:x2=8y知F(0,2)，則直線l設(shè)D(x,x28)，則D到直線又點(diǎn)D在l的右下方，所以d=|x-聯(lián)立方程x2=8yy=x+2設(shè)A(x1,y1所以|AB|=1+所以S故當(dāng)x=4時(shí)，S△DAB有最大值16故選：A【變式51】1.（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線C:yA．π B．π2 C．π3【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示中點(diǎn)，進(jìn)而寫(xiě)出直線方程，結(jié)合圓與直線相切的性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：設(shè)Pt2,2t（不妨令t>0），由已知可得F1,0，則設(shè)k=2tt2+1，則k=2即圓F的半徑最大值為22，面積最大值為π故選：B.【變式51】2.（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線D及其準(zhǔn)線依次交于A,B,C三點(diǎn)（其中點(diǎn)B在A,C之間），若AF【答案】433【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形依次求得∠MCB=30°與p=2，從而求得直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點(diǎn)線距離公式求得AB與d，從而得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A作AN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P，如圖，則BM=在△MBC中，BC=2BF，所以BC=2故在△ANC中，AC=2AN=8，所以AC又CN⊥x軸，∠MCB=30°，所以PF=又拋物線D:y2=2px，則P所以拋物線D:y2=4x因?yàn)椤螹CB=30°，所以直線AB的斜率k=-3，則直線AB:y=-與拋物線方程聯(lián)立y=-3x-1y2=4x易得Δ>0，設(shè)點(diǎn)Ax1則AB=又直線AB:y=-3x-1，可化為則點(diǎn)O到直線AB的距離d=-所以S△OAB故選：B.【變式51】3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），AK⊥l，垂足為【答案】4【分析】設(shè)A(x0,y0)，過(guò)A作AH⊥x軸于H，根據(jù)題意得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為【詳解】由拋物線方程可知F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x=-1，如圖所示，設(shè)A(x0,y0)，其中x0在直角△AFH中，F(xiàn)H=由∠AFO=120°，可得∠AFH=60所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x將此代入拋物線方程可得3x02-10x所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,23)，所以故答案為：43【變式51】4.（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，PH⊥l于H，若HF=PF【答案】12【分析】根據(jù)給定的條件，求出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出PF，QF的長(zhǎng)即可求解作答.【詳解】依題意，由PH⊥l于H，得|PH|=PF=HF，即△PFH而F(2,0)，則直線PQ的方程為y=3由y=3(x-2)y令P(x1,y1因此|PF|=x所以△PFH與△OFQ的面積之比S△PFH故答案為：12.題型6最值問(wèn)題◆類型1定義轉(zhuǎn)換法【方法總結(jié)】與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問(wèn)題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時(shí)所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算．【例題61】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知P為拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為3,2，則A．4 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)P'，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，結(jié)合拋物線的定義可得PA【詳解】由拋物線y2=4x知p=2，則F1,0如圖所示，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)P'，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l由拋物線的定義得PF=所以PA+故PA+PF的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查拋物線定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將PF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，再利用用平面幾何的性質(zhì)確定最小值點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.【變式61】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-2，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)A．355+1 B．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線【詳解】由題可知x=-1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F所以動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于P到x=-1的距離加1，即動(dòng)點(diǎn)P到l2所以動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線即其最小值是4-0+65故選：D【變式61】2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4,M是拋物線C上一點(diǎn)，若AA．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，設(shè)M,A在準(zhǔn)線l上的射影為M1【詳解】由焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4,得p=4；設(shè)M,A在準(zhǔn)線l:x=-2上的射影為M1則MA+MF當(dāng)且僅當(dāng)A1故選：D．【變式61】3.（2021秋·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)M為拋物線y=x24上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+【答案】5【分析】根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離以及拋物線定義得出結(jié)果.【詳解】拋物線y=x24，即x2=4y圓x2+y則圓心為拋物線y=x24的焦點(diǎn)F點(diǎn)M為拋物線y=x24上任意一點(diǎn)，當(dāng)M,N,F三點(diǎn)共線，MN如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥l于點(diǎn)E，由拋物線定義可知MF=所以MP+MN取最小值時(shí)，即MP+當(dāng)P,M,E三點(diǎn)共線，當(dāng)PE=3MP+則MP+MN的最小值為故答案為：52【變式61】4.（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)P是拋物線y2=8x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)B3,1【答案】5【分析】過(guò)B作準(zhǔn)線x=-2的垂線垂足為B'，交拋物線于P'，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)P、B【詳解】拋物線y2=8x，所以焦點(diǎn)為F2,0當(dāng)x=3時(shí)y2=8×3=24，所以y=±26，因?yàn)椤?如圖，過(guò)B作準(zhǔn)線x=-2的垂線垂足為B由拋物線的定義，可知|P故|PB|+|PF|≥|P即當(dāng)P、B'、B三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小值為5故答案為：5【變式61】5.（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知P為拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(3,5【答案】7【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)P作PM⊥l于M，過(guò)Q作QN⊥l于N，由拋物線的性質(zhì)可將△PQF的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為FQ+PQ+【詳解】當(dāng)x=3時(shí)，y2=12>5，所以點(diǎn)由y2=4x，得焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l為過(guò)P作PM⊥l于M，過(guò)Q作QN⊥l于N，則PF=所以△PQF的周長(zhǎng)為FQ+由圖可知當(dāng)Q,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)Q+此時(shí)PM+PQ的最小值為因?yàn)镕Q=所以FQ+PM+故答案為：7【變式61】6.（2023春·廣東廣州·高二仲元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+(y-4)2=5上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M【答案】65【分析】利用拋物線的定義可得點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離減去12【詳解】由題可知，拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程為x=過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸交y軸于點(diǎn)H，由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為MH=圓x2+(y-4)2=5故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和MH+根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為EF-R-當(dāng)且僅當(dāng)E、N、M、F四點(diǎn)共線（N、M在EF之間）時(shí)取等號(hào).故答案為：65-2◆類型2平移直線法【方法總結(jié)】若拋物線上的點(diǎn)P到直線l的距離最小，則過(guò)點(diǎn)P與l平行的直線與拋物線相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與拋物線相切的直線，然后求兩平行直線間的距離．【例題62】拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．【解析】方法一：如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq\f(4,3)，所以切線方程為4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).方法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線與拋物線的切點(diǎn)是T(m，－m2)，則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝－2m＝－eq\f(4,3)，所以m＝eq\f(2,3)，即切點(diǎn)Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，點(diǎn)T到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq\f(4,3)，所以拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)【變式62】1.（2021秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中）拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線A．3 B．7C．85 D．【答案】D【詳解】試題分析：先對(duì)y=-x2求導(dǎo)得y'=-2x，令y=-2x=-43，得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=.故選D．考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離．【變式62】2.（2021春·福建泉州·高二開(kāi)學(xué)考試）拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x-y-11=0A．1033 B．43 C．【答案】D【詳解】試題分析：y=x2∴y'=2x=2∴x=1，代入y=x2考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離◆類型3函數(shù)法【方法總結(jié)】解與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題可通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式或者點(diǎn)到直線的距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解．解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給拋物線方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)．【例題63】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)拋物線C:y2=12x的焦點(diǎn)F的直線l與C相交于M，NA．15 B．18 C．21 D．27【答案】D【分析】設(shè)直線l的方程為x=ty+3，Mx1,y1【詳解】由題可知F3,0，設(shè)直線l的方程為x=ty+3，M聯(lián)立方程組x=ty+3y2=12x整理得y則y1+y所以MF=x1所以4MF+NF故選：D【變式63】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線E:x2=4y，圓C:x2+y-32=1，PA．5 B．22-1 C．2【答案】B【分析】先利用配方法求得P到圓心C的最小距離，從而求得P到Q的最小距離.【詳解】由題意知C(0,3)，r=1，設(shè)Px0,所以PC=故當(dāng)y0=1時(shí)，所以PQmin故選：B.【變式63】2.（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離為528，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)【答案】11【分析】根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離可構(gòu)造方程求得p，得到拋物線方程；由圓的方程可得圓心和半徑；設(shè)Mt2,t，利用兩點(diǎn)間距離公式可表示出DM，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得DM【詳解】由拋物線方程得：焦點(diǎn)為p2,0，∴p∴拋物線C:y2=x由圓的方程可知：圓心D3,0，半徑r=1∴DM則當(dāng)t2=52時(shí)，故答案為：112【變式63】3.（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)A-1,0作拋物線C的切線，切點(diǎn)為B，BF=3，則拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)P【答案】3【分析】不妨設(shè)B(x0,y0)(y【詳解】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)B(x0,y0)(y0>0)，由拋物線定義知，BF=x0+當(dāng)y>0時(shí)，y=2px，∴y'=2p2解得p=4或p=203（舍去），∴拋物線C的方程為y2=8x，焦點(diǎn)焦點(diǎn)F2,0到直線l:x-y+4=0的距離d=拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l:x-y+4=0的距離與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為32故答案為：3【變式63】4.(2020·東北四市模擬)若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為_(kāi)_______．【解析】由題意知x2＝eq\f(1,2)y，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，設(shè)P(x0，2xeq\o\al(2,0))，則|PF|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,0)－\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\r(4xeq\o\al(4,0)＋\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋\f(1,64))＝2xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,8)，所以當(dāng)xeq\o\al(2,0)＝0時(shí)，|PF|min＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)【變式63】5.F是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，滿足∠PFQ=2π3，線段PQA．3 B．33 C．3 D．【答案】C【分析】設(shè)出線段FP,FQ的長(zhǎng)度，用余弦定理求得PQ的長(zhǎng)度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長(zhǎng)度的計(jì)算，將PQ【詳解】設(shè)PF=m，QF=n，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為則PP'=m，QQ'點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d=PP'+由余弦定理得PQ2=m2+n2-2mn所以d2PQ2≤14×故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線中的最值問(wèn)題，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用拋物線的定義，還要注意到不等式的應(yīng)用，屬綜合中檔題.【變式63】6.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)M0,4，點(diǎn)P在拋物線x2=8y上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓x【答案】4【分析】由已知可得|PM|2|PQ|【詳解】設(shè)圓心為F，則F為拋物線x2=8y的焦點(diǎn)．設(shè)P(x,y),y≥0，則要使|PM|2|PQ|最小，則需|PQ|最大，|PQ∴|PM|當(dāng)且僅當(dāng)y+3=25y+3，即∴|PM|故答案為：4．【變式63】7.（2023春·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)為F，過(guò)定點(diǎn)0,1且斜率大于0的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，OA⊥OB，線段AB的中點(diǎn)為M，則直線【答案】6【分析】根據(jù)已知條件做出圖形，利用直線的斜截式方程和韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)在直線上，再利用斜率的坐標(biāo)公式和基本不等式即可求解.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設(shè)直線AB的方程為y=kx+1k>0，A由y=kx+1x2=2py，消去y∴x∴∵OA⊥OB,∴OA⊥OB，即OA∴-2p+1=0，解得p=1∴x∵線段AB的中點(diǎn)為M，設(shè)Mx∴x∴M1由p=12，可得拋物線的焦點(diǎn)為∴k當(dāng)且僅當(dāng)k=32k，即故直線MF的斜率的最小值為6.故答案為：6.題型7直線與拋物線的位置關(guān)系【方法總結(jié)】解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解．◆類型1直線與拋物線的位置關(guān)系【例題71】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)2,-1引直線與拋物線y=xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)(2，-1)的直線l與拋物線【詳解】（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)(2，-1)的直線斜率不存在時(shí)，顯然x=2與拋物線（2）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(2，-1)且斜率存在，且與拋物線相切時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線方程為y+1=kx-2消y得：x2則Δ=k2-42k+1=0綜上可得：過(guò)點(diǎn)(2，-1)與拋物線故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了直線的斜率是否存在及直線與拋物線的對(duì)稱軸是否平行，屬易錯(cuò)題.【變式71】1.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C：y2=4x，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，直線l：(1)若l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；(2)過(guò)點(diǎn)F作斜率為2的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．【答案】(1)1或0(2)5【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由k=0或Δ=0（2）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及S△OAB【詳解】（1）依題意，聯(lián)立y=kx+1y2=4x，消去x，得y=①當(dāng)k=0時(shí)，顯然方程-4y+4=0只有一個(gè)解，滿足條件；②當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=(-4)2綜上：當(dāng)k=1或k=0時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).（2）因?yàn)閽佄锞€C：y2=4x，所以焦點(diǎn)所以直線方程為y=2x-1=2x-2，設(shè)A(x聯(lián)立y=2x-2y2=4x，消去x得y2-2y-4=0所以|y所以S△OAB【變式71】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F1,0的距離等于它到直線x(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；(2)已知A-2,0，過(guò)點(diǎn)B0,1的直線l斜率存在且不為0，若l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，求【答案】(1)C:(2)1【分析】（1）由拋物線定義可得軌跡方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B0,1的直線l為y=kx+1，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ=0可得k值與點(diǎn)P坐標(biāo)，再得直線AP與y軸交點(diǎn)，后可得【詳解】（1）根據(jù)拋物線定義得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C:y（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B0,1的直線l為y=kx+1得y=kx+1y2=4x，消去y因l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則Δ=將k=1代入①得x2-2x+1=0，解得x=1，代入直線l可得則直線AP方程為：y=2-01--2S【變式71】3.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(1)y1y=-p(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出過(guò)拋物線y2（2）求出弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，求得弦長(zhǎng)|AB|，證明M到準(zhǔn)線的距離等于|AB|的一半，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線y2=2pxp>0可知焦點(diǎn)F(又過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A故該直線斜率不為0，可設(shè)其方程為x=ty+p聯(lián)立y2=2pxx=ty+p2故y1所以x1（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為Mx0,|AB|=x所以以AB為直徑的圓的半徑為r=|AB|點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-p2的距離為即圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，即以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.【變式71】4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Qm,2位于拋物線C：y(1)求拋物線C的方程；(2)已知點(diǎn)A-2,4，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求AM【答案】(1)y(2)13；x-y-1=0．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)韋達(dá)定理及二次函數(shù)最值計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可得m+p又22=2pm，解方程組得m=1，故所求拋物線C方程y2（2）

設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，N當(dāng)直線l的斜率等于0時(shí)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率不等于0時(shí)，不妨設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l的方程為：x=ty+1；聯(lián)立拋物線方程可得y2=4xx=ty+1Δ=16t2由韋達(dá)定理得y1+y易知AM=故AM?AN=y1=1+1所以當(dāng)t=1時(shí)，AM?此時(shí)直線l的方程為x-y-1=0．◆類型2弦長(zhǎng)問(wèn)題【例題72】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)且傾斜角為【答案】8【分析】寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用定義和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到.【詳解】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F0,1，準(zhǔn)線方程為y=-1，直線l設(shè)直線l與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，則直線l的方程為y=-x+1，代入x2=4y得則M(x1，y1)，N(x則MN=故答案為：8【變式72】1.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N-1,2A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線l1的方程，取AB的中點(diǎn)M，過(guò)A作AA1⊥l1，垂足為A1，過(guò)B作BB1⊥l1，垂足為B1，由拋物線的定義知AB【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F1,0，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)點(diǎn)N，所以NA⊥NB，取AB的中點(diǎn)M，則NM=12AB，過(guò)A作AA1⊥l1，垂足為A所以NM=12AA1+設(shè)Ax1,y1，Bx2又A，B兩點(diǎn)在拋物線上，所以y12=4①②得：y1-y所以lAB:x-y-1=0，由yM=2可得xM故選：A．【變式72】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線截圓【答案】2【分析】先求出圓心到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為圓x2+y2=4圓心0,0到準(zhǔn)線x=-1的距離d=1，所以所求弦長(zhǎng)為2r故答案為：23【變式72】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為(1)求p的值；(2)直線y=x-2交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)AB.【答案】(1)2；(2)46【分析】（1）根據(jù)給定拋物線方程，求出其準(zhǔn)線方程即可計(jì)算作答；（2）聯(lián)立直線y=x-2與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)作答.【詳解】（1）拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2，依題意，所以p的值為2.（2）由（1）知，拋物線y2=4x，設(shè)點(diǎn)Ax由y=x-2y2=4x消去y得：x2-8x+4=0，Δ所以AB====46【變式72】4.（2023秋·甘肅天水·高二校考期末）已知點(diǎn)M1,0，直線l：x=-2，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C.(2)已知直線l2：y=12【答案】(1)y(2)4【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解.（2）將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M1,0，直線l：x=-2，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，也即點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線x=-1由拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以M(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：y2（2）由（1）可知：曲線C的方程為：y2=4x，設(shè)直線l2與曲線C交于A(x1,y所以y1+y2=8所以l2被曲線C截得的弦長(zhǎng)為4【變式72】5.（2023秋·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=2px，(1)求橢圓C1和拋物線C(2)過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線l與橢圓C1【答案】(1)橢圓C1和拋物線C2的方程分別為：x2(2)4【分析】（1）由題意可得c=p2，由于橢圓的離心率可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而可得p，c的關(guān)系，再由過(guò)C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截C（2）設(shè)直線AB的方程，及A，B的坐標(biāo)由題意可得E的坐標(biāo)，將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出直線AE的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由C1的離心率為12，可得ca因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以c=p2，過(guò)C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截C2所得的弦長(zhǎng)為4，令可得y2=2p?c，所以即4=2?2c，解得c=1，所以a=2，p=2c=2，由b2=a所以橢圓C1和拋物線C2的方程分別為：x2（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：x=my+3，設(shè)Ax1,y1直線與橢圓聯(lián)立：x=my+33整理可得：4+3m2y可得m2>53，直線AE的方程為：y-y整理可得：y===所以當(dāng)x=43時(shí)，y=0，即過(guò)定點(diǎn)所以可證直線AE過(guò)定點(diǎn)43【點(diǎn)睛】解決曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一般有兩種方法：①探索曲線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).◆類型3求直線方程【例題73】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知拋物線C:y2=4x，直線l過(guò)點(diǎn)G0,43且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若【答案】1【分析】分別設(shè)出直線l、直線OA和直線OB的方程，以及A(x1,y1)，B(x2,y2【詳解】設(shè)直線l的方程為y=kx+43k≠0設(shè)直線OA，OB的方程分別為y=k1xk1≠0，設(shè)A(x1,∵∠AOB的平分線過(guò)點(diǎn)E(1,1)，∴k整理得：k12+1∴k1k2=1由y=kx+43y∴Δ=144-64×3k>0y又∵x1x2=116故答案為：13【變式73】1.（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P-2,2，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)．若AB=2PM【答案】2【分析】方法一：設(shè)直線l：x=my+2，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線l與拋物線的方程求出y1+y2,y1?y2，由AB=2PM可得PA?PB=0，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案；方法二：設(shè)A【詳解】方法一：由題意F2,0，k≠0，設(shè)直線l：x=my+2，其中m=聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去x得y設(shè)Ax1,y1，B又AB=2PM，則PA⊥PB，即而PA=x1則x1即my即m2所以-16m2+1以k=1方法二：如下圖，由題意，F(xiàn)2,0，點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=-2設(shè)A，B，M在準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則AB=所以PM//x軸，設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去x所以y1+y故答案為：2．【變式73】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過(guò)橢圓3x2+4【答案】3x+2y+23【分析】先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出a,b,c，從而可求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB為x=my-2，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列方程可求出m，從而可求出直線方程.【詳解】橢圓3x2+4y2=48，即x216+設(shè)直線AB為x=my-2，A(x由3x2+4整理得(3m因?yàn)棣?144所以y1所以AB=24(1+m2)所以直線AB為x=±2即3x+2y+23=0故答案為：3x+2y+23【變式73】3.（2022·全國(guó)·高二期中）已知拋物線C：y2=4x，直線l過(guò)點(diǎn)(1)若l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，且APPB=AQ【答案】(1)x=0或y=1或x-y+1=0(2)y=2x，（0<x<1且x≠1【分析】（1）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，符合題意，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線和拋物線方程得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，討論二次項(xiàng)次數(shù)和Δ即可求出答案.（2）解法一：設(shè)Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2，不妨令x解法二：設(shè)Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，其方程為x=0，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由y=kx+1y2=4x當(dāng)k=0時(shí)，直線y=1符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，令Δ=(2k-4)2∴直線l的方程為y=x+1，即x-y+1=0.綜上，直線l的方程為x=0，或y=1，或x-y+1=0.（2）解法一：設(shè)Qx,y，Ax1,y∵直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x由APPB=AQQB，得∴y=k2-k+1=∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴點(diǎn)Q的軌跡方程為y=2x（0<x<1，且x≠1解法二：設(shè)Qx,y，Ax1,y∵直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x∵點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)APPB=AQQB=λ∴x1=λx2x-x1∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴點(diǎn)Q的軌跡方程為y=2x（0<x<1，且x≠1【變式73】4.（2022秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2px????(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)P(0,1)(1)求拋物線C的方程；(2)求直線l的方程.【答案】(1)y2(2)x=0或y=1或y=x+1.【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合p的幾何意義，直接求出p寫(xiě)出方程作答.(2)直線l的斜率存在設(shè)出其方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，再討論計(jì)算，l斜率不存在時(shí)驗(yàn)證作答.【詳解】（1）因拋物線C:y2=2px???(p>0)的焦點(diǎn)F所以拋物線C的方程為y2（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+1，由y2=4xy=kx+1當(dāng)k=0時(shí)，x=14，點(diǎn)(14,1)是直線l與拋物線C唯一公共點(diǎn)，因此，k=0當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=(2k-4)2-4k2=0?k=1，此時(shí)直線l當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，y軸與拋物線C有唯一公共點(diǎn)，直線l方程為x=0，所以直線l方程為為x=0或y=1或y=x+1.【變式73】5.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為(1)求p；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若AB=16【答案】(1)4(2)x+y-2=0或x-y-2=0【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，得出方程p2（2）根據(jù)題意，設(shè)所求直線方程為x=ty+2，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，列出方程求得t=±1，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F2,0，可得p（2）解：由（1）知，拋物線方程為y2因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以直線斜率不為0，又由焦點(diǎn)為F2,0，可設(shè)所求直線方程為x=ty+2聯(lián)立方程組y2=8xx=ty+2則Δ=(-8t)2+4×16>0，設(shè)則AB又因?yàn)锳B=16，即1+t2641+所以所求直線方程為x+y-2=0或x-y-2=0.【變式73】6.（2023秋·全國(guó)·高二期中）橢圓E的方程為x24+y2(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點(diǎn)，若PD=2，求PC的長(zhǎng)；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)-1,0，且交橢圓E于另一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)22(2)點(diǎn)M在定直線x=-4上，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)Px0,y0,D0,yD（2）依題可設(shè)直線l的方程為x=my-1，Px1,y1，Qx2,y2，Mx【詳解】（1）設(shè)Px則x024由①②可得y0∵