第六章圖形變換

主要介紹

?二維幾何變換

?窗口到視區(qū)的變換

?三維幾何變換

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

以下幾方面的內(nèi)容：

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量、矩陣及運(yùn)算

二維幾何變換

三維幾何變換

投影變換

視窗變換

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矢量

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

-矢量的數(shù)乘

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

-矢量的長(zhǎng)度

222

u==ux+uy+Uz

■單位矢量

■矢量的夾角

U?￥

cos0=

MHH

~矢量的叉積

Jk

UxV=UxUyUz

VxVyVz

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矩陣

mxn階矩陣

-n階方陣

-零矩陣

-行向量與列向量

-單位矩陣

-矩陣的加法

-矩陣的數(shù)乘

-矩陣的乘法

-矩陣的轉(zhuǎn)置

-矩陣的逆

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矩陣的含義

矩陣：由mXn個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)

整體，簡(jiǎn)稱mXn矩陣。

a\1(712...a\n

a21a22...tz2；?

A二

Clm1Cltn2.??CLmn

其中，ay稱為矩陣A的第i行第j列元素

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矩陣運(yùn)算

?加法

設(shè)A,B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣

Qll+611Cl\2+b12…Cl\n+bin

A+B=

Clml+bm\dm2+um2…dmn+umn

?數(shù)乘

kA—[j=l,..n

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

*乘法

設(shè)A為3X2矩陣，B為2X3矩陣

1111111\.乙乙乙J.JJ4

C=A-B=

g/ii+〃2241+“2341。2Tbi2+。22b22+。23b32

C-C1nxp-AmXn.BnXpCjj-￡aik*bkj

?單位矩陣k=l,n

在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素％尸1,其余

皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常

-

"P己作【n。AmXnAmXn，In

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

-逆矩陣

若矩陣A存在A?A-1二A【A二I,則稱A"為A的逆矩

陣

?矩陣的轉(zhuǎn)置

把矩陣心⑸工"的行和列互換而得到的

nXm矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A，。

(A，)丁二A

(A+B)T=AT+BT

(aA)T=aAT

(A?B)丁=BT-AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A二A，，則A是對(duì)稱矩陣。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)

?交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;

A+(B+C)=(A+B)+C

-數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;

a(A-B)=(aA)?B=A-(aB)

(a+b)A=aA+bA

a(bA)=(ab)A

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

?矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B-C)=(A-B)C

(A+B)-C=A-C+B-C

C-(A+B)=C-A+C?B

?矩陣的乘法不適合交換律

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

齊次坐標(biāo)

所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由〃+1維向量表丕

一個(gè)〃維向量。如〃維向量(尸1,尸2，???，尸〃)表示

為(kPi/P2rhp〃⑺，其中〃稱為啞坐標(biāo)。

1、一,可以、取不同的值，所以同一點(diǎn)的齊次

坐標(biāo)木是唯一為。

如普通坐標(biāo)系下的點(diǎn)(2,3)變換為齊次坐標(biāo)

可以是(1,1.5,0.5)(4,6?2)(6,9,3)等等。

2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對(duì)多”

由普通巫標(biāo)x/z一齊次坐標(biāo)

由齊次坐標(biāo)+6一普通坐標(biāo)

3、當(dāng)〃=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化

坐標(biāo)”，耳為前〃個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下

的〃維坐標(biāo)。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

齊次坐標(biāo)

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

齊次坐標(biāo)的作用

1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣

運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐

標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。

2,便于表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

例如：(xxh,yxh,h),令h等于0

3.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變

換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面

體。

4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)

-便于變換合成

-便于硬件實(shí)現(xiàn)

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

窗口視圖變換

?用戶域和窗口區(qū)

1.用戶域：程序員用來定義草圖的整個(gè)自然空間（如）

a人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。

b用戶域是一個(gè)實(shí)數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。

2.窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域（份

a窗口區(qū)收b于或等于用戶域初

b小于用戶域的窗口區(qū)物U做用戶域的子域。

c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形

窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗

口，在第I層窗口中可再定義第1+1層窗口等等。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

窗口視圖變換

1.屏幕域(QC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是

有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為

1024x768->DC[0..1023]x[0..767]

2.視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域

a視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中

b窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

c視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形

等。

d視圖區(qū)也可以嵌套。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換

設(shè)窗口的四條邊界雙股外甲）應(yīng)叮7

視圖的四條邊界依"EY兄d為,仍7

則用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)（即窗口內(nèi)的一點(diǎn)）

（Xvv,Hv）對(duì)應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點(diǎn)（照足），

其變換公式為

VXR-VXL

X二---------------------W------X---L)+VXL

WXR-WXLW/

<

VYT-VYB

Y=--?-(--y--v---W---Y--B)+VYB

'WYT-WYB

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換

簡(jiǎn)化為:

?1）當(dāng)即。時(shí)，即X方向的變化與P方向的

變化不同時(shí)，視圖中的圖形會(huì)有伸縮變

化，圖形變形。

?2）當(dāng)斫左力0則Ys^Yw,圖形

完全相同。

?思考：前面講的窗口一視圖變換時(shí)，假

設(shè)窗口的邊和坐標(biāo)軸平行，如果窗口的

邊不和坐標(biāo)軸平行呢？

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換

?A.先讓窗口廠Gm轉(zhuǎn)-a角，使它和/G'/T/'重

口。

?B.用(1)式進(jìn)行計(jì)算。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

圖形變換

圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。

幾何變換，投影變換，視窗變換

線性變換，屬性不變，拓?fù)潢P(guān)系不變。

作用：

?把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來;

?可由簡(jiǎn)單圖形生成復(fù)雜圖形；

?可用二歲圖形表示三維形體；

?動(dòng)態(tài)顯示。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

二維圖形的顯示流程圖

世界坐關(guān)于窗窗口到掃描顯

牌f標(biāo)系內(nèi)A口的裁..視區(qū)的設(shè)爸>

坐標(biāo)系的變換剪變換坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換不

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

圖形的幾何變換

?圖形變換：對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過幾何

變換后產(chǎn)生新的圖形。

?圖形變換的兩種形式：

?1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；

?2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。

■我們所討論的是針對(duì)坐標(biāo)系的改變而講

的。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

二維圖形的幾何變換

?設(shè)二維圖形變換前坐標(biāo)為變換后為

(adg、

?1.二維變換矩陣T2D=beh

\Cfi,

?注意：72。可看作三個(gè)行向量，其中

?[100]：表示工軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

?[010]：表示》軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

?[001]：表示原點(diǎn)

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

I二維圖形的幾何變換

?從變換功能上可把72。分為四個(gè)子矩陣

：對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換

(6e)

(c7)：對(duì)圖形進(jìn)行平移變換。

:對(duì)圖形做投影變換。

5,

g：在％L處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)。

g

h：在x=1處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)。

h

(z)：對(duì)整體圖形進(jìn)行伸縮變換。

,100、

:(x*y*1)=(xy1)010

0i,

.?.若，〉1,則總體縮小；否則，總體放大。

:維基本變換-平移變換

平移變換

’100、

(x*y*l)=(xj1)010=(x+'…卜1)

'TxTy1J

?平移變換只改變圖形的位置，不改變圖

形的大小和形狀

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

二維基本變換-比例變換

(S00

X、

(x*y*l)=(x-)0Sy0=(s「x"1)

10°d

-以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)

-當(dāng)S尸s尸1時(shí)：恒等比例變換

-當(dāng)Sx=5"〉1時(shí)：沿方向等比例放大。

-當(dāng)Sx二SX1時(shí)：沿方向等比例縮小

-當(dāng)S/5yB寸：沿方向作非均勻的比例變換,

圖形變形。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

?維基本變換-對(duì)稱變換

?當(dāng)b=d=O,Q=-l,e=l時(shí)，(x*l)=(-xy1)：與y軸對(duì)稱的

反射變換。

?當(dāng)b=d=O,Q=l,e=-l時(shí)，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對(duì)稱的

反射變換。

?當(dāng)b=d=O,Q=e=-l時(shí)，(x*y*1尸(-x-y1)：與原點(diǎn)對(duì)稱的

反射變換。

?當(dāng)b=d=l,Q=e=O時(shí)，(x*y*1尸(yx1)：與y=x對(duì)稱的反射

變換。

?當(dāng)b=d=-l,a=e=O時(shí),(x*y*1)=(-y-x1)：與產(chǎn)-x對(duì)稱的

反射變換。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

二維基本變換-旋轉(zhuǎn)變換

注意；。是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。

t.(x'y)

尸=PCOS6Zf^/0.(x,y

\y=Psincca

x'=pcos(9+a)=pcosacos。一psinasin。=xcos0-ysinO

yy-psin(6>+a)=psinacos9+pcosasin9=xsin9+ycos0

'cos6sin80、

(x*y*l)=(xy1)-sincos90-(xcos0-ysm3xsine+ycos。1)

，°°】，

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

:維基本變換-錯(cuò)切變換

d0、

(%*y*1)=(、y1)b10=(x+勿dx+y1)

1°0

?1)當(dāng)d=0時(shí)，(x*X)=(x+byy1)：圖形的歹坐標(biāo)不變；

?當(dāng)b>0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。48c。一A1B1C1D1

?當(dāng)X0：圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移。ABCD^A2B2C2D2

心圖形學(xué)

二維基本變換-錯(cuò)切變換

?2）當(dāng)6=0時(shí)，（x*y*1尸（x加+y1）圖形的x坐標(biāo)不變；

?當(dāng)d>0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。4BCD-A1B1C1D1

?當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD^A2B2C2D2

二維基本變換-錯(cuò)切變換

?3)當(dāng)且dM時(shí)，

?(x*y*l)=(x+Z)^dx+y1)：圖形沿xj兩個(gè)

方向作錯(cuò)切位移。

?，錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，

甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

復(fù)合變換

?復(fù)合變換又稱級(jí)聯(lián)變換，指對(duì)圖形做一

次以上的幾何變換。

?注意：任何一個(gè)線性變換都可以分解為

上述幾類變換。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例1:復(fù)合平移

?求點(diǎn)尸(對(duì))經(jīng)第一次平移寥換(以1,7>1),第二次平移

變換(Tx2,Ty2)后的坐標(biāo)尸*(x*/*)

?解：設(shè)點(diǎn)尸經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為y

?，變換矩陣為刀=北卜”2

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例2：多種復(fù)合組合

?例:對(duì)一線段先放大2倍（即Sx=Sy=2）,再平移Tx=10,Ty=0。

ty

(X,y)

>x

?解:設(shè)點(diǎn)（X,y）為線段上的任意一點(diǎn)，

點(diǎn)（x'，y'）為點(diǎn)（x,y）放大后的坐標(biāo)則:

設(shè)點(diǎn)(x‘'，y'')為點(diǎn)(x'，y')經(jīng)平移后的坐標(biāo)為：

二[x\y\l]T2(10,0)則:

1]二[x，,y\l]T2(10,0)=[X,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0),則M即為組合變換

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例3：旋轉(zhuǎn)變換

?對(duì)參考點(diǎn)尸（沈0）做旋轉(zhuǎn)變換。

?解：

?1、把旋轉(zhuǎn)中心F（求平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即坐標(biāo)系平移

,100、

Hl)=(xy1)o1o=(x>MJ"

-yf1,

?2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

'cos0sin90、

(%)21)=(/1)-sin6>cos60=(x2為1)丁(。)

、00"__________________

■浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例3：旋轉(zhuǎn)變換

?將坐標(biāo)系平移回原來的原點(diǎn)

’100、

*1)=(/%1)010=(x2巴1)7(盯力

1

7

-因此

,100、

2歹21)7(~y

(X*歹*1)=(x2為1)010=(%f

1

7

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例4：任意的反射軸的反射變換

?任一圖形關(guān)于任意的反射軸產(chǎn)^+云的反射變換

?解：1.將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到（0,。）處」00、

4=010

<0-ab

例4：任意的反射軸的反射變換

?2.將反射軸（已平移后的直線）按順時(shí)針方向

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

例4：任意的反射軸的反射變換

?5.恢復(fù)反射軸的原始位置」00、

010

（）（）a1,

因此T=TxR-dT2R6T3

例6（通用定向縮放）

?比例變換中的比例因子Sx,“只能在x軸方向或y

軸方向起作用。實(shí)際圖形變換中，不僅是在XU

方向變換，往往要求在任意方向進(jìn)行比例變換。

通過旋轉(zhuǎn)變換和比例變換的組合，可以實(shí)現(xiàn)任

意方向的比例變換。

?解：定義比例因子例和82。

?1.使S1和S2旋轉(zhuǎn)。角后分別與x軸和歹軸重合。

?2.進(jìn)行比例變換。

?3.使S1和S2旋轉(zhuǎn)-e角，返回原始位置。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維幾何變換

?三維其次坐標(biāo)

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維幾何變換

三維變換矩陣-對(duì)稱變換

在二維變換下，對(duì)稱變換是以線和點(diǎn)為基準(zhǔn)，在三維變

換下，對(duì)稱變換則是以面、線、點(diǎn)為基準(zhǔn)的。

-對(duì)稱于XOY平面1000

0100

_x*y*z*1]=[xy-z1]二[xz1]

00-10

0001

-對(duì)稱于YOZ平面-1000

0100

_x*y*z*1]=[-xyz1]二[xz1]

001o

0001

-對(duì)稱于xoz平面1000

0-100

_x*y*z*1]=[x-yz1]二[xz1]

0010

0001

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

-繞x軸變換

空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，立體上各點(diǎn)的X坐標(biāo)

不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。

ypcos(a+9)y*cos?-z*sin6

zpsin(a+0)y*sin6+z*cos6

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

3維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

?矩陣表示為:

10oo

0cos0sin0o

0-sin。cos0o

0001

■遵循右手法則，即若?！?,大拇指指向

軸的方向，其它手指指的方向?yàn)樾D(zhuǎn)方

向。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

-繞Y軸旋轉(zhuǎn)

此時(shí)，Y坐標(biāo)不變，X,Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。

二x*cos0+z*sin?

yy

Zpcos(a+0)=z*cos6-x*sin?

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

建隹變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

?矩陣表示為

cos00-sin。0

0100

y21]=xyz1]

sin00cos00

0001

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

-繞z軸旋轉(zhuǎn)

此時(shí)，Z坐標(biāo)不變，X,Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。

iztY

x'二pcos(01+0)=x*cos?-y*sin。

y1=psin(a+6)=x*sin。+y*cos。

z?二z

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換

?矩陣表示為：

cos0sin000

-sin。cos000

x'y'z11]=[xyz1

0010

0001

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法1

?a)繞過原點(diǎn)的任意軸的旋轉(zhuǎn)變換

?空間點(diǎn)尸(x),z)繞過原點(diǎn)的任意軸ON逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)。角的旋轉(zhuǎn)變換。

?基本思想：因。泗由不是坐標(biāo)軸，應(yīng)設(shè)法

旋轉(zhuǎn)該軸，使之與某一坐標(biāo)軸重合，然

后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。角的變換，最后按逆過程，

恢復(fù)該軸的原始位置。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法1

-解：令ON為單位長(zhǎng)度，其方向余弦為:

a=cosa-b-=cospa=—y;c=cos/=—4;r=/2+,y2+,z2

rrr

*。、夕、〃為。泗由與各坐標(biāo)軸的夾角。

?變換過程如下：

?1）讓ON軸繞z軸旋轉(zhuǎn)使之在XOZ平

面上。其中

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法1

"cosa'-sin00、

sina'cosa'00

?因此R（-〃）”

0010

、

00017

?2）讓在劉少平面上的3繞p軸旋轉(zhuǎn)）

使之與z軸重合。其中

sin/*=yla2+b2cosy'=c

因此N

'cos0siny'0、y

0

0100

Mr%

-sin0cosy'0X

0001,算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法1

?3）〃點(diǎn)繞3$山（即z軸）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角

?b）繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換

?上面的ON軸若不過原點(diǎn)，而是過任意點(diǎn)

（xojo，zo），變換如何呢?

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法2

?組合變換：空間一點(diǎn)繞空間任一軸線的旋轉(zhuǎn)變

換。要通過將幾個(gè)基本的變換組合在一起，得

到該組合變換。

假定空間任一直線的方向矢量分別為：

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法2

能否轉(zhuǎn)換成繞X、Y或Z軸旋轉(zhuǎn)的變換？

ON繞Z軸旋轉(zhuǎn)?2至UXOZ平面上，然后再繞Y軸

旋轉(zhuǎn)eP即可與z軸重合。

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法2

這樣，可得空間上任一點(diǎn)繞ON軸旋轉(zhuǎn)的變換過程如下:

1）首先通過兩次旋轉(zhuǎn)，使ON軸與Z軸重合；

2）然后使點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)e角；

3）最后通過與1）相反的旋轉(zhuǎn)，使ON軸回

到原來的位置。

假設(shè)，繞Z軸的旋轉(zhuǎn)-62矩陣為L(zhǎng)

繞Y軸的旋轉(zhuǎn)-61矩陣為丁2

繞Z軸的旋轉(zhuǎn)6矩陣為T3

繞Y軸的旋轉(zhuǎn)e1矩陣為T4

繞z軸的旋轉(zhuǎn)e2矩陣為丁5

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法2

則總體變換矩陣為：

T=

由上推導(dǎo)可看出，只要能求出61、?2的值,

即可通過上式獲得繞ON軸的變換矩陣。

由于矢量(oo1)繞Y軸旋轉(zhuǎn)e1,再繞z軸旋

轉(zhuǎn)02即可與ON軸重合。即：

繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換-方法2

[1mn1]=[sin?^os?2?sin?j^sin?2?cos?1?1]

1=sin0icos。2

m=sin?isin。2

n=cos?i

從而通過上式即可得到ei、e2的值。

問題：當(dāng)任一軸線的端點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)應(yīng)如

何計(jì)算變換矩陣？

浙江大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

SuccesswithMoneyandJoy

附落人生心語

?成功是一種觀念

?致富是一種義務(wù)

?快樂是一種權(quán)利

?每個(gè)人都有能力、有義

務(wù)、有權(quán)利辦到成功

致富快樂

附贈(zèng)人生心語

成成功不是打敗別人

功成功不是超越別人

成功不是名、利、權(quán)的獲得

致?lián)碛薪】档纳眢w

豐足的物質(zhì)生活

富平衡的心理狀態(tài)

又才能擁有成功

快SuccesswithMoneyandJoy

戰(zhàn)勝自己

樂貢獻(xiàn)自己

扮演好自己的歷史角色

才能超越自己

融入成功里

附贈(zèng)人生心語

知人者智，自知者明，勝人者力，自

勝者強(qiáng)。

——老子

附贈(zèng)人生心語

?成功必須靠百分之九十八的辛勤血

汗，加上百分之二的天才靈感。

?世界上注定只有百分之二十的人會(huì)成

功。

附贈(zèng)人生心語

成猶太諺語中有一句名言，

功會(huì)傷人的東西有三個(gè)：苦惱、爭(zhēng)吵、空的錢包。

其中最傷人的是——空的錢包。

致金錢本身并沒有善惡，

但沒有錢，

富卻的確是一件不幸的事情。

又所以，我們必須學(xué)習(xí)

快SuccesswithMoneyandJoy

重視財(cái)富，

樂管理財(cái)富，

更重要的是栗學(xué)會(huì)

正確地

使用自己的財(cái)富。

附贈(zèng)人生心語

重財(cái)---重視自己的財(cái)富

孔子說：“不義而富且貴于我如浮云。”只要

是正正當(dāng)當(dāng)?shù)腻X，都應(yīng)該被珍惜、被重視。

附贈(zèng)人生心語

理財(cái)-----管理自己的財(cái)富

在貧苦和缺錢里掙扎的人，都有一個(gè)共同的特

點(diǎn)，就是不會(huì)理財(cái)，甚至不懂什么是理財(cái)。

附磨人生心語

增貝才----增加自己的財(cái)富

勞務(wù)收入

收入卜

財(cái)務(wù)收入

附霜人生心語

守貝才-----保護(hù)自己的財(cái)富

守財(cái)三原則：

?不賭錢

?不借錢

?不投資做生意

附贈(zèng)人生心語

成

功春有百花秋有月，夏有涼風(fēng)冬有雪

致若無閑事掛心頭，便是人間好時(shí)節(jié)

富

又Success