2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為20cm,高度為l（）（）cm,現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球,

在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

（附：V2?1.414,V3?1.732,5/5?2.236）

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

2.已知函數(shù)/（幻=1一。一1）",若2"=10828=。,則（）

A.f(a)<f(b)<f(c)B.Jib)<f(c)<fla)

C.fia)<f[c)<fib)D.<f(b)<f(a)

3.函數(shù)y=2Wsin2x的圖象可能是

1*227r

4.已知點(diǎn)居為雙曲線。：0—2_=1（。＞0）的右焦點(diǎn)，直線卜=履與雙曲線交于A,5兩點(diǎn)，若NAF,B=—,則

a43

△人工8的面積為（）

A.2及B.2GC.4夜D.4G

5.已知ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=a)\BD=2DC,AE=EC9則A3BE=(

1

A.1C.一D.——

22

uuuuuu

6.平行四邊形ABC。中，已知AB=4,AD=3,點(diǎn)E、戶分別滿足A￡=2E。，DF=FC，且=—6,

則向量A。在AB上的投影為（)

33

A.2B.-2C.一D.——

22

------+-------=

7.已知i是虛數(shù)單位，則，1+i(

133131

+-+-i---/

A.*27C.2222

8.半正多面體Ge/niregNwsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正

多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長(zhǎng)為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

81620

B.4D.—

3T3

9.sin800cos50+cos140sin10-()

B百1

A.D.-

2222

10.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，43是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若|A/q+|8E|=8,則線段AB的中點(diǎn)到

N軸的距離為（）

3

A.5B.3D.2

2

11.在AABC中，。為AC的中點(diǎn)，E為AB上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，且BO,CE相交于點(diǎn)P,則AP=（）

2111

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3224

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2333

12.M、N是曲線y=7rsinx與曲線y=;rco§x的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則|MN|的最小值為（）

A.nB.TTC.5/37TD.27r

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)〃力=5皿（28+高一（在區(qū)間［0,句上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正數(shù)0的取值范圍是.

14.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1，。2,過(guò)直線OQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的表面積為.

15.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為

16.已知復(fù)數(shù)z="是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=,.

1-z

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=|x—2㈤2x+4|.

（1）解不等式/（x）*-3x+4；

2020202()

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為根+〃=。(根>0,〃>0),求—一—+的最小值.

'7/J1+1008n+1008

x-2t

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1,2（/為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半

y=2(

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/極坐標(biāo)方程為「cos。-（=0.若直線/交曲線C于A,8兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).

19.（12分）已知矩形紙片ABC。中，AB=6,49=12,將矩形紙片的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點(diǎn)8落

在矩形的邊AO上，記該點(diǎn)為E,且折痕MN的兩端點(diǎn)M,N分別在邊上.設(shè)NMN8=，,"N=/,AEMN的

面積為S.

（1）將/表示成。的函數(shù)，并確定。的取值范圍；

（2）求/的最小值及此時(shí)sin。的值；

（3）問(wèn)當(dāng)0為何值時(shí)，AfiVW的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.

-1QI

20.（12分）已知矩陣加=b4（”的eR）不存在逆矩陣，且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量“二1，求a,b的值.

,x=3COS（D

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為《.（中為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正

y=sin（p

半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2,-）,半徑為1的圓.

2

（1）求曲線Ci的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M為曲線G上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍.

22.（10分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

時(shí)間代號(hào)，123456789

廣告收入y（千萬(wàn)元）22.22.52.832.52.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)/和）'作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)f和J作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.

（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中，只購(gòu)買電

子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為1()%,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為572cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為(10+5V2(n-l))cm,

得到不等式10+5右(〃-1)4100,計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為10cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為5及cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝〃層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為(10+5夜(n-1))cm,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足1()+50(〃-1)4100,解得〃W1+9&R3.726，

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

2.C

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了(x)在(a,+8)上遞增，結(jié)合y=c'與y=2',y=log2X,y=x圖象，判斷出4c的大小關(guān)系，由此

比較出/(a),/(。)J?的大小關(guān)系.

【詳解】

因?yàn)?4x)=(x-a)ex,所以/(x)在3內(nèi))上單調(diào)遞增；

V

在同一坐標(biāo)系中作y=。與y=2,y=log2x,y=x圖象，

a

2=log2b=c,可得a<c<A,故/(=</?<f?.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于

中檔題.

3.D

【解析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在弓,兀)上的符號(hào)，即可判斷選擇.

詳解：令/(%)=2兇sin2x>

因?yàn)閤eRJ(-x)=2Tsin2(-x)=-2?sin2x=-f(x),所以f(x)=2處sin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B；

TT

因?yàn)闀r(shí)，f(x)<0,所以排除選項(xiàng)C,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：(D由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性;

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

4.D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接人片,8百，由對(duì)稱性可知四邊形A耳86是平行四邊形，

設(shè)|*|=你|=小得4c2=1+片—2^cosg,求出色的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為人，連接Af；,8￡,

由對(duì)稱性可知四邊形AF&A是平行四邊形，

一一7T

所以SAFlF2=SAF?B，^.F{AF2=—.

設(shè)防=小陷If,則4c2人+心2榜8s畀2+仁歸

又一目=2。.故公弓=4b2=16,

所以sAF低弓sin(=46.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

5.C

【解析】

以84,3C為基底，將AO,BE用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.

【詳解】

22

BD=2DC,BD=gBC,AD=BD-BA=gBC-BA,

?1一1.

AE=EC,BE=-BC+-BA,

22

ADBE^(^BC-BA)(-BC+-BA)

322

12112

=-BC——BCBA——BA

362

=1,——1x2cx30x—1=一1.

622

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

6.C

【解析】

ADAB

將用向量和表示，代入=可求出，再利用投影公式|“"可得答案.

ADA8A￡hA6=6州

【詳解】

解：AF-BE^(AD+DFy(BA+AE^

2112

=ADAB+AD-AD——AB-AB+-AB--AD

3223

=-A￡)AB+-x32--x42=6,

332

得4?AB=6，

ADAB63

則向量AD在AB上的投影為卜@=1=耳?

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運(yùn)算，將AF,BE用向量AO和A8表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果

【詳解】

1+ii-;(/+/)i(l-i),i-i2i131

—十—=----1-+；--—；=-/-r4--=?i+1+_+_=—j

i1+i-1/(7+/)(/-/)22222

故選。

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

8.D

【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長(zhǎng)，可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中

點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，可求出其體積.

【詳解】

如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長(zhǎng)為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長(zhǎng)為0,它是由

棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，

/.該幾何體的體積為V=2x2x2-8xfxlxlxl=型，

323

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，幾何體的體積，對(duì)于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到，屬于中檔題.

9.D

【解析】

利用10°=90°-80°,140=90+50°,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得sin80°cos50°-cos80°sin50°，然后利用兩角

差的正弦定理，可得結(jié)果.

【詳解】

S80°=90°-10°,140=900+50°

所以sin10"=sin（900-80"）=cos10"

cos140-cos（90"+50"）=-sin50,

所以原式=sin80°cos50°—cos80°sin50°=sin（80°-50°）

所以原式=$皿30=-

2

故sin80"cos500+cos140sin10=—

2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知IA/q+1玉+2+z+2=8，繼而可求出

西+々=4,從而可求出AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到）'軸的距離.

【詳解】

解：由拋物線方程可知，2P=8,即〃=4,.?.廠（2,0）.設(shè)A（.y）,6（w，%）

貝!=司+2,忸月=w+2,BPIAF\+1BF|=%,+2+x2+2=8,所以巧+々=4.

所以線段A8的中點(diǎn)到>軸的距離為土土殳=2.

2

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得4B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.

11.B

【解析】

3x

設(shè)AP=xAB+）/C,則AP=xA8+2yAO,AP=^-AE+yAC,

3%

由B,P,。三點(diǎn)共線，C,P,E三點(diǎn)共線，可知x+2y=l,萬(wàn)+y=l,解得x,y即可得出結(jié)果.

【詳解】

3x

設(shè)AP=xA8+yAC,則AP=+2yA。，AP=^-AE+yAC,

因?yàn)?,P,。三點(diǎn)共線，C,P,E三點(diǎn)共線，

3x11

所以x+2y=l,—+j=l,所以x=-,y=-.

224

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示，則圖中|MN|最小，

設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),

?！?/p>

則Xl=—,X2=-7r,

44

|X1-X2|=7T,

Iyi-y2|=|nsinxi-ncosx2|

V246

22

=V2

|MN|==J3兀.故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13-[?4

【解析】

求出函數(shù)/(X)的零點(diǎn)，讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間[。,句上，第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間[0,句外即

可.

【詳解】

由/(x)=sin(2(yx+工]一，=0,得2的+工=左乃+(—墳?色，keZ,

k6J266

x=—[k7r+{-V)k?---],keZ,

2a)66

?:/(0)=0,

1_71萬(wàn)、,

——(3z乃------)<71

?J2啰66M俎4

??彳,解得一4①<2.

171713

-一?(4〃+-----)>n

[2a)66

4

故答案為：1,2).

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn)，然后題意，把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個(gè)零

點(diǎn)，因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間［（）,可上.由此可得。的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題.

14.12萬(wàn)

【解析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,可求得％=2近，代入圓柱的表面積公式，即得解

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為X,

則由一=8,得尤=2啦，

S圓柱表=2s底+S何=2x4x（夜『+2）x0x2\/2=124.

故答案為：12乃

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8

15.—

21

【解析】

試題分析：從編號(hào)分別為1,L3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，有=210種不同的結(jié)果,

由于是隨機(jī)取出的，所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件A為“取出球的編號(hào)互不相同”,

QHQ

則事件A包含了C；?CW?以=80個(gè)基本事件，所以「（A）=而弋.

考點(diǎn)：1.計(jì)數(shù)原理；1.古典概型.

16.11

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式計(jì)算得解.

22

【詳解】

復(fù)數(shù)廣”=看腎。一1。+1.

---------1---------1

1-1(l-l)(l+l)222

2

...復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)'1解得戶］,

?***|z|=1>

故答案為：1,1.

【點(diǎn)睛】

此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計(jì)算模長(zhǎng)，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)(2)4

【解析】

(1)用分類討論思想去掉絕對(duì)值符號(hào)后可解不等式；

(2)由(1)得f(x)的最小值為4,則由m+1008+〃+1008=2020,代換后用基本不等式可得最小值.

【詳解】

—3x—2,x<—2

解：(1)/(x)=|x-2|+|2x+4|=<x+6,-2<x<2

3x+2,x>2

討論：

當(dāng)x<—2時(shí)，一3x—22一3x+4,即，一2之4此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)一24x(2時(shí)，x+62—3x+4,—,—?x<2；

22

當(dāng)x>2時(shí)93x+2之一3x+4,xN—2.

3

所求不等式的解集為卜IXN-；

(2)分析知，函數(shù)/(x)的最小值為4

.,.(2=4

.\m+n=a=4

20202020zu+1008+〃+1008m+1008+〃+1008

---------------1--------------=--------------------------------1-------------------------------

/?+1008n+1008m+1008n+1008

cn+1008m+1008

2+--------+---------

m+1008n+1008

ln+1008m+1008

>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃?=〃=2時(shí)等號(hào)成立.

Vm+1008n+1008

20202020

------------1-----------的最小值為4.

m+1008n+1008

【點(diǎn)睛】

本題考查解絕對(duì)值不等式，考查用基本不等式求最小值.解絕對(duì)值不等式的方法是分類討論思想.

18.16

【解析】

/JI\JIJII—

由夕cos6——二pcos8cos—+夕sinOsin—=。2,化簡(jiǎn)得夕以)56+夕5后6=2,由x=pcos0,y=psin0,所

I4J44

x=2t

以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y=2,因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為2，整理得V=8y,直線/的方程與曲線C

x+y=2/、/、

的方程聯(lián)立，，，整理得f+8x—16=0,設(shè)A（XQJ,6（X2，%），則玉+》=8,芭馬=-16,根據(jù)弦長(zhǎng)公

式求解即可.

【詳解】

\冗I-

由「cos0----=pcos^cos—+psin^sin—=V2,化簡(jiǎn)得/7cose+/?sin9=2,

I4)44

又因?yàn)閤=pcose,y=psin。，所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y=2,

x-2t

因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為12,消去，，整理得f=8y,

y=-r

I2

x+y=2

將直線/的方程與曲線C的方程聯(lián)立，〈2'o，消去整理得/+8X-16=0，

x=8y

設(shè)，則%+X=8,中2=-16,

所以A8=J（X1一毛）2+（/_必）2=J（X1—尤2）2+（%一%）2=及/（±+工2）2一4%々,

將X1+X=8,王馬=-16,代入上式，整理得AB=16.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，結(jié)合弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題.

19.（1）1=./住sinO=X3,/的最小值為名叵.（3）0=9時(shí)，面積S取最小值為8百

smBcos-外124）326

【解析】

(1)NENM=ZMNB=0,NEMA=2。,利用三角函數(shù)定義分別表示NB,MB,ME,AM,且4W+MB=6,即可得到

BN-——<12

sin6cos。

3

/關(guān)于。的解析式；BN<n,BM<6M\BM=——<6，即可得到。的范圍;

cos'0

0<^<-

2

(2)由⑴，若求/的最小值即求sinGcos?夕的最大值,即可求sirecos4夕的最大值，設(shè)為r(e)=sin26cos令

x=cos2。，貝I尸(8)=(1一,即可設(shè)g(x)=(1—x?2,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得g(x)的最大值，進(jìn)而

求解;

1,91…2811s

(3)由題,S=耳/-sindcos。=-X八,—<e<—'則*=W'sir?%。/。'設(shè)

2sin^cos3v124

t=co^e\—<e<-,〃(。=(1一沙3,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值，即可求得5的最小值.

124

【詳解】

解：⑴ZENM=AMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cosMB=ME=Isin仇AM=MEcos20=1sin6cos20.

因?yàn)?？^/+"8=6,所以法抽。(：0526+陵山。=6,,

6_3

所以/=

sin6(cos20+1)sin6cos20

3

BN=------------<12

sincos

BM=^-<6，所以

又BNW12,8MW6,則〈

cos23124

7t

O<0<-

2

所以/=——<^<-

sin^cos-^^124)

(2)記/(e)=sinecos26?，0〈e?7,

則f2(8)=sin26cos4。,

設(shè)了=以的2w，貝11尸(。)=(1一加2,

2r2

記g(x)=(1—x)x，貝(Jg(x)=2X-3X9

21

令g'(X)=O,則X=

-12-22+\l3

當(dāng)xw2,3時(shí)，g")>°；當(dāng)xw§，_J時(shí),gqx)<0,

所以g(x)在；，|上單調(diào)遞增，在[|，引聲]上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=cos26=2時(shí)/取最小值，此時(shí)sin。="，/的最小值為正.

332

1,9

(3)AEM7V的面積S=—/-sinecos6=-x

22

所以S2=@X—」—，設(shè)f=cos2《專4”7],則！w2+6

4sirrOcos。24

設(shè)/??)=(1_f)/,則l(f)=3產(chǎn)_4/,令/?)=o,/=[w[g,

所以當(dāng)I，|時(shí)/⑺>0；當(dāng)t€子時(shí),〃'⑺<0,

所以〃(f)在p|上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

37T

故當(dāng)f=3=COS2。，即e=:時(shí)，面積S取最小值為873

46

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力.

a=4

20.《

b=—\

【解析】

由M不存在逆矩陣，可得，出=T,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩陣乘法運(yùn)算即可.

【詳解】

因?yàn)锳/不存在逆矩陣，det(M)=：：=0,所以a匕=T.

b4

A+1—Q~、

矩陣”的特征多項(xiàng)式為/。)=,=A2-32-4-^=22-32,

-h25-4

令/(4)=0,則2=3或4=0,

-1a13

所以A/er=3二，即

b413

—1+。=3a=4

所以…3，所以

b=—\

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.

222

21.(1)Ci：—+y=LC2：x+(y-2)=1；(2)[0,噸+1]

92

【解析】

(I)消去參數(shù)<p可得G的直角坐標(biāo)方程，易得曲線Ci的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),可得Ci的直角坐標(biāo)方程；(II)

設(shè)M(3cos<p,sirup),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MCz|的取值范圍，結(jié)合圓的知識(shí)可得答案.

【詳解】

(1)消去參數(shù)(p可得Ci的普通方程為工+y2=l,