3.立體幾何1.如圖，在三棱柱ABF－DCE中，∠ABC＝120°，BC＝2CD,AD＝AF,AF⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥EC；(2)若AB＝1，求四棱錐B－ADEF的體積.(1)證明已知ABF－DCE為三棱柱，且AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD.∵BD?平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD為平行四邊形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD?平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC?平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于點(diǎn)H，∵AF⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF?平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝eq\f(\r(3),2)，∴VB－ADEF＝eq\f(1,3)×(2×2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).2.如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1).(1)求證：無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面BEF⊥平面ACD.(1)證明∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴無論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴無論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)解假設(shè)存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE?平面BEF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，∴AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由Rt△AEB∽R(shí)t△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故當(dāng)λ＝eq\f(6,7)時(shí)，平面BEF⊥平面ACD.3.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC＝AD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若M為線段PA的中點(diǎn)，且過C，D，M三點(diǎn)的平面與線段PB交于點(diǎn)N，確定點(diǎn)N的位置，說明理由；并求三棱錐A—CMN的高.(1)證明連接AC，在直角梯形ABCD中，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(AB－CD2＋AD2)＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C，AC，PC?平面PAC，故BC⊥平面PAC.(2)解N為PB的中點(diǎn)，連接MN，CN.因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，所以MN∥AB，且MN＝eq\f(1,2)AB＝2.又因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四點(diǎn)共面，所以N為過C，D，M三點(diǎn)的平面與線段PB的交點(diǎn).因?yàn)锽C⊥平面PAC，N為PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面PAC的距離d＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2).又S△ACM＝eq\f(1,2)S△ACP＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×AC×PC＝eq\r(2)，所以V三棱錐N—ACM＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(2,3).由題意可知，在Rt△PCA中，PA＝eq\r(AC2＋PC2)＝2eq\r(3)，CM＝eq\r(3)，在Rt△PCB中，PB＝eq\r(BC2＋PC2)＝2eq\r(3)，CN＝eq\r(3)，所以S△CMN＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).設(shè)三棱錐A—CMN的高為h，V三棱錐N—ACM＝V三棱錐A—CMN＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\r(2)，故三棱錐A—CMN的高為eq\r(2).4.(2018·樂山聯(lián)考)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P－ABC體積的最大值；(3)若BC＝eq\r(2)，點(diǎn)E在線段PB上，求CE＋OE的最小值.(1)證明在△AOC中，因?yàn)镺A＝OC,D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥OD.又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC.因?yàn)镈O∩PO＝O，DO，PO?平面PDO，所以AC⊥平面PDO.(2)解因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，所以當(dāng)CO⊥AB時(shí)，C到AB的距離最大，且最大值為1.又AB＝2，所以△ABC面積的最大值為eq\f(1,2)×2×1＝1.又因?yàn)槿忮FP－ABC的高PO＝1，故三棱錐P－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3).(3)解在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).同理PC＝eq\r(2)，所以PB＝PC＝BC.在三棱錐P－ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面C′PB，使之與平面ABP共面，如圖所示.當(dāng)O，E，C′共線時(shí)，CE＋OE取得最小值.又因?yàn)镺