第五章兩自由度系統(tǒng)振動§5-1概述單自由度系統(tǒng)的振動理論是振動理論的根底。在實際工程問題中，還經常會遇到一些不能簡化為單自由度系統(tǒng)的振動問題，因此有必要進一步研究多自由度系統(tǒng)的振動理論。兩自由度系統(tǒng)是最簡單的多自由度系統(tǒng)。從單自由度系統(tǒng)到兩自由度系統(tǒng)，振動的性質和研究的方法有質的不同。研究兩自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動特性的根底。所謂兩自由度系統(tǒng)是指要用兩個獨立坐標才能確定系統(tǒng)在振動過程中任何瞬時的幾何位置的振動系統(tǒng)。很多生產實際中的問題都可以簡化為兩自由度的振動系統(tǒng)。①汽車動力學模型：圖3.1兩自由度汽車動力學模型§5-2兩自由度系統(tǒng)的自由振動一、系統(tǒng)的運動微分方程②以圖3.2的雙彈簧質量系統(tǒng)為例。設彈簧的剛度分別為k1和k2，質量為m1、m2。質量的位移分別用x1和x2來表示，并以靜平衡位置為坐標原點，以向下為正方向。(分析)在振動過程中的任一瞬間t，m1和m2的位移分別為x1及x2。此時，在質量m1上作用有彈性恢復力，在質量m2上作用有彈性恢復力。這些力的作用方向如下圖。應用牛頓運動定律，可建立該系統(tǒng)的振動微分方程式： 〔3.1〕令 那么〔3.1〕式可改寫成如下形式：〔3.2〕這是一個二階常系數線性齊次聯(lián)立微分方程組。(分析)在第一個方程中包含項，第二個方程中那么包含項，稱為“耦合項”〔couplingterm〕。這說明，質量m1除受到彈簧k1的恢復力的作用外，還受到彈簧 k2的恢復力的作用。m2雖然只受一個彈簧k2恢復力的作用，但這一恢復力也受到第一質點m1位移的影響。我們把這種位移之間有耦合的情況稱為彈性耦合。假設加速度之間有耦合的情況，那么稱之為慣性耦合。二、固有頻率和主振型[創(chuàng)造思維：]從單自由度系統(tǒng)振動理論得知，系統(tǒng)的無阻尼自由振動是簡諧振動。我們也希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動中找到簡諧振動的解。因此可先假設方程組〔3.2〕式有簡諧振動解，然后用待定系數法來尋找有簡諧振動解的條件。設在振動時，兩個質量按同樣的頻率和相位角作簡諧振動，故可設方程組〔3.2〕式的特解為： 〔3.3〕其中振幅A1與A2、頻率、初相位角都有待于確定。對〔3.3〕式分別取一階及二階導數：〔3.4〕將〔3.3〕、〔3.4〕式代入〔3.2〕式，并加以整理后得： 〔3.5〕上式是A1、A2的線性齊次代數方程組。A1、A2=0顯然不是我們所要的振動解，要使A1、A2有非零解，那么〔3.5〕式的系數行列式必須等于零，即：=0將上式展開得： 〔3.6〕解上列方程，可得如下的兩個根： 〔3.7〕由此可見，〔3.6〕式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為系統(tǒng)的頻率方程〔frequencyequation〕或特征方程〔characteristicequation〕。特征方程的特征值〔characteristicvalue〕即頻率只與參數a，b，c有關。而這些參數又只決定于系統(tǒng)的質量m1，m2和剛度k1，k2，即頻率只決定于系統(tǒng)本身的物理性質，故稱為系統(tǒng)的固有頻率。兩自由度系統(tǒng)的固有頻率有兩個，即稱為第一階固有頻率〔firstordernaturalcircularfrequency〕[基頻]。稱為第二階固有頻率〔secondordernaturalcircularfrequency〕。[〔推廣〕理論證明，n個自由度系統(tǒng)的頻率方程是的n次代數方程，在無阻尼的情況下，它的n個根必定都是正實根，故主頻率的個數與系統(tǒng)的自由度數目相等。]將所求得的和代入〔3.5〕式中得： 〔3.8〕式中：——對應于的質點m1，m2的振幅；——對應于的質點m1，m2的振幅。由此可見，對應于和，振幅A1與A2之間有兩個確定的比值。稱之為振幅比〔amplituderatio〕。將〔3.8〕式與〔3.3〕式聯(lián)系起來可以看出，兩個m1與m2任一瞬間位移的比值。系統(tǒng)的其它點的位移都可以由x1及x2來決定。這樣，在振動過程中，系統(tǒng)各點位移的相比照值都可以由振幅比確定，也就是振幅比決定了整個系統(tǒng)的振動形態(tài)。因此，我們將振幅比稱為系統(tǒng)的主振型〔principalmode〕，也可稱為固有振型〔naturalmode〕。其中：——第一主振型，即對應于第一主頻率的振幅比；——第二主振型，即對應于第二主頻率的振幅比。當系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應的主振型作振動時，即稱為系統(tǒng)的主振動〔principalvibration〕。所以，第一主振動為： 〔3.9〕第二主振動為： 〔3.10〕為了進一步研究主振型的性質，可以將〔3.7〕式改寫成如下形式：因為因為上式的等式右邊恒大于零，所以，由〔3.8〕式知，因為上式的等式右邊恒小于零，所以，由〔3.8〕式知，。(說明)由此可見，表示的符號相同，即第一主振動中兩個質點的相位相同。因此，假設系統(tǒng)按第一主振型進行振動的話，兩個質點就同時向同方向運動，它們同時經過平衡位置，又同時到達最大偏離位置。而，那么表示第二主振動中兩個質點的相位相反，永遠相差180°。當質量m1到達最低位置時，質量m2恰好到達最高位置。它們一會相互別離，一會又相向運動，這樣，在整個第二主振動的任一瞬間的位置都不改變。這樣的點稱為“節(jié)點”〔nodalpoint〕?！肮?jié)點”圖3.3兩自由度系統(tǒng)的主振動與主振型振動理論證明，多自由度系統(tǒng)的i階主振型一般有i－1個節(jié)點。這就是說，高一階的主振型就比前一階主振型多一個節(jié)點。階次越高的主振動，節(jié)點數就越多，故其相應的振幅就越難增大。相反，低階的主振動由于節(jié)點數少，故振動就容易激起。所以，在多自由度系統(tǒng)中，低頻主振動比高頻主振動危險。三、系統(tǒng)對初始條件的響應[思維方式：]前面分析了兩自由度系統(tǒng)的主振動，而這些主振動又都是簡諧振動。但兩自由度系統(tǒng)在受到干擾后出現的自由振動究竟是什么形式呢？這要取決于初始條件。從微分方程的理論來說，兩階主振動只是微分方程組的兩組特解。而它的通解那么應由這兩組特解相疊加組成。從振動的實踐來看，兩自由度系統(tǒng)受到任意的初干擾時，一般來說，系統(tǒng)的各階主振動都要激發(fā)。因而出現的自由振動應是這些簡諧振動的合成。所以，在一般的初干擾下，系統(tǒng)的響應是：〔3.11〕式中，四個未知數要由振動的四個初始條件來決定。設初始條件為：t=0時，經過運算，可以求出：〔3.12〕將〔3.12〕式代入〔3.11〕就得到系統(tǒng)在上述初始下響應。四、振動特性的討論1．運動規(guī)律從〔3.11〕式可以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是由兩個簡諧振動合成的。但從〔3.7〕式來看，這兩個分振動的頻率的比值卻不一定是有理數，因此合成不一定呈周期性。所以系統(tǒng)的自由振動一般來說是一種非周期的復雜運動。在這一振動中，各階主振動所占的比例由初始條件決定。但由于低階振型易被激發(fā)，所以通常情況下總是低階主振動占優(yōu)勢。只有在某種特殊的初始條件下，系統(tǒng)才按一種主振型進行振動。2．頻率和振型兩自由度系統(tǒng)有兩個不同數值的固有頻率，稱為主頻率，當系統(tǒng)按任一個固有頻率作自由振動時，即稱為主振動。系統(tǒng)作主振動時，任何瞬間的各點位移之間具有一相比照值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，稱為主振型。3．節(jié)點和節(jié)面在兩自由度系統(tǒng)的第二階主振型中存在著節(jié)點，而在第一階主振型中卻不存在節(jié)點。對多自由度系統(tǒng)來說也是如此，而且主振型的階數越高，那么節(jié)點數也就越多。一般來說，第i階主振型有i-1個節(jié)點。對于彈性體來說，節(jié)點已經不再是一個點，而是聯(lián)成線或面，稱為節(jié)線〔nodalline〕和節(jié)面〔nodalsurface〕。4．阻尼假設系統(tǒng)存在阻尼，那么阻尼對多自由度系統(tǒng)的影響和單自由度系統(tǒng)相似。由于在工程結構中一般阻尼較小，故可略去不計。[例]試求如圖3.4所示的系統(tǒng)的固有頻率和主振型。。又假設初始條件為，試求系統(tǒng)的響應。解：該系統(tǒng)的運動微分方程式為令那么可解出：[類比前面形式]因為 故 根據給定的初始條件，代入〔3.12〕式得：故系統(tǒng)的響應為：§5-3兩自由度系統(tǒng)的受迫振動一、系統(tǒng)的運動微分方程和單自由度系統(tǒng)一樣，兩自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用時就會產生受迫振動，而且在一定條件下也會產生共振。圖3.8所示為兩自由度無阻尼受迫振動系統(tǒng)的動力學模型。我們稱簡諧激振力作用的m1-k1質量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)。把不受激振力作用的m2-k2質量彈簧系統(tǒng)稱為副系統(tǒng)。這一振動系統(tǒng)的運動微分方程式為： 〔3.13〕令 那么〔3.13〕式可改寫成：〔3.14〕這是一個二階線性常系數非齊次微分方程組，其通解由兩局部組成。一是對應于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動。二是對應于上述非齊次方程組的一個特解，它是由激振力引起的受迫振動，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動。我們只研究穩(wěn)態(tài)振動，故設上列微分方程組有簡諧振動的特解：〔3.15〕式中，B1、B2是m1、m2的振幅，在方程組中是待定常數。對〔3.15〕式分別求一階、二階導數，〔3.16〕將〔3.15〕及〔3.16〕式代入〔3.14〕式得： 〔3.17〕這是一個二元非齊次聯(lián)立代數方程，它的解可用行列式原理求出：〔3.18〕這就是說，我們期待的方程組〔3.14〕式的簡諧振動特解是可以得到的。二、振動特性的討論1．運動規(guī)律由〔3.15〕式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動的運動規(guī)律是簡諧振動。2．頻率兩自由度系統(tǒng)受迫振動的頻率與激振力的頻率相同。3．振幅由〔3.18〕式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率，以及系統(tǒng)本身的物理性質。現分別討論如下：〔1〕激振力幅值p0的影響因為p∝p0，所以p0與B1、B2成線性關系。即p0越大，振幅B1、B2也越大?！?〕激振力頻率的影響為了說明對振幅的影響，我們以B1、B2為縱坐標，以為橫坐標，將〔3.18〕式作成曲線示圖3.9中，稱之為振幅頻率響應曲線，或稱幅頻特性曲線。它說明了系統(tǒng)位移對頻率的響應特性。討論：①當，這說明，此時激振力的作用和靜力的作用相當。②當，即激振力頻率等于系統(tǒng)第一或第二階固有頻率時，系統(tǒng)即出現共振現象，振幅B1、B2均急劇增加。這就是說，在兩自由度系統(tǒng)中，如果激振力的頻率和系統(tǒng)的任何一階固有頻率相近時，系統(tǒng)都將產生共振。也就是說，兩自由度系統(tǒng)有兩個共振區(qū)。現在我們來分析一下系統(tǒng)共振時的振型。由〔3.18〕式可得質量m1和m2的振幅比為： 〔3.19〕這說明，在一定的激振頻率下，兩個質量的振幅比是一個確定值。當激振頻率等于第一階固有頻率時，兩個質量的振幅比的即為： 〔3.20〕當時，那么 〔3.21〕這說明，系統(tǒng)以那一階固有頻率共振，那么此時的共振振型就是那一階主振型。這是多自由度系統(tǒng)受迫振動的一個極為重要的特性。在實踐中，經常用共振法測定系統(tǒng)的固有頻率，并根據測出的振型來判定固有頻率的階次，就是利用了上述這一規(guī)律。當故這就是說，副系統(tǒng)通過彈簧k2傳給主系統(tǒng)的力，正好與作用在主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動就被副系統(tǒng)吸收掉了。主系統(tǒng)的質量m1就如同不受激振力作用一樣，保持靜止。這種現象可以被利用來作為減小振動的一種措施。當，即激振力的頻率很高時，兩個質量m1和m2都幾乎不動。這時受迫振動現象也進入慣性區(qū)了。4．相位由于系統(tǒng)是無阻尼的情況，所以只要觀察振幅的正負變化就可以說明相位的變化。現將振幅計算公式〔3.18〕式的分母作如下的變換： 〔3.23〕由系統(tǒng)的頻率方程〔3.6〕式，可以得知頻率方程的兩個根必定滿足以下關系式： 〔3.24〕將〔3.24〕式代入〔3.23〕式得： 〔3.25〕因而〔3.18〕式可改寫成： 〔3.26〕從〔3.26〕式中可以看出：在階段，B1、B2均為正值。故質量m1、m2的位移和激振力是同相的，即兩個質量的位移也同相。當時，運動的相位對于激振力要出現相位突跳的反相。當時，B1=0，此后，B1又重新成為正值，但B2卻仍保持負值。這就是說，在階段，B1與激振力同相，B2與激振力反相。即兩個質量之間的相位相反。當以后，B1又改變?yōu)樨撝担鳥2卻保持正值。根據以上分析，可作出如圖3.10所示的相頻特性曲線三、動力減振器根據兩自由度系統(tǒng)受迫振動的振動特性的分析得知，只要適當地選擇系統(tǒng)的參數，就可以使主系統(tǒng)的受迫振動被副系統(tǒng)所吸收，從而使主系統(tǒng)不動，動力減振器就是應用這一原理來設計的。動力減振器是用彈性元件把一個輔助質量固定到振動系統(tǒng)上的一種減振裝置，其動力學模型如圖3.11所示。圖中m1、k1為原振動系統(tǒng)〔主系統(tǒng)〕的質量〔主質量〕和彈簧剛度。m2、k2為動力減振器〔附加系統(tǒng)〕的質量〔輔助質量〕和彈簧剛度，c為動力減振器的阻尼。為作用在主系統(tǒng)上的激振力。從圖3.11可以看出，在主系統(tǒng)上增加了附加系統(tǒng)后，即使原來的單自由度系統(tǒng)變?yōu)閮勺杂啥认到y(tǒng)。其運動微分方程式為：〔3.27〕設上列方程組的特解為：〔穩(wěn)態(tài)振動〕〔3.28〕將〔3.28〕式及其一階、二階導數代入〔3.27〕式得：〔3.29〕解上列聯(lián)立方程，求出主系統(tǒng)的振幅B1，并化成實數形式：〔3.30〕為了簡化計算，引進以下符號：——主系統(tǒng)在激振力力幅p0作用下產生的靜變位；——主系統(tǒng)的固有頻率；——附加系統(tǒng)的固有頻率；——激振力頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；——減振器固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；——輔助質量與主質量之比；——減振器的阻尼比。那么〔3.29〕式可改寫成以下無量綱形式：〔3.31〕現根據減振器分類進行討論：〔普遍式〕1．無阻尼動力減振器假設減振器沒有阻尼元件，那么，故〔3.31〕式簡化為： 〔3.32〕由此可見，當時，B1=0。即當減振器的固有頻率等于激振頻率時，輔助m2通過彈性元件k2作用于主質量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系統(tǒng)振幅為零，從而到達消振的目的。當激振頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即λ=1時，主系統(tǒng)產生共振。為了消除系統(tǒng)共振，應使減振器固有頻率等于主系統(tǒng)固有頻率，即令。假設再取質量比，那么〔3.32〕式中的四個變量就固定了兩個。對即可作出主系統(tǒng)的幅頻響應曲線，如圖3.12所示。從圖中可以看到，主系統(tǒng)共振點的振幅已經消失。但又出現了兩個新的共振點。這兩點的坐標值可以從〔3.32〕式的分項等于零時求出：因為故上式成為所以 〔3.33〕對于，質量比為的系統(tǒng)，兩個固有頻率〔主頻率〕為： 〔3.34〕顯然，當激振頻率正好等于或時，都會使系統(tǒng)產生新的共振。根據〔3.33〕式可作出與的關系曲線，如圖3.13所示它們表示了系統(tǒng)的兩個主頻率或的相隔范圍。我們希望這兩個主頻率相距較遠。但對于穩(wěn)定的定速運轉機械，值那么還可以取得小些。由以上分析可見，使用無阻尼動力減振器時要特別慎重，應用不當會帶來新的禍患。所以，這種減振器主要用于激振頻率變化不大的情況。{教學演示片：}2．有阻尼動力減振器當減振器有阻尼元件時，那么根據〔3.31〕式，以為參變量，仍令，所作出的主系統(tǒng)的幅頻響應曲線如圖3.15所示?！病硰膱D上可以看出：1〕無論阻尼的為何值，幅頻響應曲線均經過P、Q兩點，也就是說，當頻率比位于P點和Q點相應的頻率比值時，主系統(tǒng)的受迫振動的振幅與阻尼比的大小無關，這一物理現象是設計有阻尼動力減振器的重要依據。2〕假設令相等，就可求得P點和Q點的橫坐標值。當時從〔3.31〕式得： 〔3.35〕令〔3.32〕式與〔3.35〕式相等得上式等號左邊假設取正號，那么解出λ=0，這對減振沒有意義。故取負號，那么上式可展開得：〔3.36〕解上列代數方程得：〔3.37〕將求得的值代入〔3.32〕式〔3.35〕式，即可得P、Q兩點的縱坐標值： 〔3.38〕這里需要說明一點，即Q點的縱坐標值之所以為負值，是因為P、Q兩點在共振點〔〕的兩側，兩者的相位是相反的，所以這兩點的振幅的符號也相反，因此，在圖3.15中，在右邊的曲線，實際上應該畫在橫坐標軸的下方，〔現在為了直觀起見〕。3〕既然無論值是多少，所有的幅頻響應曲線都要經過P、Q兩點。因此，的最高點都不會低于P、Q兩點的縱坐標。[思想方法]為了使減振器獲得較好的減振效果，就應該設法降低P、Q兩點，并使P、Q兩點的縱坐標相等，而且成為曲線上的最高點。這樣，減振后主系統(tǒng)振幅B1與靜變位的比值就會減小，并限制在P、Q兩點所對應的振幅以下〔見圖3.16〕。研究工作證明，為了使P、Q兩點等高，就要適中選擇值；為了使的最大值在P、Q兩點上，就要適中選擇值。所以選擇的和值，分別稱為最正確頻率比〔optimumfrequencyratio〕和最正確阻尼比〔optimumdampingratio〕。下面就來分別介紹它們確實定方法?！?〕最正確頻率比確實定?！驳谝徊健碁榱耸筆、Q兩點等高，即使P、Q兩點的縱坐標相等，應使〔3.38〕式所表示的與相等。即：解之得： 〔3.39〕根據代數方程理論，由〔3.36〕式得知 〔3.40〕聯(lián)立〔3.39〕式及〔3.40〕式，并求解得：所以〔3.41〕將值代入〔3.37〕式，即得到與P、Q兩點相應的橫坐標值： 〔3.42〕將〔3.42〕式代入〔3.32〕式或〔3.35〕式，即得到在選取最正確頻率比的情況下，P、Q兩點的縱坐標值： 〔3.43〕[分析]可見，要降低P、Q兩點的縱坐標，應使質量比增大，即增加減振器中的輔助質量m2。m2