第14章三角形（單元提升卷）（滿分100分，完卷時間90分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分）1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則BF的長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【分析】求出∠FBD＝∠CAD，AD＝BD，證△DBF≌△DAC，推出BF＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵F是高AD和BE的交點，∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEF＝90°，∴∠CAD+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CAD＝∠FBD，∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠ABD，∴AD＝BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF＝AC＝8cm，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應用，關鍵是推出△DBF≌△DAC．2．已知某三角形第一條邊長為（2a﹣b）cm，第二條邊比第一條邊長（a+b）cm，第三條邊比第一條邊的2倍少（a﹣b）cm，則這個三角形的周長為（）A．3acm B．（3a﹣b）cm C．（5a﹣b）cm D．（8a﹣2b）cm【分析】先分別求出第二條邊和第三條邊的長度，再求三角形的周長即可．【解答】解：第二天邊長為：（2a﹣b）+（a+b）＝（3a）cm；第三條邊長為：2（2a﹣b）﹣（a﹣b）＝（3a﹣b）cm；這個三角形的周長為：（2a﹣b）+3a+（3a﹣b）＝（8a﹣2b）cm；故選：D．【點評】本題主要考查整式的加減法，根據(jù)題意正確列出代數(shù)式是解題的關鍵．3．若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．6對【分析】以BC為公共邊的“共邊三角形”有：△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC三對．【解答】解：△BDC與△BEC、△BDC與△BAC、△BEC與△BAC共三對．故選：B．【點評】考查全面準確的識圖能力．4．已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點，∠1＝∠2．圖中全等的三角形共有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【分析】解此題的關鍵是三角形全等的判定定理的準確應用．三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做題時要從已知入手由易到難，不重不漏．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故選：A．【點評】此題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是要注意正確識圖．5．平面上有△ACD與△BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，則∠BPD的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．130° D．155°【分析】易證△ACD≌△BCE，由全等三角形的性質(zhì)可知：∠A＝∠B，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為360°，即可求出∠BPD的度數(shù)．【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，∴∠BCA＝∠ECD，∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠BCA+∠ECD＝100°，∴∠BCA＝∠ECD＝50°，∵∠ACE＝55°，∴∠ACD＝105°∴∠A+∠D＝75°，∴∠B+∠D＝75°，∵∠BCD＝155°，∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是利用整體的數(shù)學思想求出∠B+∠D＝75°．6．在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線（箭頭表示行進的方向），則路程最長的行進路線圖是（）A． B． C． D．【分析】分別構造出平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)進行比較，即可判斷．【解答】解：如圖A中、延長AC、BE交于S，∵∠CAB＝∠EDB＝45°，∴AS∥ED，則SC∥DE．同理SE∥CD，∴四邊形SCDE是平行四邊形，∴SE＝CD，DE＝CS，即走的路線長是：AC+CD+DE+EB＝AC+CS+SE+EB＝AS+BS；如圖B中、延長AF、BH交于S，作EG∥AS交BS于E．顯然AF+FG+GH+HB＜SA+SB．如圖C中、延長AI到S，使得∠SBA＝70°，SB交KM于T．顯然AI+IK+KM+BM＞SA+SB，如圖D中、顯然AN+NQ+QP+PB＞SA+SB．如圖D中，延長AN交BP的延長線于T．作∠RQB＝45°，顯然：AN+NQ+QP+PB＞AN+NQ+QR+RB，即AN+NQ+PQ+PB＞AI+IK+KM+MB，綜上所述，D選項的所走的線路最長．故選：D．【點評】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等．二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．如圖，△ABC中，D是BC上一點，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，則∠ADC＝52度．【分析】設∠ADC＝α，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+102°﹣＝180°，解得：α＝52°．故答案為：52．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等．8．等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則另兩邊為6，4或5，5．【分析】此題分為兩種情況：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底邊．然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．【解答】解：當腰是6時，則另兩邊是4，6，且4+6＞6，滿足三邊關系定理；當?shù)走吺?時，另兩邊長是5，5，5+5＞6，滿足三邊關系定理，故該等腰三角形的另兩邊為：6，4或5，5．故答案為：6，4或5，5．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，應從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法，難度適中．9．如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD＝30°．【分析】根據(jù)正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因為AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，故答案為：30．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°和等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．10．如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝36°，∠C＝76°，則∠DAF＝20度．【分析】根據(jù)角平分線的定義和高的定義結合三角形的內(nèi)角和定理來解答．【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝68°×＝34°，在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．【點評】主要考查了角平分線、三角形高的定義和三角形的內(nèi)角和定理．11．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF∥AC交BC于點F，若BC＝a，AB＝c，AC＝b，則△DEF的周長為a．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠EBD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABD＝∠EDB，然后求出∠EBD＝∠EDB，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BE＝DE，同理可得CF＝DF，然后求出△DEF的周長＝BC，代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，同理可得：CF＝DF，∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝BE+EF+CF＝BC，∵BC＝a，∴△DEF的周長＝a．故答案為：a．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，主要利用了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．12．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E在AB上，且AD＝AC，BE＝BC，若∠A＝60°，則∠DCE＝45°．【分析】由題意得出△ACD是等邊三角形，求出∠BCD＝30°，再根據(jù)BE＝BC，求出∠BCE＝75°，進而即可得出答案．【解答】解：已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AD＝AC，∴△ACD是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠BCD＝∠ADC﹣∠B，∴∠BCD＝30°，∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，故答案為：45°．【點評】本題主要考查等腰三角形和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練運用性質(zhì)是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝45°．【分析】延長CH交AB于點F，銳角三角形三條高交于一點，所以CF⊥AB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：延長CH交AB于點F，在△ABC中，三邊的高交于一點，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三內(nèi)角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為∠CHD＝45°．【點評】考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內(nèi)角和為180°．14．一個等腰三角形的兩邊長分別是2cm、5cm，則它的周長為12cm．【分析】本題沒有明確說明已知的邊長那一條是腰長，所以需要分兩種情況討論．【解答】解：分兩種情況討論①腰長為5時，三邊為5、5、2，滿足三角形的性質(zhì)，周長＝5+5+2＝12cm；②腰長為2cm時，三邊為5、2、2，∵2+2＝4＜5，∴不滿足構成三角形．∴周長為12cm．故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外角∠DAC＝130°，則∠B＝65°．【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠C，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，∵∠DAC＝130°，∴∠B＝×130°＝65°．故答案為：65．【點評】本題考查了等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．16．邊長為2的正三角形的面積是．【分析】求出等邊三角形一邊上的高，即可確定出三角形面積．【解答】解：過A作AD⊥BC，∵AB＝AB＝BC＝2，∴BD＝CD＝BC＝1，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝，則S△ABC＝BC?AD＝，故答案為：．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵．17．如圖，在等腰△ABC中，BA＝BC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE＝3cm，則P點到直線AB的距離為3cm．【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝BC，可得到∠ABD＝∠DBC，再利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到答案．【解答】解：過點P作PF⊥AB與點F，∵BD垂直平分線段AC，∴AB＝CB，∴∠ABD＝∠DBC，即BD為角平分線，又PF⊥AB，PE⊥CB，∴PF＝PE＝3cm．故答案為：3cm．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．18．如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是50．【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以證明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理證得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG，故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面積的割補法和面積公式即可求出圖形的面積．【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°?∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG?△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理證得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案為50．【點評】本題考查的是全等三角形的判定的相關知識．作輔助線是本題的關鍵．三、解答題（58分）19．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD＝DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB＝90°，DE＝1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【解答】（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2．【點評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．20．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)？【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）證明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、F分別在AB、AC上，CF＝CB，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF．（1）求證：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度數(shù)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CD＝CE，再根據(jù)同角的余角相等可證明∠BCD＝∠FCE，再根據(jù)全等三角形的判定方法即可證明△BCD≌△FCE；（2）由題意：∠DCE＝90°，易求∠E＝90°，進而可求出∠BDC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由題意：∠DCE＝90°，∵EF∥CD，∴∠E＝180°﹣∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、同角的余角相等、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．22．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）從三角板的刻度可知AC＝25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．（2）由題意得：AD＝4a，BE＝3a，根據(jù)全等可得DC＝BE＝3a，根據(jù)勾股定理可得（4a）2+（3a）2＝252，再解即可．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：∵一塊墻磚的厚度為a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2＝AC2，∴（4a）2+（3a）2＝252，∵a＞0，解得a＝5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，以及勾股定理的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．23．如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對應邊的關系，進而得出△ABP≌△QCA，即可得出結論．（2）在（1）的基礎上，證明∠PAQ＝90°即可．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形兩個銳角互余），∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA中，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ（全等三角形對應邊相等）．（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對應角相等），∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ（垂直定義）．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握并運用．24．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）若點G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE+GD成立嗎？為什么？【分析】（1）由DF＝BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE＝CF．（2）由（1）得，CE＝CF，∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°又∠GCE＝45°所以可得∠GCE＝∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG＝FG＝GD+DF．又因為DF＝BE，所以可證出GE＝BE+GD成立．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE＝CF．（2）解：GE＝BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE＝GF．∴GE＝DF+GD＝BE+GD．【點評】本題主要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．25．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關系是DE∥AC；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是S1＝S2．（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，點D是角平分線上一點，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF＝S△BDE，請直接寫出相應的BF的長．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE＝DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2＝60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1＝DF2，再求出∠CDF1＝∠CDF2，利用“邊角邊”證明△C