空間向量與平行關(guān)系

(45分鐘100分)

一、選擇題(每小題6分，共30分)

1.直線I的一個(gè)方向向量為n=(l,3,a),平面a的一個(gè)法向量為k=(b,2,3),若

/〃a,則a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式為()

A.3a+b+6=0B.a=3bC.3a-b+6=0D.a=-3b

2.若直線a與b的一個(gè)方向向量分別是a=(l,2,4),b=(T,-2,m),若a/7b,則m

的值為()

A.4B.-4C.-2D.2

3.設(shè)a,b分別是不重合的直線h,〃的一個(gè)方向向量,則根據(jù)下列條件能判斷IJ/

4的是()

①a=&l,0),b=(-2,-4,0);

②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);

③a=(5,0,2),b=(0,1,0);

@a=(-2,-l,l),b=(4,-2,-8).

A.①②B.②③C.③④D.①④

4.在正方體ABCD-ABCD中，若E1為AC的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),則與CEi平行的

直線為()

A.ADB.ACC.EB)D.EA,

5.在正方體ABCD-ABCD中，棱長為a,M,N分別為

ABAC的中點(diǎn),則MN與平面B.BCC.的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.不能確定

二、填空題（每小題8分，共24分）

6.（2013?濟(jì)南高二檢測）設(shè)平面a的一個(gè)法向量為⑶2,-1）,平面B的一個(gè)法向

量為（-2,-±,1＜）,若。〃6,則女等于

3-------------------

7.若直線I的一個(gè)方向向量為a=（3,2,-1）,直線m//1,則直線m的單位方向向量

為.

8.正方體ABCD-ABCD的棱長為1,E為BBi的中點(diǎn),F為AD的中點(diǎn)，以DA,DC,DD,

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面DEF的法向量是.

三、解答題（9題,10題14分,11題18分）

9.在正方體ABCD-ABCD中,AJ）的中點(diǎn)為E,BD的中點(diǎn)為F,證明：CD1〃EF.

10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別是棱AD,AB,DC,

BC的中點(diǎn).

求證:平面AMN〃平面EFBD.

IL（能力挑戰(zhàn)題）已知：四棱錐P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,

底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,NABC=60°,BC,PD的中點(diǎn)

分別為E,F.在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得AF〃平面

PCG?若存在，指出G在AB上的位置并給出證明；若不存在,

請說明理由.

答案解析

1.【解析】選A.a,.\n_Lk,即n?k=b+解3a=0,

3a+b+6=0.

2.【解析】選B.?.?a〃b,???a〃b，故m二一4.

3.【解題指南】本題為求解適合平行的充分條件，可逐一驗(yàn)證，因此適用排除法.

【解析】選A.①a==b,二人〃/2,排除B,C,(Da=-2b,：.U//l,故選A.

4.2

【變式備選】設(shè)u,v分別是不同的平面a,B的一個(gè)法向量，根據(jù)下列條件能判

斷a〃B的是.

①u二(-1,1,-2),v=(3,2,--)；

7

②u二(0,0,3),v=(0,0,-2);

③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).

【解析】判斷兩個(gè)法向量是否平行即可.

①?.?u=kv的k值不存在，...u與v不平行；

②11=一與，u〃v,a〃B;

③?「u=kv的k值不存在，...u與v不平行.

答案:②

4.【解析】選D.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

設(shè)AB=1，則C(1,1,0),Ei(-,-,1),ACE=1).

77t77

又A(0,0,1),E(ii0),

EAi=D,故CE]〃EA],又CEi與EA,不重合，故選D.

77

5.【解題指南】由正方體易建立空間直角坐標(biāo)系，可選Bi或

G為原點(diǎn)，求M,N的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【解析】選B.以G為原點(diǎn)，以C]Bi，CiDi，gC所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

?e?N(-,a),

22

M(a,

22

而平面BBCG的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

AMN?n=0.又MN「平面BBCG,

，MN與平面BBCG平行.

6.【解析】：a〃B,??.(3,2,-1)=入(-2,-士,k),

3

入入k=T,k=-.

73

答案

3

7.【解析】?*〃/,.■=(3,2,7)也是直線m的方向向量，又|a|二?ll,

所求的向量為土衛(wèi)(3,2,7),即m的單位方向向量為(型，士，-任)或

1414714

(_314_V^4VI4)

14’7'14'

答案：(迎,包，3V14

~11±)或(->_迎,

1471414’7’14

8.【解析】根據(jù)題意得》(0,0,1),E(1,1「)產(chǎn)&0,0),

77

產(chǎn)e,0,-1),D7E=(1,1,--).

設(shè)平面D,EF的法向量是n=(x,y,z),則：

f---1

n*/9iF=-J.—N=0,=

一解得=_芭

n?I)\E=j.--\-y----2=0,2

取z=2k(kHO),貝Mx=4k,y=-3k,

An=(4k,-3k,2k)(kHO).

答案：(4k,一3k,2k)(kHO)

9.【證明】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)

AB=1,則C(0,1,0),^(0,0,1),

，(0,—1,1),又A】(1,0,1),D(0,0,0),

/.E(i0,-),又Fd；,O),

7777

.*.EF=(O,i-i).

-,.CD^EF,ACDi/ZEF,又TCJEF,故CD/EF.

10.【證明】方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分

別取MN,DB及EF的中點(diǎn)R,T,S,連結(jié)AR,ST,

則A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,-,4),D(0,0,0),B(2,3,0),

E(0,4),F(1,3,4),R(-,-,4),S(-,4),T(1,-,0).

274.74.7

.*.MN=(1,-,0),EF=(1,-,0),

AR=(--,4),TS=(--,4).

74.74.

.??MN=EF,AR=TS,

又MN與EF,AR與TS不共線,

...MN〃EF,AR〃TS.

，MN〃平面EFBD,AR〃平面EFBD,

又MNu平面AMN,ARu平面AMN,MNAAR=R,

，平面AMN〃平面EFBD.

方法二：建系同方法一，

由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,-,4),

7

D(0,0,0),E(0,4),F(1,3,4),

貝|局=(-1,0,4),東(0,三,4),DE=(0,-,4),DF=(1,3,4).

7?

設(shè)平面AMN,平面EFBD的法向量分別為

ni-(Xi,yi,Zi),112=(X2,N2,Z2),

(ni-AM=O,,-^+4^=0,

則―.即3

(/?i-AN=0,1丁丁1+44=0,

令Xi=1，得Zi-yi—~

43

ni—(1,,

34

廣,藝=0，即金2+*=0,

1〃2?DF=0,［彳2+3W+4之2=0，

令丫2二一1，得Z2二一，X2-

112—(-,—1,—),

78

nF-n2,即m〃n2,...平面AMN〃平面EFBD.

3

11.【解題指南】逆向推理是解決證明問題的關(guān)鍵，在證明中結(jié)合目標(biāo)逆向?qū)で?/p>

解題思路，充分利用棱柱、棱錐中的三角形、四邊形(正方形、長方形、菱形)的

性質(zhì)特征找到垂直關(guān)系與平行關(guān)系，可以有效地對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，忽視平面圖形

的性質(zhì)，會(huì)使解題無從入手.

【解析】由題意知PA_L平面ABCD,又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，得AB=BC且NABC二

60°，所以4ABC是正三角形，連接AE,又E是BC的中點(diǎn)，.'.BCLAE,故AE,AD,AP

彼此兩兩垂直，以AE,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

PA二