2022-2023學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.圓。J/+y2—4尤—6y+12=0與圓。2：—8尤—6y+16=0的位置關(guān)系是

（）

A.相交B.外離C.內(nèi)含D.內(nèi)切

2.若｛斯｝是等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的數(shù)列｛%｝也一定是等差數(shù)列的是（）

2

A.bn=B.bn=an+nC.bn=an+an+1D.bn=nan

3.己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為卻，且52=10,53=18,則過點(diǎn)P（n,an）和Q（n+

2,an+2）O€N,nN1）的直線的斜率是（）

A.1B.2C.3D.4

4.若函數(shù)/（x）=x-3也2光+asinx在（一8,+8）單調(diào)遞增，貝ija的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.C.D.[-1,-^]

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.直線x—6=0與直線x—y+3=。的夾角為.

6.兩直線口久+y-1=0與4x+ay—2=0平行，貝1Ja的值是.

7.雙曲線C；捻-過點(diǎn)（C，O,且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

8.雙曲線C：1的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為.

9.設(shè)直線y=a%+3與圓/+y2=4相交所得弦長(zhǎng)為2-，則a=.

10.已知F2是橢圓C：卷+白1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|叫|?|叫1的最大值為

11.已知無窮數(shù)列｛a“｝滿足即+1=為正整數(shù)），且的=2,則￡著心=.

12.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a"中，逞+2a6a8+若=100,則CI5+（19=.

13.調(diào)髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，該書中提到：從冬至之日起，小寒、

寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)次

成等差數(shù)列，若立春的日影子長(zhǎng)是12.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立夏的日影子為

尺.

14.已知數(shù)列｛廝｝滿足a】=1,an+1=2an+2（nGN*）,則與=.

15.已知在區(qū)間(0,1)上/'Q)>1.在下面所示的圖象中，可能表示函數(shù)y=/(x)的圖象的有

(填寫所有可能的選項(xiàng)).

16.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)/O)=x3+ax2+(a-3)久的導(dǎo)函數(shù)為/'(%),且/'(x)是偶函數(shù)，則曲

線:y=在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為

三、解答題(本大題共5小題，共52.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題8.0分)

2

已知數(shù)列｛an｝的前zi項(xiàng)和為Sn=33n-n.

(I)求證：數(shù)列｛a"是等差數(shù)列;

(II)求％的最大值及取得最大值時(shí)n的值.

18.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/(久)=excosx—2x.

(1)求曲線y=/(久)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,芻上的最大值和最小值.

19.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線外=2px(p>0)上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,且點(diǎn)P到F的距離為

5.

(1)求拋物線的方程；

(2)若斜率為1的直線Z交拋物線于4、B兩點(diǎn)(位于對(duì)稱軸異側(cè))，且瓦D=求直線I的方

4

程.

20.(本小題12.0分)

橢圓C的方程為/+3y2=4,4、8為橢圓的左右頂點(diǎn)，&、&為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)

點(diǎn).

(1)求橢圓的離心率;

(2)若APF/z為直角三角形，求AP6F2的面積；

⑶若Q、R為橢圓上異于P的點(diǎn)，直線PQ、PR均與圓/=r2(0<r<1)相切,記直線PQ、

PR的斜率分別為自、卜2,是否存在位于第一象限的點(diǎn)P，使得卜亞2=1?若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)y=f(久)是定義在［0,1］上的函數(shù)，若存在久°6(0,1),使得人久)在［0,久o］上是嚴(yán)格增函

數(shù)，在［與，1］上是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為［0,1］上的單峰函數(shù)，出稱為峰點(diǎn)，MH稱為含峰區(qū)

間.

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是“［0,1］上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)；若不是，說出原因：

《(久)=2久一久2,f2(x)=1—|4x-1|；

(2)若函數(shù)f(x)=2a(x+2>一%-1是區(qū)間［0,1］上的單峰函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：圓。1：久2+y2一4%一6y+12=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2尸+(y—3尸=1,圓心。式2,3),

半徑r=1,

圓。2：/+*_8%—6y+16=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y—3)2=9,圓心。2(4,3),半徑R=

3,

兩圓心之間的距離|。1。2|=4—2=2=R—r,

二兩圓內(nèi)切.

故選：D.

將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)兩圓圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.

本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，利用圓心距離和半徑之間的關(guān)系是解決圓與圓位置關(guān)系

的主要依據(jù).

2.【答案】C

【解析】解：???｛??｝是等差數(shù)列,

du—a^-1=d，

2

當(dāng)an=?i時(shí)，bn=a^=n,數(shù)列｛6?｝不是等差數(shù)列，

22

bn=an+n=n+n,數(shù)列｛4J不是等差數(shù)列，

bn-6n=an+an+1-+an)=2d,故數(shù)列｛6n｝也一定是等差數(shù)列，

2

bn=nan=n,數(shù)列｛4J不是等差數(shù)列.

故選：C.

^Lan=n,可判定選項(xiàng)A、B、。的真假，然后利用等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C即可.

本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及利用列舉法判定真假，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a1+a2=1。HrtA

則3a2=18'即的=4’a?=6,,

—a2-a1=2,

a九=的+（九一1）x2=2九+2,

。71+2=271+6,

故過點(diǎn)P(n,冊(cè))和QO+2,a)(nGN,nN1)的直線的斜率是=^=2.

n+2"十，一nz

故選:B.

先求出公差，再結(jié)合直線斜率公式，即可求解.

本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題，屬于中檔題.求出/0)的導(dǎo)數(shù)，由

題意可得，(%)20恒成立，設(shè)力=cosx(-1WtW1),貝1|5-4產(chǎn)+3at20,對(duì)t討論，分t=0,

0<t<l,-l<t<0,分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可求得所求范圍

【解答】

解：函數(shù)/(%)=x--sin2x+的導(dǎo)數(shù)為：/'(%)=1—~cos2x+acosx,

由題意可得/'(%)>0恒成立，即1—|cos2x+acosx>0,

即|—gcos2%+acosx>0,

設(shè)t=cosx(—1<t<1),則5—4t2+3at>0,

當(dāng)力=0時(shí)，不等式顯然成立；

當(dāng)0<t41時(shí)，3aZ4t——9令g(t)=4t——

由g(t)=4t—g(t)=4t—3在(0,1］單調(diào)遞增，可得t=l時(shí)，取得最大值-1,

可得3a>-1,即a>

當(dāng)—1Wt<0時(shí)，3a<4t——>

由g(t)=4t-*在［-1,0)單調(diào)遞增，可得t=—1時(shí)，取得最小值1,

可得3a<1,即aJ

綜上可得a的范圍是［-另］.

另解：設(shè)t=cosx(—1<t<1),即5—4t2+3at>0,

由題意可得5—4+3aN。，且5—4—3a20,

解得a的范圍是[―q勺.

故答案選：C.

5.【答案】450

【解析】解：由于直線力-6=0的斜率不存在，它的傾斜角為90。，

而直線x—y+3=0的斜率為1,傾斜角為45。，

故這兩條直線的夾角為45。.

故答案為：45。.

由題意，根據(jù)直線的斜率求出傾斜角，再根據(jù)兩直線的夾角的定義，得出結(jié)論.

本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】2

【解析】解：當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意，

當(dāng)aH0時(shí)，兩直線a%+y—1=0與4%+ay-2=0平行，

則3=工。解得。=2.

4a—2

故答案為：2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】/—[=1

【解析】解：因?yàn)殡p曲線離心率為2,所以c=2a,

所以=4a2=小+序，即/-3a2,

點(diǎn)代入雙曲線方程得：今-^2=1，

解得小=1,從=3,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：%2—9=L

故答案為：%2-=1.

根據(jù)離心率得出a,b的關(guān)系，代入點(diǎn)求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】2

【解析】解：???雙曲線方程為號(hào)一＜=1，

24

?,?雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(，石,0),

漸近線為y=±Cx,即「x±y=0,

可得焦點(diǎn)尸到其漸近線的距離為d=-^==2.

故答案為：2.

由雙曲線方程，算出右焦點(diǎn)F為(4%,0),漸近線為y=±/2x.由點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算,

結(jié)合雙曲線基本量的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可求出焦點(diǎn)F到其漸近線的距離.

本題給出雙曲線方程，求它的焦點(diǎn)F到漸近線的距離.著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何

性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.［答案】士O

【解析】解:圓/+產(chǎn)=%

則圓心為。(0,0),半徑r=2,

??,直線y=ax+3與圓％2+y2=4相交所得弦長(zhǎng)為2/3,

???圓心。到直線y—CLX+3的距離d=4—x2A/3)2=1，

又圓心。(0,0)到直線y=ax+3的距禺為《崔+『

3__

.??芹童=1,解得a=±C.

故答案為：±v~五.

根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及垂徑定理，即可求解.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】9

【解析】解：&,尸2是橢圓C：9+”1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，IMFJ+|“尸21=6,

所以IMF/?|MFz|W嚴(yán)"四2%=月當(dāng)且僅當(dāng)|Ma|=回?21=3時(shí)，取等號(hào)，

所以幽尻|?|MBI的最大值為9.

故答案為：9.

利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】4

-1

【解析】解：由數(shù)列｛&J滿足。九+1=-an(nEN*),且g=1，

則數(shù)列｛5｝為以2為公比的等比數(shù)列，

由Q1=2,

則2談心=—I=4,

1-2

故答案為：4.

由已知可得數(shù)列為以：為公比的等比數(shù)列，再結(jié)合無窮等比數(shù)列求和公式求解即可.

本題考查了無窮等比數(shù)列求和，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】10

【解析】解：在正項(xiàng)等比數(shù)列｛冊(cè)｝中，aj+216a8+說=100,

,*,CL^CLQ—。5。9，

2

???(a5+a9)=100,a5+a9>0,

解得as+a9=10,

故答案為：10.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a6a8=a5a9,進(jìn)而得出結(jié)論.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、方程的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

13.【答案】6.5

【解析】解：設(shè)該等差數(shù)列為｛a",公差為d,

由題意可知，ci4=12.5,a12=4.5,

故8d=%_2~0-4=-8,解得d=-1,

a】o—a】2—2d—4.5+2=6.5,

所以立夏的日影子為6.5尺.

故答案為：6.5.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3x2n-1-2

【解析】解：an+1=2an+2(neJV*),

則%i+i+2=2(an+2),

因?yàn)?+2=3,

所以｛an+2｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，

n-1

從而an+2=3x2t,故與=3x2"-2.

故答案為：3x2"-1一2.

先求出｛5+2｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，即可求解.

本題主要考查數(shù)列數(shù)列的遞推式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(1)

【解析】解：依題意，在(0,1)上，y=/(久)切線的斜率始終大于1,

僅(1)滿足.

故答案為：(1).

根據(jù)題意y=/(%)切線的斜率始終大于1,對(duì)比選項(xiàng)得到答案.

本題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】9x-y-16=0

【解析】解：1?1f(%)=%3+ax2+(a-3)x,

???f，(x)—3x2+2ax+(a—3),

；尸(久)是偶函數(shù),

???3(-x)2+2a(—x)+(a—3)=3x2+2ax+(a—3),

解得a=0,

???/(x)=x3-3x,/(%)=3x2—3,貝好(2)=2,k=f(2)=9,

即切點(diǎn)為(2,2),切線的斜率為9,

二切線方程為y—2=9(x—2),即9久一y—16=0.

故答案為：9%—y-16=0.

先由求導(dǎo)公式求出廣(嗎，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可得((-無)=((乃，從而求出a的值，然后利用導(dǎo)

數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程.

本題主要考查求導(dǎo)公式，偶函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

17.【答案】解：(I)證明：當(dāng)nN2時(shí)，廝=Sn-Sn_i=34—2"，

又當(dāng)幾=1時(shí)，a1=S]=32=34-2x1滿足％,=34-2n,

故｛an｝的通項(xiàng)公式為即=34-2n,

所以Gtn+i—an=34—2(71+1)—(34—2n)=-2,

故數(shù)列｛5｝是以32為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列；

(II)an>0,即34-2n20,解得J1W17,

故數(shù)列｛5｝的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，

此時(shí)a6=So=33X17-172=272.

【解析】(I)當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn_±=34-2n,驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)也滿足，于是可求得｛廝｝的

通項(xiàng)公式為廝=34-2n,利用等差數(shù)列的定義證明即可；

(II)令a”20可求得nW17,從而可得答案.

本題考查等差數(shù)列的關(guān)系的確定及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查化歸思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)因?yàn)?⑶=ICOSM—2x,

所以/''(%)=ex(cosx—sinx)—2,

r(o)=-i.

又因?yàn)?(0)=1,

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為y=-x+l.

(2)設(shè)九(x)=ex(cosx—sin%)—2,

則h'(x)=ex(cosx—sinx—sinx—cosx)=—2exsinx.

當(dāng)xe［0,與時(shí)，h\x)<0,所以似x)在區(qū)間［0苧上單調(diào)遞減.

所以對(duì)任意X6［0,3有九⑴</1(0)=-1,

即/(x)<0.

所以函數(shù)〃久)在區(qū)間［0,芻上單調(diào)遞減.

因此f(x)在區(qū)間［。幣上的最大值為f(0)=1,最小值為居)=-7T.

【解析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，切線方程的求法，是中檔題.

(1)求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程.

(2)設(shè)旗久)=e，(cosx-sinx)-2,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值

即可.

19.【答案】解：(1)由題可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為5,

???拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-畀點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,

''-4+^=5,解得p=2,

?,?拋物線的方程為y2=4x；

(2)根據(jù)題意可設(shè)直線/的方程為y=x+m,

聯(lián)立『2_得/+(2m-4)久+m2=0,

設(shè)力(％1，%)，B(X2，y2)，則久1+冷=4-2m,尤1乂2=根2,

?1?=2AA-2/^=4V久1乂2=4|m|,

■■.OA-OB=xrx2+y/2=病+4|m|=*

解得|加|=I，此時(shí)都有/=(2m-4)2-4m2>0,

m=±2，.?.直線/的方程為y=%土

即2x-2y±l=0.

【解析】(1)根據(jù)題意建立關(guān)于p的等式，解出即可求得拋物線方程；

(2)設(shè)直線1的方程為y=乂+小，聯(lián)立拋物線方程，將數(shù)量積瓦5.4用m表示，再由瓦丁加=7建

立方程，即可求解.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

22

20.【答案】解：（1）由橢圓C的方程為/+3f=4,得標(biāo)準(zhǔn)方程為a+9=1,

3

a=2.c=J4-）=禺，口率e=-=

733a3

（2）設(shè)|PFJ=m,|刊引=九,

當(dāng)乙&。？2=5時(shí)，當(dāng)=*+九2,...當(dāng)=（7n+荏）2—2771九，77m=|,

此時(shí)；=|mn=|x|=p

SAPFIF2

由對(duì)稱性，不妨設(shè)NPF/2=鄂寸，且P在第一象限，則P（亨,|），

此時(shí)；=；x亨乂|=亨，

△P卜仆22339

綜上，APFiF2的面積為《或警.

（3）設(shè)P（%o，y（）），則直線PQ的方程為y-y（）=七（％-%0），

rx2

由已知華"爭(zhēng)=--（0-r）kl-2x0y0fci+詔一產(chǎn)=0,

J1+居

2

同理：（%o一產(chǎn)）依一2%0y0fc2+yo-r=0,

2_2

222

因而ki，fc2>是方程（好—r）/c—2xoyok+—r=0的兩根，所以自七=，一涔=1，

得或=正，由P在第一象限得P（l,l）,

???存在位于第一象限的點(diǎn)P,使得心的=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（l,l）.

【解析】（1）由已知易求橢圓的離心率；

（2）分姆PF2=I，4PF#2=輛種情況可求△P&F2的面積;

（3）設(shè)P（%o，yo）,則直線PQ的方程為y