九年級(jí)數(shù)學(xué)第一次學(xué)情檢測(cè)2023.10.12一．選擇題（6小題，每題3分，共18分）1.下列方程為一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足三個(gè)條件：（1）是整式方程（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）只含有一個(gè)未知數(shù)．【詳解】解：A、未知數(shù)的最高次數(shù)為1，不符合題意；B、含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合題意；C、為整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，是一元二次方程，符合題意；D、不是整式方程，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2.關(guān)于x的方程的兩根分別為，，則的值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即，，即可解答．【詳解】解：關(guān)于x的方程的兩根分別為，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3.已知點(diǎn)P到圓心O距離為5，若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則的半徑可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果．【詳解】解：由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，的半徑故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．4.如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC的外心是()A.點(diǎn)D B.點(diǎn)E C.點(diǎn)F D.點(diǎn)G【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它的外心，據(jù)此解答即可．【詳解】根據(jù)圖形可知，直線DG是△ABC的BC邊上的中垂線，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上的中垂線上，

∴點(diǎn)D是△ABC外心．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外心的定義，注意：三角形三邊中垂線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)是此三角形的外心．5.如圖，是內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，若，那么的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，再根據(jù)圓周角定理求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．6.如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，連接作，垂足為F，連接．則長(zhǎng)的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)K，連接，根據(jù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，取中點(diǎn)K，連接，∵，∴，∵，∴，∵正方形的外接圓的半徑為，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴CF的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定的最小值是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（10小題，每題3分，共30分）7.關(guān)于x的一元二次方程有一根為0，則m＝_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關(guān)于m的方程，通過解關(guān)于m的方程即可求得m的值．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有一根為0，滿足關(guān)于x的一元二次方程，且，，且m﹣1≠0，解得：；故答案是：．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的定義及解的概念，解題的關(guān)鍵是注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零．8.一個(gè)扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為3πcm，則此扇形的半徑是__________cm．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，將其變形即可求出扇形半徑．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)為，解得，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式．9.已知一個(gè)圓雉的底面圓半徑是2，母線長(zhǎng)是6，則圓雉側(cè)面積是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：底面半徑是2，則底面周長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，牢記圓錐的側(cè)面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．10.已知關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限．【答案】四【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程無實(shí)數(shù)根得到，求出，即可得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限．故答案為：四【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的判別式，一次函數(shù)的圖象等知識(shí)．一元二次方程的根與判別式有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．熟知一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11.如圖，點(diǎn)在上，，，則______．【答案】##100度【解析】【分析】利用同弧上的圓周角相等將已知與待求的角集中在中即可求解．【詳解】∵點(diǎn)A、B、C、D在上，∴，（同弧上的圓周角相等）∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧上的圓周角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是將已知角度與待求角度集中在同一個(gè)三角形內(nèi)．12.如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，也是的外心．若，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心的區(qū)別．連接，，根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，，可得，再根據(jù)點(diǎn)也是的外心，和圓周角定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，是，的平分線，，，，點(diǎn)也是的外心，，則的度數(shù)為．故答案為：13.一條弦把圓分成兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是____．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，利用圓周角定理即可求解．詳解】解：連接，∵一條弦把圓分成兩部分，如圖，∴弧的度數(shù)是，弧的度數(shù)是，∴，∴，∴，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，注意：在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．14.在中，，則外接圓的半徑為______．【答案】4或5【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角，可得這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后分兩種情況：斜邊為和斜邊為，利用勾股定理，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵是直角三角形，∴這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)，∴當(dāng)斜邊為時(shí)，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是，∴此時(shí)外接圓的半徑為4，當(dāng)斜邊為時(shí)，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是，∴此時(shí)外接圓的半徑為5，綜上可得，這個(gè)三角形的外接圓的半徑為4或5．故答案為：4或5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓、圓周角定理、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)圓周角定理，得出這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)．15.如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若，，則IE的長(zhǎng)為__．【答案】4【解析】【分析】由已知條件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F，可得四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF,即可求出IE的長(zhǎng).【詳解】解：如圖：I為△ABC的內(nèi)心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，∠DIC=∠ICDID=CD,ID=BD=DC=5,可得AI=2CD=10可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F,可得IF=FC(垂經(jīng)定理)，在RT△IFD中，,又在△AIC中，AE=EC,IF=FC,EF為△AIC的中位線，EF∥AD,即EF∥ID,且EF==5=ID,四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF=4,故答案：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的垂經(jīng)定理，圓周角定理及平行四邊形相關(guān)知識(shí)，難度較大，需綜合運(yùn)用各知識(shí)求解.16.如圖，半圓的直徑，弦，弦在半圓上滑動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始滑動(dòng)，到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止滑動(dòng)，若是的中點(diǎn)，則在整個(gè)滑動(dòng)過程中線段掃過的面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，進(jìn)而得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)的圓心角為，半徑，根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻拷猓哼B接，如下圖：∵，∴∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，弦在半圓上滑動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始滑動(dòng)，到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止滑動(dòng)，就繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，掃過的部分為下圖中的陰影部分，由題意可得：，∴，，又∵，∴，∴掃過的部分的面積就是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及逆定理，扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及勾股定理的逆定理是正確解答的前提．三．解答題（10小題，共102分）17.解方程：（1）（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程：直接開平方法和因式分解法，本題的關(guān)鍵是利用因式分解法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．（1）先方程兩邊乘以4，得，再根據(jù)直接開平方法即可；（2）將方程右邊移項(xiàng)到左邊，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．【小問1詳解】解：方程可化為，直接開平方，得，，；【小問2詳解】，，，，或，，．18.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）證明：無論m取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是原方程的兩個(gè)跟，且，求m的值．【答案】（1）見解析（2），．【解析】【分析】本題考查了根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法是解題的關(guān)鍵．（1）證明即可；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法即可求出答案．【小問1詳解】證明：，無論取何值，此方程必有實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：，，又，，，解得：，19.如圖，在⊙O中，，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．（1）求證：．（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑．求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問題即可；（2）利用圓周角定理可得，再利用三角形外角性質(zhì)可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°可得，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量代換可證結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】證明：∵，∴，∴，∵AD是⊙O的直徑，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為90°，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用所學(xué)相關(guān)知識(shí)．20.如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的一條弦，且于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解（2）3【解析】分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等及等腰三角形兩底角相等即可得到答案；（2）連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵與都是弧所對(duì)圓周角，∴，∴；【小問2詳解】解：連接，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是知道同弧所對(duì)圓周角相等．21.如圖，、是的切線，切于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為12，．求：（1）求的長(zhǎng)；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，切線長(zhǎng)定理提供了很多等線段，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對(duì)相等切線長(zhǎng)．（1）可通過切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形的周長(zhǎng)等于的結(jié)論，即可求出的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出和的度數(shù)和，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得出和的度數(shù)和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出的度數(shù)．【小問1詳解】，都是圓的切線，，同理，，三角形的周長(zhǎng)，即的長(zhǎng)為6；【小問2詳解】，，，，是圓的切線，；同理：，，．22.如圖，為的直徑，點(diǎn)D為O上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：為的切線；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）如圖，先根據(jù)圓周角定理得到，再證明，從而得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到為的切線；（2）如圖，先利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，E為的中點(diǎn)，得到，再根據(jù)圓周角定理得到，接著證明為等邊三角形得到，計(jì)算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：∵為的直徑，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵為的半徑，∴為的切線；【小問2詳解】解：∵E為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，所以∴，∴圖中陰影部分的面積，則所以圖中陰影部分的面積為【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式23.如圖所示的拱橋，用弧表示橋拱．（1）若弧所在圓的圓心為，是弦的垂直平分線，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，找出圓心．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）若拱橋的跨度（弦的長(zhǎng)）為，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為，求拱橋的半徑．【答案】（1）見解析（2）拱橋的半徑為米【解析】【分析】（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)垂徑定理得出，，設(shè)拱橋的半徑為，在中，勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，【小問2詳解】解：如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，，設(shè)拱橋的半徑為，在中，，，∵，∴解得：∴拱橋的半徑為米．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓心的位置，垂徑定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24.在一空曠場(chǎng)地上設(shè)計(jì)一個(gè)落地為長(zhǎng)方形的小屋，邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)，拴住小狗的繩子長(zhǎng)，其中一端固定在點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，設(shè)小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為．（結(jié)果保留π）（1）如圖1，若，求此時(shí)S的值．（2）如圖2，現(xiàn)考慮在圖1中的矩形小屋的右側(cè)以為邊拓展一個(gè)正三角形區(qū)域，使之變成一個(gè)落地為五邊形的小屋，其他條件不變．在（1）的條件下，求此時(shí)S的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)繩子的長(zhǎng)度結(jié)合圖形得出其活動(dòng)區(qū)域及利用扇形的面積公式表示出活動(dòng)區(qū)域面積．（1）小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以為圓心、10為半徑的圓，以為圓心、6為半徑的圓和以為圓心、4為半徑的圓的面積和，據(jù)此列式求解可得；（2）根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【小問1詳解】拴住小狗的長(zhǎng)的繩子一端固定在點(diǎn)處，小狗可以活動(dòng)的區(qū)域如圖所示：由圖可知，小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以為圓心、10為半徑的圓，以為圓心、6為半徑的圓和以為圓心、4為半徑的圓的面積和，；【小問2詳解】如圖2，由圖可知，小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以為圓心、10為半徑的圓，以為圓心、6為半徑、圓心角為的扇形，以為圓心、4為半徑的圓的面積和，，則，．25.浦江桃形李是地方名果，是浦江縣的特產(chǎn)之一．請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，根據(jù)素材，幫果農(nóng)解決問題．信息及素材素材一在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導(dǎo)下，果農(nóng)對(duì)桃形李的種植技術(shù)進(jìn)行了研究與改進(jìn)，使產(chǎn)量得到了增長(zhǎng)，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年桃形李平均每株產(chǎn)量是35千克，2022年達(dá)到了50.4千克，每年的增長(zhǎng)率是相同的．素材二一般采用的是長(zhǎng)方體包裝盒．素材三果農(nóng)們通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，顧客也很愿意購(gòu)買美觀漂亮的其它設(shè)計(jì)的包裝紙盒．（1）任務(wù)1：求桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．（2）任務(wù)2：現(xiàn)有長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形紙板，將四角各裁掉一個(gè)正方形（如圖1），折成無蓋長(zhǎng)方體紙盒（如圖2）．為了放下適當(dāng)數(shù)量的桃形李，需要設(shè)計(jì)底面積為的紙盒，計(jì)算此時(shí)紙盒的高．（3）任務(wù)3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務(wù)2中的紙板通過圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無蓋紙盒（如圖4），求出此時(shí)紙盒的高．（圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)）【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）設(shè)桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為，則2021年的產(chǎn)量為千克，2022年的產(chǎn)量為千克，由2022年的產(chǎn)量解方程即可；（2）由圖1可得裁掉正方形的邊長(zhǎng)即為圖2長(zhǎng)方體盒子的高，設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方體紙盒的底面積列方程求解即可；（3）設(shè)底面正六邊形為，底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，紙盒的高為，連接、、，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，所在直線交長(zhǎng)方形紙板的邊于點(diǎn)、，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得為的直角三角形，可得其兩直角邊的長(zhǎng)度；結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)再求得左右兩側(cè)小三角形的高，然后根據(jù)長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)和寬建立方程求解即可；【小問1詳解】解：設(shè)桃形李產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，，解得：，（不符合題意舍去），∴桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為；【小問2詳解】解：設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得：，，，解得：，（不符合題意舍去），∴此時(shí)紙盒的高為；【小問3詳解】解：如圖設(shè)底面正六邊形為，連接、、，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，所在直線交長(zhǎng)方形紙板的邊于點(diǎn)、，設(shè)底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，紙盒的高為，∵正六邊形的每條邊相等，每個(gè)內(nèi)角都為，∴為等腰三角形，，∴，由正六邊形的性質(zhì)可得平分，∴，∴，∴直角三角形中，，同理可得直角三角形中，∵，，∴，∵左側(cè)小三角形頂點(diǎn)的角度=，∴左側(cè)小三角形為邊長(zhǎng)的等邊三角形，根據(jù)圖形的上下對(duì)稱可得與長(zhǎng)方形紙板的左右兩邊垂直，∴為等