專題強(qiáng)化練(五)萬(wàn)有引力與航天(滿分:100分時(shí)間:50分鐘)一、選擇題(共7小題,每小題8分,共56分)1.(考點(diǎn)2)兩個(gè)靠得很近的天體繞著它們連線上的一點(diǎn)(質(zhì)心)做圓周運(yùn)動(dòng),構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí),其軌道平面上存在著一些特殊的點(diǎn),在這些點(diǎn)處,質(zhì)量極小的物體(如人造衛(wèi)星)可以相對(duì)兩星體保持靜止,這樣的點(diǎn)被稱為“拉格朗日點(diǎn)”。現(xiàn)將“地—月系統(tǒng)”看作雙星系統(tǒng),如圖所示,O1為地球球心、O2為月球球心,它們繞著O1O2連線上的O點(diǎn)以角速度ω做圓周運(yùn)動(dòng)。P點(diǎn)到O1、O2距離相等且等于O1O2間距離,該點(diǎn)處小物體受地球引力FE和月球引力FM的合力為F,方向恰好指向O,F提供向心力,可使小物體也繞著O點(diǎn)以角速度ω做圓周運(yùn)動(dòng)。因此P點(diǎn)是一個(gè)拉格朗日點(diǎn)?，F(xiàn)以O(shè)1O2連線方向?yàn)閤軸,過(guò)O1與O1O2垂直方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系。A、B、C分別為P關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)O1的對(duì)稱點(diǎn),D為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),D點(diǎn)到O1的距離小于P點(diǎn)到O1的距離。根據(jù)以上信息可以判斷()A.A點(diǎn)一定是拉格朗日點(diǎn) B.B點(diǎn)一定是拉格朗日點(diǎn)C.C點(diǎn)可能是拉格朗日點(diǎn) D.D點(diǎn)可能是拉格朗日點(diǎn)解析由對(duì)稱性可知,在A點(diǎn)的小物體受地球和月球吸引力的合力方向一定指向O點(diǎn),其受力情況與P點(diǎn)相同,可知A點(diǎn)一定是拉格朗日點(diǎn),選項(xiàng)A正確;在B點(diǎn)的小物體,受地球的引力和月球的引力的合力不可能指向O點(diǎn),則B點(diǎn)不可能是拉格朗日點(diǎn);同理C點(diǎn)也不可能是拉格朗日點(diǎn),選項(xiàng)BC錯(cuò)誤;在D點(diǎn)時(shí),小物體受到的地球的引力大于在P點(diǎn)時(shí)地球的引力,再加上月球的引力,則在D點(diǎn)的合力大于在P點(diǎn)時(shí)的合力,則角速度不可能與在P點(diǎn)時(shí)的角速度相等,即D點(diǎn)不可能是拉格朗日點(diǎn),選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案A2.(考點(diǎn)1、2)(多選)(2018山西晉城三模)探索火星的奧秘承載著人類征服宇宙的夢(mèng)想。假設(shè)人類某次利用飛船探測(cè)火星的過(guò)程中,飛船只在萬(wàn)有引力作用下貼著火星表面繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),測(cè)得其繞行速度為v,繞行一周所用時(shí)間為T,已知引力常量為G,則()A.火星表面的重力加速度為πB.火星的半徑為TvC.火星的密度為3D.火星的質(zhì)量為T解析飛船在火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑等于火星的半徑,根據(jù)v=2πRT,得R=vT2π,選項(xiàng)B正確;根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力,有GMmR2=m4π2T2R,得火星的質(zhì)量M=4π2R3GT2,根據(jù)密度公式得火星的密度ρ=MV答案BC3.(考點(diǎn)3)(多選)(2019四川廣元高考適應(yīng)性統(tǒng)考)目前各國(guó)發(fā)射同步衛(wèi)星的方法可簡(jiǎn)化為如下情景:先把衛(wèi)星發(fā)射到離地面高度為200km~300km的圓形軌道上(如圖軌道1)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在適當(dāng)?shù)奈恢肣點(diǎn)火,使衛(wèi)星進(jìn)入如圖所示的橢圓軌道2,在遠(yuǎn)地點(diǎn)P再開動(dòng)衛(wèi)星上的發(fā)動(dòng)機(jī),使衛(wèi)星進(jìn)入地球靜止軌道3做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。只考慮地球引力,以下說(shuō)法正確的是()A.衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行時(shí),已知其周期,則可以計(jì)算出地球的質(zhì)量B.衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行的角速度與在軌道2運(yùn)行經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的角速度相等C.由開普勒定律可知,衛(wèi)星在三條軌道上的周期關(guān)系為T1<T2<T3D.衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)和在軌道2、3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速率關(guān)系為v2Q>v1Q和v3P>v2P解析由于題目沒(méi)有給出地球半徑R,或環(huán)繞線速度,故不能根據(jù)環(huán)繞法計(jì)算地球的質(zhì)量,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)樾l(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的線速度大于其在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的線速度,根據(jù)ω=vr,衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的角速度大于其在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的角速度,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第三定律可知,若中心天體不變,各環(huán)繞軌道半長(zhǎng)軸的三次方和周期平方的比值為同一個(gè)常數(shù),即r3T2=k。因?yàn)?、2、3三軌道的等效半長(zhǎng)軸的關(guān)系為r1<r2<r3,故T1<T2<T3,選項(xiàng)C正確;衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)和在軌道2、3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速率關(guān)系為v2Q>v1Q和v3P答案CD4.(考點(diǎn)3)(2019內(nèi)蒙古赤峰二中月考)“嫦娥三號(hào)”的飛行軌道示意圖如圖所示。假設(shè)“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道和橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),只受到月球的萬(wàn)有引力,則()A.“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月橢圓軌道上P點(diǎn)的速度大于Q點(diǎn)的速度B.“嫦娥三號(hào)”由環(huán)月圓軌道變軌進(jìn)入環(huán)月橢圓軌道時(shí),應(yīng)讓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使其加速C.“嫦娥三號(hào)”在圓軌道和橢圓軌道經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度相等D.若已知“嫦娥三號(hào)”環(huán)月圓軌道的半徑、運(yùn)動(dòng)周期和引力常量,則可算出月球的密度解析“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月段橢圓軌道上P點(diǎn)向Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中,距離月球越來(lái)越近,月球?qū)ζ湟ψ稣?故速度增大,即“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月段橢圓軌道上P點(diǎn)的速度小于Q點(diǎn)的速度,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月段圓軌道上P點(diǎn)減速,使萬(wàn)有引力大于向心力做近心運(yùn)動(dòng),才能進(jìn)入環(huán)月段橢圓軌道,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律得a=GMr2,所以“嫦娥三號(hào)”在圓軌道和橢圓軌道經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度相等,選項(xiàng)C正確;根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力GMmr2答案C5.(考點(diǎn)4)(多選)(2019遼寧大連甘井子區(qū)渤海高中模擬)宇宙中,兩顆靠得比較近的恒星,只受到彼此之間的萬(wàn)有引力作用互相繞轉(zhuǎn),稱之為雙星系統(tǒng)。在浩瀚的銀河系中,多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)。設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示。若AO>OB,則()A.星球A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量B.星球A的線速度一定大于B的線速度C.雙星間距離一定,雙星的總質(zhì)量越大,其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大D.雙星的質(zhì)量一定,雙星之間的距離越大,其轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力m1ω2r1=m2ω2r2,因?yàn)閞1>r2,所以m1<m2,即A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;雙星系統(tǒng)角速度相等,根據(jù)v=ωr,且AO>OB,可知,A的線速度大于B的線速度,選項(xiàng)B正確;設(shè)兩星體間距為L(zhǎng),中心O到A的距離為r1,到B的距離為r2,根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力公式得:Gm1m2L2=m14π2T2r1=m答案BD6.(考點(diǎn)4)(多選)(2019甘肅靜寧第一中學(xué)模擬)三顆質(zhì)量均為M的星球(可視為質(zhì)點(diǎn))位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。如圖所示,如果它們中的每一顆都在相互的引力作用下沿等邊三角形的外接圓軌道運(yùn)行,引力常量為G,下列說(shuō)法正確的是()A.其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力大小為3B.其中一個(gè)星球受到另外兩個(gè)星球的萬(wàn)有引力的合力指向圓心OC.它們運(yùn)行的軌道半徑為32D.它們運(yùn)行的速度大小為GM解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律,任意兩個(gè)星體間的引力大小為:F=GM2L2,每個(gè)星體的合力:F合=2Fcos30°=3GM2L2,根據(jù)幾何關(guān)系可知,合力的方向指向圓心O,選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確;星球圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=L2cos30°答案BD7.(考點(diǎn)2、3)(2019四川眉山中學(xué)月考)如圖為“高分一號(hào)”與北斗導(dǎo)航系統(tǒng)兩顆衛(wèi)星在空中某一面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的示意圖,“北斗系統(tǒng)中兩顆衛(wèi)星“G1”和“G3”以及“高分一號(hào)”均可認(rèn)為繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),衛(wèi)星“G1”和“G3”的軌道半徑均為r,某時(shí)刻兩顆衛(wèi)星分別為軌道上的A、B兩位置,“高分一號(hào)”在C位置,若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行,地球表面處的重力加速度為g,地球半徑為R,不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力。則以下說(shuō)法正確的是()A.衛(wèi)星“G1”和“G3”的加速度大小相等均為R2B.衛(wèi)星“G1”由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需要的時(shí)間為2C.如果調(diào)動(dòng)“高分一號(hào)”衛(wèi)星到達(dá)衛(wèi)星“G3”所在的軌道,必須對(duì)其減速D.“高分一號(hào)”是低軌道衛(wèi)星,其所在高度存在稀薄氣體,運(yùn)行一段時(shí)間后,高度會(huì)降低,速度增大,機(jī)械能會(huì)減小解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有GMmr2=ma,根據(jù)在地球表面有GMmR2=mg,聯(lián)立可得衛(wèi)星“G1”和“G3”的加速度大小為a=gR2r2,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有GMmr2=mrω2,解得ω=GMr3=gR2r3,所以衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間t=π答案D二、計(jì)算題(第8題12分,第9題16分,第10題16分,共44分)8.(考點(diǎn)4)(2019湖南地質(zhì)中學(xué)高三月考)某雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星體A、B的質(zhì)量都是m,且A、B相距L,它們正圍繞兩者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T0,且TT0=k(k<1),于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星體C的影響,并認(rèn)為C位于雙星A、(1)兩個(gè)星體A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值;(2)星體C的質(zhì)量。解析(1)兩星的角速度相同,根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力知:GmmL2=mω2r1=mω2可得:r1=r2兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),則GmmL2=m2πT解得:T0=2πL3(2)因?yàn)镃的存在,雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供,則GmmL2+GMm(L再結(jié)合:TT可解得:M=(1答案(1)2πL32Gm9.(考點(diǎn)1、2)(2019北京第四中學(xué)高三上學(xué)期期中考試)如圖所示,一宇宙飛船繞地球中心做圓周運(yùn)動(dòng),已知地球半徑為R,軌道1半徑是2R,現(xiàn)在欲將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的圓軌道2上去,已知地球表面處的重力加速度為g,飛船質(zhì)量為m,萬(wàn)有引力常數(shù)為G,求:(1)地球的質(zhì)量;(2)飛船在1、2兩個(gè)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞速度之比v1∶v2;(3)理論上,若規(guī)定距地心無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能零勢(shì)能點(diǎn),飛船和地球系統(tǒng)之間的引力勢(shì)能表達(dá)式為Ep=-GMmr(其中r解析(1)設(shè)在地面附近有一小物體m0,m0g=Gm0MR2(2)飛船在軌道1有:GmM(2R)2=mv飛船在軌道2有:GmM(4R)2=mv可得:v1∶v2=2。(3)設(shè)飛船在2R和4R軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能分別為E1和E2,則:E1=Ek1+Ep1,Ek1=12mv12,GmM(2R)2=mv12同理可得:E2=-GmM8R所以完成這次軌道轉(zhuǎn)移點(diǎn)火需要的能量ΔE=E2-E1=mgR8答案(1)gR2G(2)210.(考點(diǎn)2)(2019北京中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)月考)設(shè)想人類在某一X行星上發(fā)射了兩顆質(zhì)量均為m的“人造X星衛(wèi)星”,行星可以看作質(zhì)量M、半徑R的均勻球體,甲乙兩顆衛(wèi)星的軌道半徑分別為2R和3R,在同一平面內(nèi),運(yùn)行方向相同,不計(jì)兩衛(wèi)星之間的萬(wàn)有引力,萬(wàn)有引力常量為G。(1)試求甲乙兩衛(wèi)星各自的周期;(2)若某時(shí)刻兩衛(wèi)星與行星中心正好在一條直線上,最短經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,三者正好又在一條直線上?(3)如果將兩顆衛(wèi)星用輕而結(jié)實(shí)的繩連接并且給以合適的速度,它們將可以一起繞行星運(yùn)動(dòng)且與行