4.4平面與平面的位置關系

4.4.1平面與平面平行

基礎過關練

題組一平面與平面平行的判定

1.（2022安徽合肥第十中學期中）已知a,b是不同的直線，a,￡是不同的平面，

則下列命題中正確的是（）

A.若a,8是異面直線，aua,a〃B,bu￡,6〃a,則a〃￡

B.若aua,Sua,￡,6〃￡，則a〃￡

C.若Ma,au￡,a〃a,則a〃￡

D.若aua,a//b,貝Ub//a

2.在正方體必〃中，下列四對截面彼此平行的一對是（）

A.平面E\FG\與平面研

B.平面⑸％與平面E4G

C.平面與平面FHE、

D.平面谷雨與平面掰G

3.在正方體ABC?A\BCD\中，〃為然上的動點,則PB、與平面ZHG的位置關系是

（）

A.線在面內(nèi)B.平行

C.相交D.不能確定

4.如圖,平面a過正方體45aM5G〃的三個頂點B,D,4,且a與平面

的交線為1,則1與4〃的位置關系是,平面a與平面細〃的位置關系

是

5.如圖，在三棱柱/叱46K中，〃尸分別是棱AB,46的中點，求證:

(1)月G〃平面B\CD;

⑵平面"G〃平面5徵.

6.(2022湖南長沙長郡中學期中)如圖,在三棱柱AB。ABC中，點P,Q,R,月分別

是CP,AC4G的中點.

⑴求證:陽〃平面力能4;

(2)求證:平面您尸〃平面BCCB.

7.(2022江蘇聯(lián)考)如圖，四邊形/四是平行四邊形，點E,F,G分別為線段

況;必"〃的中點.

⑴證明：￡尸〃平面PAC;

⑵在線段初上找一點H,使得加〃平面PCG,并說明理由.

題組二平面與平面平行的性質(zhì)

8.如圖所示的是長方體被一平面截得的幾何體,截面為四邊形EFGH,則四邊形

EFGH的形狀為.

9.（2020重慶八中月考）已知平面a,J3,y,a//,any=a,BAy=b,若

/ncia,m//a,則m與b的位置關系是.

10.如圖所示,三棱柱44GT%中，點〃在棱“；上,且CA2CD,過點〃的平面a

與平面4夕《平行，且即A平面貝U會

B]E

A

11.如圖，在四棱柱ABCD~A\B\GD\中，底面ABCD為梯形,AD〃B&平面4DCE與棱

8/交于點E,求證:比〃4。

R

能力提升練

題組一平面與平面平行的判定

L（多選）（2022湖北麻城二中期中）在三棱柱ABC-A^Q中,E,F,G分別為線段

4及45,44的中點，下列說法正確的是（）

A.平面力"〃平面B\CE

B,直線尸G〃平面SB

C.直線CG與跖異面

D.直線。尸與平面屐花相交

2.（2020湖南長沙第一中學月考）如圖,在長方體ABCD~ABC。

中，AADDA,A片痘,E,F,G分別為AB,BC,的中點，點〃在平面ABCD^,若直

線〃平面EFG,則線段〃/長度的最小值是.

3.（2022江蘇無錫輔仁高級中學期中）如圖,在四棱錐P-ABCD^,底面4BO）是平

行四邊形,AB=i,AL^2,E,夕分別為棱尸C/〃的中點.

⑴證明：即〃平面4分；

⑵若點G為底面ABCD內(nèi)的一動點（包括邊界），且平面磔尸〃平面ADP,求線段FG

長度的最大值.

題組二平面與平面平行的性質(zhì)

4.(2020重慶第八中學月考)如圖，四棱柱ABCAABCD中,四邊形/及力為平行四

邊形,￡/分別在線段DB,如上,G在CC、上且平面/環(huán)〃平面BDG則第=

EB2CC1

5.(2021黑龍江雙鴨山一中期中)如圖，四棱錐/S4夕徵的底面是邊長為1的正方

形，夕是棱刃上的點，且上3能若麗=4無，且滿足跖〃平面D則4=()

6.(2020廣東深圳實驗學校月考)如圖，多面體4?6間研'中,4旦〃；49兩兩垂直,

平面"C〃平面DEFG,平面BEF”平面ADGC,AB-AD-DG=1,AOE/^1.

(1)證明：四邊形/則是正方形；

(2)判斷點B,C,F,G是否共面,并說明理由.

AC

G

E

題組三空間中直線、平面平行的綜合問題

7.（2022浙江聯(lián)考）如圖所示,正方體ABCD~ABCQ的棱長為2,E,尸分別為44,AB

的中點，點戶是正方體表面上的動點,若CP〃平面CD\EF,則點〃在正方體表面上

運動所形成的軌跡的長度為（）

A.V2+V5B.V2+2V5

C.2V2+V5D.2V2+2V5

8.（多選）（2022河南開封期中聯(lián)考）如圖，在棱長均相等的正四棱錐）ABCD

中,必4分別為側(cè)棱必，陽的中點，。是底面四邊形加切對角線的交點,下列結論

正確的有（）

A.笈〃平面OMN

B.平面R6〃平面OMN

C.OM1PA

D.如，平面OMN

9.（2020遼寧鞍山第一中學月考）如圖,底面是平行四邊形的四棱錐）ABCD

pc

中，EGPD,FGPC,豆PE：吩5：2,若母〃平面AEC,則”=.

p

10.(2021湖南長沙第一中學月考)如圖，已知正四棱柱4a73國?！?/p>

中，AB=\,血=&,"為DD、的中點.

⑴求證:〃夕〃平面MAC-,

(2)過〃〃作正四棱柱45孫〃的截面,使得截面平行于平面MAC,在正四棱

柱表面應該怎樣畫線?請說明理由，并求出截面的面積.

答案全解全析

基礎過關練

1.A對于A,過6作平面與平面。交于直線c,如圖，因為a,6是異面直線,

所以a,c相交，又8〃。，所以b//c,因為cd6,bu￡,所以c//￡,又a〃￡，且

a,c是a內(nèi)兩條相交直線，所以a〃￡，故A正確；

對于B,當a〃力時，a與￡可能相交,故B錯誤；

對于C,平面a與平面B可能平行也可能相交,故C錯誤;

對于D,若aua,a//b,則b//a或6ua,故D錯誤.

故選A.

2.A如圖，易得比〃￡G,

?.?酮平面E\FG\,EGu平面E、FG\,

...￡G〃平面E\FG.

同理可證〃￡〃平面

■:KECG序E,H\Eu平面EGH、,Eg平面EGH{,

，平面〃平面EGH、.

易證選項B、C、D不成立,故選A.

3.B如圖，連接仍，笈C

由正方體的性質(zhì)可得A\D〃BC

又4m平面DAC,5a平面的K,

所以5%平面〃4C,

同理可證/笈〃平面為C,

因為ABCBGB、,曲，B,Cu平面ABC

所以平面為4〃平面熊C

因為陽u平面43c

所以由〃平面為K.

4.答案平行;平行

解析由題知，DDJ/BB?DD、=BB\,

所以四邊形方如石是平行四邊形，

所以BD〃BA

又B\D、u平面ABC?,則平面A、BC及

所以初〃平面4BCB.

又以七a,aG平面所以/〃薇

所以1〃BD.

因為BD〃B。,物平面CBD,B\Du平面CBD,

所以切〃平面CBD.

因為4〃〃況;陽

所以四邊形是平行四邊形，

所以

因為4因平面CB、D\,Dg平面CBD,

所以45〃平面CBD,又BDCA\FB,

所以平面4劭〃平面CBd

所以平面?！ㄆ矫嬉詢?/p>

5.證明（1）如圖，連接式;，與5。交于點。，連接勿,???四邊形夕％5是平行四邊

形，

為園的中點，又〃是膽的中點，

如是三角形的中位線，則OD//AQ.

又,?3GQ平面B\CD,ODci平面B@,

.?./G〃平面笈。Z

⑵???"為AB的中點，〃是力夕的中點,AMAB,

：.AD//B,P,且AD=B、P,J四邊形/施/是平行四邊形,

：.AP//DB?又力式平面BCD,DBu平面B￡D,

〃平面B,CD,

又由⑴知，4G〃平面B@,AC^AP-A,

AG,APu平面"G,

J平面"C〃平面4az

6.證明（1）如圖，連接AP,在中，

,:R,0分別是陽代'的中點,

，版是△勿P的中位線，.?.附〃[2

又J/t平面ABBM做:平面/班4,

...附〃平面ABBA.

⑵在△4/G中，?.?因戶分別是4G,4笈的中點，.?.加是的中位

統(tǒng)，：.PE"B、C\.

又BCu平面BCC、B\,網(wǎng)平面BCC6,

...在'〃平面BCCR.

在％4G。中，?.?尤￡分別是4C4G的中點，

:.RE//ca.

又CCu平面BCCB,您平面BCC、B\,

.?.您〃平面BCCR,

又RECE4E,RE,E空平面REP,

，平面郎〃平面BCCB.

7.解析⑴證明：???￡/分別是BC,露的中點，

:.EF是4BPC的中位線,：,EF〃PC,

'：PCu平面PAC,"I平面PAC,

〃平面PAC.

⑵如圖，連接AF,AE,且四與劭交于點H,點〃即為所求.理由如下：

,:E,G分別是BC,49的中點，AmC,

：.AG3\EC,四邊形4G四為平行四邊形,

：.AE//CG,

?.3所平面PCG,Cg平面PCG,

.?.4/〃平面PCG.

'：EF//PC,PCu平面PCG,加平面PCG,

...跖〃平面PCG.

E產(chǎn)E,AE,EFu平面4硒

，平面AEF//平面PCG,又FHu平面AEF,

.?.必〃平面PCG.

8.答案平行四邊形

解析:?平面46/石〃平面〃々祝平面廳功G平面"降旗平面由第n平面

DCGF^HG,：.EF//HG.同理，的〃A7,...四邊形力便是平行四邊形.

9.答案平行（或勿〃力）

解析,/aAy-a,6Ay=b,a〃￡,；.a〃b,

in//a,in//b.

10.答案|

解析???平面a〃平面力身G,平面an平面夕。=龍;平面平面8G=6K,

.二由平面與平面平行的性質(zhì)定理知,DE〃B、G

又。決2切,

11.證明易知9'〃/4,

又A4C平面質(zhì)平面AA。

...房〃平面AAXD.

'：BC//AD,4t平面AA。刎平面44〃

.?.%〃平面AAD

又BECBOB,ab平面BCE,應t平面BCE,

.,?平面以石〃平面AA\D.

又平面4腔C平面BC^EC,平面4DCEC平面AAD&D,

：.EC//AXD.

能力提升練

1.AC如圖，對于A,在三棱柱ABO&BC中，因為E,F,G分別為線段AB,M

的中點，

所以B}E//AF,CE//QF,

因為B、ECC芹E,衍CBF,所以平面也月〃平面笈龍，故A正確；

對于B,因為兄G分別是線段AB,44的中點，

所以FG//AB\,

因為小0a代尻所以FG與相交，

所以直線A7與平面46F相交,故B錯誤；

對于C,因為郎t平面AMB,平面AMB,建平面AMB,(ABF,所以直線CG與

以異面，故C正確；

對于D,因為CE//GF,Qt平面CGE,G4平面CGE,所以直線G勿平面C笫故D

錯誤.故選AC.

2.答案?

解析如圖,連接〃4

因為￡片G分別為AB,BC,G〃的中點,所以EF//AC,又網(wǎng)平面//,平面

ACR,所以比〃平面ACa,易得EGHAD、,所以同理可得班〃平面ACD、,又

EFC吩七EF,￡仁平面EFG,

所以平面/勿〃平面麗7.

因為直線〃尸〃平面EFG,所以點尸在直線力。上，故當〃入4C時,線段〃戶的長度

最小.

在△ACD、中，加=&,A（=2,〃=2,

所以S—DicgX\[2XJ22—（苧=?,

叱r

所以（〃乃min=T^—=—,

寸22

3.解析⑴證明：如圖，取外的中點。，連接4。,0E.

,：0,￡分別為PD,%的中點，.?.施'是△勿C的中位線,

OE//CD,0吟CD,

'：分為4夕的中點，，AF//CD,AF=^CD,

：.AF//OE,AF-OE,

...四邊形/用9為平行四邊形，...即〃0，

?.?不也平面ADP,如u平面ADP,

...〃〃平面ADP.

⑵如圖，取切的中點匕連接儂VF.

在△也?中，?.?匕夕分別為以產(chǎn)。的中點，

...房是△尸⑦的中位線，.IVE//PD.

,：煙平面ADP,勿c平面ADP,：.監(jiān)〃平面ADP.

又?.?斯〃平面ADP,VECE六E,VE,止平面VEF,

，平面好〃平面力勿.

???點G為底面/靦內(nèi)的一動點（包括邊界），且平面?！晔ㄆ矫嫜?

.?.點GR用即點G在線段班'（包括端點）上移動，

當點G運動到「時,線段內(nèi)。的長度取得最大值,最大值為2.

4.B連接凡?,\?平面44〃平面做G平面47Tl平面能〃氏硒平面

物GG平面BBDD-BD,：.EF//BD,

XX1XFD-yEB2

易得平面4加M〃平面BCCB,

又打上平面仇?G￡,...%〃平面ADDA,

?.?平面［瓦〃平面BDG應t平面BD6,

.二胡〃平面仲

?.?平面AEF^平面ADM=AF,

：.BG//AF,：.BG,4夕可確定平面ABGF.

?.?平面/仍M〃平面CDDC,平面ABGFC平面ABB^AB,平面ABGFC平面

CDDGFG,

：.AB〃FG,：.CD〃FG.：.*希己

故選B.

5.A如圖，連接"交〃1于點0,連接見則除如

在線段也'取一點G,使得G^ED,則募=|.

PE3

連接BG,FG,則BG//0E,

因為呢平面ACE,平面ACE,

所以比〃平面力密

因為必、〃平面ACE,BGCB芹B,BG,母t平面BGF,所以平面a/〃平面ACE.

因為平面平面AC立EC,平面尸切n平面龐戶距所以GF//EC.

所以￡*=|,所以幾=|.

rCrE33

p

6.解析⑴證明：因為平面4a〃平面DEFG,平面ABEDC平面ABOAB,平面

ABEDC平面DEFG=DE,所以由面面平行的性質(zhì)定理得AB//DE,同理AD//BE,所以四

邊形/應7?為平行四邊形.

又ABLAD,AB^AD,

所以平行四邊形48劭是正方形.

(2)點B,C,F,G共面.理由如下：

如圖，取的的中點戶,連接PA,PF.

因為平面龐F〃平面ADGC,平面EFGDC平面BE百EF,平面EFGDC平面ADGODG,

所以由面面平行的性質(zhì)定理,得EF//DG,

同理477%

因為P為〃。的中點,上1,DG2

所以EF//PD,E廣PD,則四邊形的切為平行四邊形,所以DE//PF旦D方PF.

又AB//DE,AB-DE,所以AB〃PF旦A&PF,

所以四邊形4笈空為平行四邊形,所以AP//BF.

因為P為加的中點,所以P*D4=AC,

又因為AC//PG,所以四邊形46〃為平行四邊形,所以AP//CG,所以BF//CG.

故及G四點共面.

7.B取郎的中點G,43的中點〃連接傲GG,QH,A、B,EG,HF.

因為正方體四歸G〃的棱長為2,E,F,G,〃分別為44,AB,BB、,45的中點，

所以EF//A.B,GH//A.B,

且E吟ABG吟AE

所以EF//組且E戶G+^L

因為F,〃分別為AB,46的中點,所以FH//Ca,且FH=CG,所以四邊形FHGC為平

行四邊形，所以〃次

因為陽。平面CD\EF,67t平面CD\EF,

所以能〃平面CD\EF.

同理可證例〃平面CD\EF.

又GHCHC\=H,平面C\GH,G3平面QGH,

所以平面G如〃平面CD,EF,

所以點夕在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形QGH.

因為正方體ABCD~&B\C\D\的棱長為2,

所以HCLGCEA+12=而,

所以三角形G曲的周長為^^+^=V2+V5+V5=V2+2V5.故選B.

8.ABC連接4工因為。為底面四邊形4比7?對角線的交點，所以。為4C的中點,

由"是PA的中點，可得PC//MO,

因為尸儀平面OMN,。此平面OMN,

所以用〃平面切外故A正確；

同理可得PD//平面OMN,

又PCCP廬P,PC,詠平面PCD,

所以平面產(chǎn)⑦〃平面OMN,故B正確;

因為如c