環(huán)節(jié)二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1:什么時候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法？

答案：例如，要證明對任意的正整數(shù)〃，等式(〃-1)(〃+2)=〃2+〃—2恒成立，可以

直接利用多項式的乘法法則，左邊展開，合并同類項，就能得到右邊.這時，我們就不必

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法了.再如，證明(1+工)”(〃wN*)的單調(diào)性，用數(shù)學(xué)歸納法就難以實現(xiàn).

n

例1下面這道題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？

求證：『+2?+…+〃2=_L〃(〃+D(2〃+I)(?€N,).

6

證明：假設(shè)當(dāng)〃=時，等式成立，即

12+22+---+^2=-^+1)(2^+1),則當(dāng)〃=%+1時，有

6

『+22+…+(&+1)2=4(左+1)[(&+1)+1[2伙+1)+1],所以當(dāng)〃=2+1時等式也成立.

6

由此得出，對任何〃eN*,等式都成立.

答案：證法有錯誤.

追問1：這道題需要證明〃=1的情況嗎？

答案：這道題需要證明"=1的情況.這個證法只有第二步，而缺少了第一步，沒有證

明〃=1的情況.第一步是后面遞推的出發(fā)點，沒有它，遞推就成為無源之水.所以，我們

應(yīng)該先考慮當(dāng)〃=1時該式是否成立.當(dāng)”=1時，該式的左邊=『=1.而右邊

11x9x3

=-xlx(l+l)x(2xl+l)=------=1.左邊等于右邊，所以〃=1時該式成立.

66

追問2：上述證法如果加上證明〃=1的情況，還有錯誤嗎？

答案：這個證法當(dāng)”=什1時，有F+2?+…+/+(%+1)2

(左+1)[供+1)+1][2(A+1)+1],直接把左給換成％+1.然后就說當(dāng)"=%+1時也成立.而

6

把人換成才+1的前提是產(chǎn)+22+…+〃2=工”(〃+1)(2〃+1)當(dāng)〃=*+1時成立，這正是我們

要證明的結(jié)論，不能把它當(dāng)作己經(jīng)條件.

追問3：如何修改上述證法？

答案：首先要明確目標(biāo)：我們是假設(shè)"斗時該式成立，并以此為條件證明*%+1時該

式也成立，從而證明命題的成立具有遞推性.所以，-+2?+…+左2+供+1)2

='(左+1)[供+1)+1][2/+1)+1]這個式子是需要我們證明的，是我們的目標(biāo).那該怎么

6

證明呢？我們一定要用上假設(shè).既然假設(shè)當(dāng)〃=左時該式成立，那么『+22+…+公

=-k(k+l)(2k+1)這個式子就成了已知條件.然后比較一下已知條件和要證明的式子，

6

等號左邊多了一個(后+1)2這一項，那不妨在式子兩邊同時加上(％+1-，就有

F+22+…+^+(%+1)2=_1燈火+1)(24+1)+/+1)2.再進行化簡，我們的目標(biāo)就達成

6

T.說明〃4時該式成立能推出〃=上+1時該式也成立，加之后的任意性，我們由這兩個步

驟就可知：對任何〃wN*,等式都成立.

方法歸納

問題2：怎樣正確地使用數(shù)學(xué)歸納法？

答案：首先，一定不要忘了驗證第一步，我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明

奠定了基礎(chǔ)，是必不可少的.其次，我們的第二步是在第一步基礎(chǔ)上證明命題的成立具有

遞推性，這實際上是以邏輯的推理代替了無限的驗證過程.假設(shè)P(左)為真，要用上假

設(shè)，以此為已知條件，證明P(K1)也為真，要明確“用上假設(shè)，遞推才真”.

典例剖析

例2已知數(shù)列｛q)滿足q=0,2an+l-anan+i=1(neN*),試猜想數(shù)列｛a?｝的通

項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

答案：這個數(shù)列，已知首項，又已知反映相鄰兩項關(guān)系的遞推公式.我們可以對這個

式子稍加變形，把提出來，化為a“M=」一(〃eN*),這樣我們就能清晰地看出

2-

后一項與前一項之間的關(guān)系.然后我們由4=0,可得a,=——=-.同理可得

'-2-02

—1^-=-3?%==1？=4?.歸納一下：每一項的分母就是該項

2二4s2一35

34

fl—1

的序號，分子比分母小1.故猜想為=生」（〃金N*）.

n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.第一步，當(dāng)〃=1時，該式左邊=q=0,右邊="

=0,猜想成立.第二步，假設(shè)〃=%（々eN*）時，該式成立，即q=三，這個式子就

可以作為已知條件，我們后面要用上它.而我們此時要證明n=k+\時也成立，即證明

JU,這是我們的目標(biāo).那么為與知之間有什么關(guān)系？根據(jù)遞推公式

Z+1

4+i=」一，把q=工二代入，得出一J，分子分母同時乘上上就得出3,

+l

*2-a,卜k2k-\k+i

一k

也就是出±D二！.這樣就證明了片人1時也成立.由這兩個步驟可知，猜想對任何〃eN*

k+l

都成立.這樣，我們就通過“觀察一一歸納——猜想一一證明”的過程解決了這一問題.

例3：已知數(shù)列何20,<71=0,a：+i+。“+|-1求證：當(dāng)"GN*時，

答案：（1）由題意得，當(dāng)"=1時，a；+a,—1=0,因為a20,所以a,=~~->即ai<

4〃2

〃2成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（）時，0/以Va^\,所以

d+l~ak=（d+2+ak+2—1）—（。；+1+以+1—1）=（或+2—以+1）（以+2+以+1+1）>0,又

所以詼+2+。a1+1>0，所以像+1V或+2,即當(dāng)〃=攵+1時，a〃V〃〃+|也成立.

綜上可知，an<an+\對任意"￡N*都成立.

例4：用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+L+l+…+-L<1+〃（〃GN*）.

232"2

思路點撥：分別確定當(dāng)〃=1,〃=怎〃=左+1時不等式的左邊的值，找到它們之間的關(guān)系,

運用數(shù)學(xué)歸納法證題.

證明（1）當(dāng)〃=1時，1+工=3①，不等式成立.

22

（2）假設(shè)當(dāng)”=后（無WN*）時，不等式成立,

即l+'+Ld—+」-這」+3貝！I當(dāng)n—k+1時

232*2

1+-+-+—+—+???+--!~-<-+k+2k--!-=-+（^+1）,即當(dāng)

232*2*+122+22*+2*22"2',

+1時，不等式成立.

由（1）和（2）可知，不等式對任意〃WN*都成立.

例5設(shè)x為正實數(shù)，〃為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列I,1+x,(1+x)2,…，(l+x)"T,-

的前〃項和為S,,試比較S“與〃的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.這道題有哪些思

路？

答案：一種思路是不求和，直接通過〃取特殊值比較S“與〃的大小關(guān)系，并作出猜

想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出S“，再通過〃取特殊值比較S,與〃的大

小關(guān)系，然后做出猜想.

追問1：該如何解決這道題？

答案：我們不求和，由已知可得S“=l+(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)"，然后我們通

過"取特殊值比較S“與”的大小關(guān)系.當(dāng)"=2時，S?=l+(l+x)=2+x,而此時"=2,

那就是要比較2+x與2的大小.這取決于x的正負(fù).而題目中說了x為正實數(shù)，所以可得

22

S2>2.當(dāng)〃=3時，S3=l+(l+x)+(l+x)=3+3x+x.同樣，因為x>0,所以3x+x)

這一部分是大于0的，那自然就有S3>3.由此，我們猜想">〃，這在是x為正實數(shù)

(xeR*),”為大于1的正整數(shù)的前提下(〃eN*且〃>1).

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.首先，我們這里的〃是大于1的正整數(shù)，最小是

2.所以第一步應(yīng)證明n=2時命題成立.而n=2的情況我們前面己經(jīng)算過了，不等式是成立

的.然后是第二步，假設(shè)片上時不等式成立.因為〃最小也得是2,所以無應(yīng)該是22的正整

數(shù).那么我們就有這個式子就可以作為已知條件使用了.然后，我們必須明確一下

證明的目標(biāo)，就是要證明片人1時不等式成立，即&用>%+1,那我們接下來就要尋求臬

與&用之間的關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)，S*+1=S*+(l+x)?,而&>左，所以S*M>Z+(l+x)。

而我們要證明的是既+|>女+1,如果有(l+x?>1就可以了.因為x>0,所以1+%>1,而后

又是大于等于2的正整數(shù)，所以1+x的k次塞一定是大于1的.這就說明當(dāng)n=k+\時不等

式也成立.綜合以上兩步，就證明了S“>〃對任何大于1的正整數(shù)〃都成立.

追問2：這道題還有其他解法嗎？

答案：實際上這個數(shù)列是一個以1為首項，以1+x為公比的等比數(shù)列，我們可以先把前

〃項和給求出來，s“=]x[l_(l+x)”.〕=(l+x)”_l.我們接下來通過〃取幾個特殊值來比

l-(l+x)x

較S“與”的大小關(guān)系.當(dāng)〃=2時，S,=(1+X)2T=%+2,因為x為正實數(shù)，所以可得

X

1+2

5,>2.當(dāng)〃=3時，S3=--=X+3%+3.因為X>0,所以S3>3.由此，我們猜

X

想Sn>n.

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.第一步，應(yīng)證明片2時命題成立.而〃=2的情

況我們前面已經(jīng)算過了，不等式是成立的.然后是第二步，假設(shè)片人時不等式成立，那么

我們就有Sk>k,即(""7>k這個式子就可以作為已知條件使用T-而我們的目標(biāo)