高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市九校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共分8頁(yè).滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將學(xué)校、姓名寫在答題卡上，正確填涂考試號(hào).〖答案〗涂、寫在答題卡上指定位置.考試結(jié)束后交回答題卡.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值為（）A.1 B.－1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得.故選：B2.數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為（）A.6 B.6.5 C.7 D.5.5〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，，故60百分位數(shù)為.故選：D3.向量與不共線，，，且與共線，則k，l應(yīng)滿足（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由與共線，故，即，故，所以.故選：D.4.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，則，底面周長(zhǎng)為，則，所以，所以圓錐的表面積為，故選：A.5.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，易知，所以，所?故選：C.6.從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，共有種取法,而取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的情況有和以及,共3種,故這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為,故選：B7.在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗①，所以錯(cuò)誤；②，所以正確；③若，則,所以為等腰三角形，所以正確；④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯(cuò)誤．故選：B8.已知銳角，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴由正弦定理可得，∵由余弦定理，可得，又，∴可得，∵銳角中，若B是最大角，則B必須大于，所以，所以，所以，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.z的共軛復(fù)數(shù)為 B.z的虛部為1C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.〖答案〗BCD〖解析〗由題得，復(fù)數(shù)，故z的共軛復(fù)數(shù)為，則A錯(cuò)誤；z的虛部為1，故B正確；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；，故D正確．故選:BCD．10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)B.向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得D.非零向量和滿足，則與的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗A.因?yàn)椋裕忠驗(yàn)榕c的夾角為銳角，所以，即且，解得且，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)橄蛄?，，所以，即共線，所以不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故正確；C.當(dāng)時(shí)，滿足，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)，使得，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)榉橇阆蛄亢蜐M足，則，即，則，，所以，因?yàn)椋瑒t，故錯(cuò)誤；故選：ACD11.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為9”，則（）A.A與B互斥 B.與互斥 C.A與獨(dú)立 D.與獨(dú)立〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，記表示事件“第一枚點(diǎn)數(shù)為，第二枚點(diǎn)數(shù)為”，則事件A包含事件，事件B也包含事件，所以，故A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即與互斥，故B正確；對(duì)于C，總的基本事件有件，事件A的基本事件有件，故，由選項(xiàng)B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故與獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，事件的基本事件有件，故，由選項(xiàng)B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故與不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，下列說(shuō)法正確的是（）A.若有兩解B.若有兩解C.若為銳角三角形，則b的取值范圍是D.若為鈍角三角形，則b的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，∵，∴有兩解，故A正確；B選項(xiàng)，∵，∴有一解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項(xiàng)，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13.設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：與，它們之間存在關(guān)系式：（，其中非零常數(shù)），若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為和，則和之間的關(guān)系是________．〖答案〗〖解析〗兩組數(shù)據(jù):,與,,它們之間存在關(guān)系式:

即第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的倍還要整體加上,

在一列數(shù)字上同時(shí)加上一個(gè)數(shù)字方差不變,而同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)字方差要乘以這個(gè)數(shù)字的平方,

和之間的關(guān)系是,

故填:,14.邊長(zhǎng)為的三角形的最大角與最小角之和為_(kāi)___．〖答案〗120°〖解析〗根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為8與5，設(shè)長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為θ，則最大角與最小角的和是180°-θ，由余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，則最大角與最小角的和是180°-θ=120°，故〖答案〗為．15.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為_(kāi)_．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故〖答案〗為：.16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接交與點(diǎn)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，，則，則正方形面積為：，四棱錐的側(cè)面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形．如圖：設(shè)重合點(diǎn)為，該四棱錐為正四棱錐，球心應(yīng)在的連線上，設(shè)為，設(shè)外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：故〖答案〗為四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，設(shè).（1）求證：1＋ω＋ω2＝0；（2）計(jì)算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．（1）證明：∵，，∴（2）解：由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1.∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18.已知，，，是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，，∴，∴，∴．（2）∵，是第三象限角，∴，故．19.為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長(zhǎng)，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．（1）求的值；（2）若測(cè)得，求待測(cè)徑長(zhǎng)．解：（1）在中，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，因?yàn)闉殁g角，所以，所以.（2）在，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），因?yàn)?，所以，在，，由余弦定理可得：，解得：，，，，，，在，由余弦定理可得：，?20.社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進(jìn)高素質(zhì)人才對(duì)社會(huì)的發(fā)展具有重大作用．某市進(jìn)行人才引進(jìn)，需要進(jìn)行筆試和面試，一共有名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績(jī)都在內(nèi)，將筆試成績(jī)按照、、、分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（3）若計(jì)劃面試人，請(qǐng)估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．解：（1）由題意有，解得.（2）應(yīng)聘者筆試成績(jī)的眾數(shù)為，應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)為．（3），所以，面試成績(jī)的最低分為百分位數(shù)，前兩個(gè)矩形面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)百分位數(shù)為，則，解得.因此，若計(jì)劃面試人，估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線為.21.如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，．（1）求證：；（2）當(dāng)與平面BCD所成角為45°時(shí)，求二面角的余弦值．（1）證明：在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.（2）解：取BC中點(diǎn)F，連接AF，DF，如圖，因?yàn)榈冗吶切?，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，令，則，因，即有，由(1)知，，則有，過(guò)C作交AD于O，在平面內(nèi)過(guò)O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，顯然E是斜邊中點(diǎn)，則，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.22.設(shè)是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)四等分線段（如圖所示）．（1）求的值；（2）為線段上一點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；（3）為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．解：（1）原式，在中，由余弦定理，得，所以（2）易知，即，即，因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，設(shè)，所以，解得所以；（3）①當(dāng)在線段上時(shí)，；②當(dāng)在線段上時(shí)，；要使最小，則必在線段上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)為時(shí)，最小，則由（1）可知，則由余弦定理得，江蘇省南京市九校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共分8頁(yè).滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將學(xué)校、姓名寫在答題卡上，正確填涂考試號(hào).〖答案〗涂、寫在答題卡上指定位置.考試結(jié)束后交回答題卡.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值為（）A.1 B.－1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得.故選：B2.數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為（）A.6 B.6.5 C.7 D.5.5〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，，故60百分位數(shù)為.故選：D3.向量與不共線，，，且與共線，則k，l應(yīng)滿足（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由與共線，故，即，故，所以.故選：D.4.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，則，底面周長(zhǎng)為，則，所以，所以圓錐的表面積為，故選：A.5.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，易知，所以，所?故選：C.6.從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，共有種取法,而取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的情況有和以及,共3種,故這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為,故選：B7.在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗①，所以錯(cuò)誤；②，所以正確；③若，則,所以為等腰三角形，所以正確；④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯(cuò)誤．故選：B8.已知銳角，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴由正弦定理可得，∵由余弦定理，可得，又，∴可得，∵銳角中，若B是最大角，則B必須大于，所以，所以，所以，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.z的共軛復(fù)數(shù)為 B.z的虛部為1C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.〖答案〗BCD〖解析〗由題得，復(fù)數(shù)，故z的共軛復(fù)數(shù)為，則A錯(cuò)誤；z的虛部為1，故B正確；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；，故D正確．故選:BCD．10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)B.向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C.若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得D.非零向量和滿足，則與的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗A.因?yàn)椋?，又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，即且，解得且，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)橄蛄浚?，所以，即共線，所以不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故正確；C.當(dāng)時(shí)，滿足，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)，使得，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)榉橇阆蛄亢蜐M足，則，即，則，，所以，因?yàn)?，則，故錯(cuò)誤；故選：ACD11.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為9”，則（）A.A與B互斥 B.與互斥 C.A與獨(dú)立 D.與獨(dú)立〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，記表示事件“第一枚點(diǎn)數(shù)為，第二枚點(diǎn)數(shù)為”，則事件A包含事件，事件B也包含事件，所以，故A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即與互斥，故B正確；對(duì)于C，總的基本事件有件，事件A的基本事件有件，故，由選項(xiàng)B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故與獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，事件的基本事件有件，故，由選項(xiàng)B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故與不獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，下列說(shuō)法正確的是（）A.若有兩解B.若有兩解C.若為銳角三角形，則b的取值范圍是D.若為鈍角三角形，則b的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，∵，∴有兩解，故A正確；B選項(xiàng)，∵，∴有一解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項(xiàng)，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，13.設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：與，它們之間存在關(guān)系式：（，其中非零常數(shù)），若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為和，則和之間的關(guān)系是________．〖答案〗〖解析〗兩組數(shù)據(jù):,與,,它們之間存在關(guān)系式:

即第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的倍還要整體加上,

在一列數(shù)字上同時(shí)加上一個(gè)數(shù)字方差不變,而同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)字方差要乘以這個(gè)數(shù)字的平方,

和之間的關(guān)系是,

故填:,14.邊長(zhǎng)為的三角形的最大角與最小角之和為_(kāi)___．〖答案〗120°〖解析〗根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為8與5，設(shè)長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為θ，則最大角與最小角的和是180°-θ，由余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，則最大角與最小角的和是180°-θ=120°，故〖答案〗為．15.已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為_(kāi)_．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，，，故〖答案〗為：.16.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接交與點(diǎn)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，，則，則正方形面積為：，四棱錐的側(cè)面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形．如圖：設(shè)重合點(diǎn)為，該四棱錐為正四棱錐，球心應(yīng)在的連線上，設(shè)為，設(shè)外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：故〖答案〗為四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，設(shè).（1）求證：1＋ω＋ω2＝0；（2）計(jì)算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．（1）證明：∵，，∴（2）解：由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1.∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18.已知，，，是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，，∴，∴，∴．（2）∵，是第三象限角，∴，故．19.為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長(zhǎng)，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．（1）求的值；（2）若測(cè)得，求待測(cè)徑長(zhǎng)．解：（1）在中，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，因?yàn)闉殁g角，所以，所以.（2）在，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），因?yàn)椋?，在，，由余弦定理可得：，解得：，，，，，?/p>