吉林省四平市公主嶺市第五高級中學2023-2024學年數學高一下期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，弦長等于的弧田.按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得弧田面積為（）A． B． C． D．2．角的終邊過點，則等于（）A． B． C． D．3．已知,,,,則()A． B．C． D．4．若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則的值等于（）A．1 B．5 C．9 D．45．已知是兩條不重合的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，是異面直線，那么與相交B．若//,，則C．若，則//D．若//，則6．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．7．直線的傾斜角是()A． B． C． D．8．已知是等差數列，，其前10項和，則其公差A． B． C． D．9．已知直線是平面的斜線，則內不存在與（

）A．相交的直線 B．平行的直線C．異面的直線 D．垂直的直線10．曲線與過原點的直線沒有交點，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在，若，，，則__________________．12．已知中，的對邊分別為，若，則的周長的取值范圍是__________．13．已知等差數列中，，則_______14．已知數列，，且，則________．15．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為．16．在數列中，若，（），則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知分別是銳角三個內角的對邊，且，且.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求面積的最大值；18．某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．組號分組頻數頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請先求出頻率分布表中位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學校決定在名學生中隨機抽取名學生接受考官進行面試，求：第組至少有一名學生被考官面試的概率．19．已知等差數列與等比數列滿足，，且.（1）求數列，的通項公式；（2）設，是否存在正整數，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.20．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大??；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．21．已知數列中，，．（1）證明數列為等比數列，并求的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，求證．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

首先根據圖形計算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【詳解】如圖所示：因為，，為等邊三角形.所以，矢，弦..故選：C【點睛】本題主要考查扇形面積公式，同時考查學生對題意的理解，屬于中檔題.2、B【解析】由三角函數的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.3、C【解析】

分別求出的值再帶入即可．【詳解】因為,所以因為,所以所以【點睛】本題考查兩角差的余弦公式．屬于基礎題．4、C【解析】試題分析：由韋達定理得，，則，當適當排序后成等比數列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，所以．考點：等差中項和等比中項．5、D【解析】

采用逐一驗證法，結合線面以及線線之間的位置關系，可得結果.【詳解】若，是異面直線,與也可平行，故A錯若//，，也可以在內，故B錯若也可以在內，故C錯若//，則，故D對故選：D【點睛】本題主要考查線面以及線線之間的位置關系，屬基礎題.6、C【解析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數量積的定義可計算出的值.【詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了平面向量數量積定義的計算，在求平面向量數量積的計算時，要注意向量的起點要一致，考查運算求解能力，屬于中等題.7、B【解析】

先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【詳解】，可知，即，故選B【點睛】一般直線方程求傾斜角將直線轉換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．8、D【解析】，解得，則，故選D．9、B【解析】

根據平面的斜線的定義，即可作出判定，得到答案．【詳解】由題意，直線是平面的斜線，由斜線的定義可知與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線，所以在平面內肯定不存在與直線平行的直線．故答案為：B【點睛】本題主要考查了直線與平面的位置關系的判定及應用，其中解答中熟記平面斜線的定義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．10、A【解析】

作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點旋轉時，直線與曲線沒有交點時，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【詳解】當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過原點的直線與曲線沒有交點，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數形結合思想，解題的關鍵就是作出圖形，利用數形結合思想進行求解，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由,故用二倍角公式算出,再用余弦定理算得即可.【詳解】,又，,又,代入得,所以.故答案為【點睛】本題主要考查二倍角公式與余弦定理,屬于基礎題型.12、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化簡可得．∵，∴，解得（當且僅當時，取等號）．故．再由任意兩邊之和大于第三邊可得，故有，故的周長的取值范圍是，故答案為．點睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得，由此求得△ABC的周長的取值范圍．13、【解析】

設等差數列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數式可得出答案?！驹斀狻吭O等差數列的公差為，則，因此，，故答案為：?！军c睛】本題考查等差數列中項的計算，解決等差數列有兩種方法：基本性質法（與下標相關的性質）以及基本量法（用首項和公差來表示相應的量），一般利用基本量法來進行計算，此外，靈活利用與下標有關的基本性質進行求解，能簡化計算，屬于中等題。14、【解析】

由題意可得{}是以+1為首項，以2為公比的等比數列，再由已知求得首項，進一步求得即可．【詳解】在數列中，滿足得，則數列是以+1為首項，以公比為2的等比數列，得，由，則，得．由，得，故．故答案為：【點睛】本題考查了數列的遞推式，利用構造等比數列方法求數列的通項公式，屬于中檔題．15、【解析】試題分析：畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，如圖：BC的中點為O，連結ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四邊形，∴BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案為．考點：異面直線及其所成的角．16、【解析】

由題意，得到數列表示首項為1，公差為2的等差數列，結合等差數列的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，數列中，滿足，（），即（），所以數列表示首項為1，公差為2的等差數列，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數列的定義和通項公式的應用，其中解答中熟記等差數列的定義，合理利用數列的通項公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理將角化為邊得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）因為，由正弦定理有，既有，由余弦定理得，.（Ⅱ），即，當且僅當時等號成立，當時，,所以的最大值為.18、（1）人，，直方圖見解析；（2）人、人、人；（3）.【解析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據第組的頻數計算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進入第二輪面試的人數．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個數，利用古典概型求得概率．【詳解】（1）①由題可知，第2組的頻數為人，②第組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，

（2）因為第組共有名學生，所以利用分層抽樣在名學生中抽取名學生進入第二輪面試，每組抽取的人數分別為：第組：人，第組：人，第組：人，所以第組分別抽取人、人、人進入第二輪面試．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，則從這六位同學中抽取兩位同學有種選法，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，其中第組的位同學中至少有一位同學入選的有種，分別為：，，，∴第組至少有一名學生被考官面試的概率為．【點睛】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應用，考查概率的求法，考查數據處理能力、運算求解能力，是基礎題．19、（1），．（2）存在正整數，，證明見解析【解析】

（1）根據題意，列出關于d與q的兩個等式，解方程組，即可求出。（2）利用錯位相減求出，再討論求出的最小值，對應的n值即為所求的k值?！驹斀狻浚?）解：設等差數列與等比數列的公差與公比分別為，，則，解得，于是，，．（2）解：由，即，①，②①②得：，從而得．令,得,顯然、所以數列是遞減數列，于是，對于數列，當為奇數時，即，，，…為遞減數列，最大項為，最小項大于；當為偶數時，即，，，…為遞增數列，最小項為，最大項大于零且小于，那么數列的最小項為．故存在正整數，使恒成立．【點睛】本題考查等差等比數列，利用錯位相減法求差比數列的前n項和，并討論其最值，屬于難題。20、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據二倍角公式,三角形內角和,所以,整理為關于的二次方程，解得角的大??；（2）根據三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據余弦定理再求，最后根據證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關三角問題的公式都有涉及，當出現時，就要考慮一個條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的一個.21、（1）證明見解析；；（2）【解析】

（1）先