第24講圓的有關(guān)計算圓的弧長及扇形面積公式考試內(nèi)容考試要求圓的半徑是R，弧所對的圓心角度數(shù)是nb弧長公式弧長l＝eq\f(nπR,180)扇形面積公式S扇＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR拓展求運動所形成的路徑長或面積時，關(guān)鍵是理清運動所形成圖形的軌跡變化，特別是扇形，需要理清圓心與半徑的變化．考試內(nèi)容考試要求基本思想轉(zhuǎn)化思想：處理不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．c(2017·衢州)運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8.則圖中陰影部分的面積是()A.eq\f(25,2)πB．10πC．24＋4πD．24＋5π2．(2017·溫州)已知扇形的面積為3π，圓心角為120°，則它的半徑為____________________．3．(2017·臺州)如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB長為30cm，則弧BC的長為____________________cm.(結(jié)果保留π)【問題】(1)如圖，將長為8cm的鐵絲首尾相接圍成半徑為2cm的扇形．則S扇形＝________cm2.通過(1)解答，你能聯(lián)想扇形等相關(guān)的哪些知識．【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理扇形的弧長公式、面積公式的計算．類型一弧長的計算eq\a\vs4\al(例1)(2016·湖州)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.(1)求證：BD＝CD；(2)若圓O的半徑為3，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的長．【解后感悟】本題運用弧長的計算公式，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角及半徑．(1)(2015·紹興)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B＝135°，則eq\o(AC,\s\up8(︵))的長()A．2πB．πC.eq\f(π,2)D.eq\f(π,3)如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為()A.eq\f(π,4)cmB.eq\f(7π,4)cmC.eq\f(7π,2)cmD．7πcm2．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中eq\o(CD,\s\up8(︵))，eq\o(DE,\s\up8(︵))，eq\o(EF,\s\up8(︵))，…的圓心按點A，B，C循環(huán)．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是(結(jié)果保留π)．類型二扇形面積的計算eq\a\vs4\al(例2)(2016·黃石)如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA＝AC＝2，將正方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是.【解后感悟】求不規(guī)則圖形的面積，常轉(zhuǎn)化為易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果；陰影部分一般都是不規(guī)則的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路，一是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和、差；二是進行圖形的割補．扇形面積公式和弧長公式容易混淆，S扇形＝eq\f(n,360)πR2＝eq\f(1,2)lR.如圖，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連結(jié)CE，則陰影部分的面積是____________________(結(jié)果保留π)．4．(2017·麗水模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的一點，連結(jié)BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點D.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若∠A＝60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留根號和π)類型三圓與正多邊形的計算eq\a\vs4\al(例3)如圖，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點P是ED的中點，連結(jié)AP，則AP的長為()A．2eq\r(3)B．4C.eq\r(13)D.eq\r(11)【解后感悟】本題是正六邊形的有關(guān)計算，運用正六邊形的性質(zhì)將正六邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形或等邊三角形是解題的關(guān)鍵．(2015·金華)如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則eq\f(EF,GH)的值是()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．26．(1)如圖，⊙O的半徑為1cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則圖中陰影部分面積為cm2.(結(jié)果保留π)(2)(2015·深圳模擬)如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a，按此規(guī)律；則第n個正多邊形的面積為____________________．類型四平面圖形的運動問題eq\a\vs4\al(例4)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為________．【解后感悟】本題運用了弧長的計算、矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；根據(jù)題意畫出點A運動軌跡，是突破解題難點的關(guān)鍵．7．如圖，BD是汽車擋風玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，當BD繞點O旋轉(zhuǎn)90°時，求刮雨刷BD掃過的面積．【探索研究題】如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點A的坐標為(0，6)，BC的中點D在y軸上，且在點A下方，點E是邊長為2，中心在原點的正六邊形的一個頂點，把這個正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為()A．3B．4－eq\r(3)C．4D．6－2eq\r(3)【方法與對策】這是兩個正多邊形通過直角坐標系的組合，然后利用旋轉(zhuǎn)變換設(shè)置問題，利用幾何最值求解，這類題型是中考命題的方向．【忽視關(guān)鍵位置的運動路徑】如圖，將半徑為2cm的圓形紙板沿著長和寬分別為16cm和12cm的矩形的外側(cè)滾動一周并回到開始的位置，圓心所經(jīng)過的路線長是________cm.參考答案第24講圓的有關(guān)計算【考題體驗】1．A2.33.20π【知識引擎】【解析】(1)由題意知，弧長＝8－2×2＝4cm，扇形的面積是eq\f(1,2)×4×2＝4cm2，故答案為：4cm2.(2)扇形的弧長及面積等相關(guān)知識．【例題精析】例1(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圓周角定理，得eq\o(BC,\s\up8(︵))的度數(shù)為60°，故eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(60π×3,180)＝π，答：eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為π.例2∵OA＝AC＝2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝eq\r(2)，OC＝4，S陰影＝eq\f(60°,360°)π(42－22)＋(eq\r(2))2＝2π＋2，故答案為：2π＋2.例3∵△ABE、△APE為直角三角形，∴AE＝eq\r(BE2－AB2)＝eq\r(42－22)＝eq\r(12)，∴AP＝eq\r(AE2＋PE2)＝eq\r(12＋1)＝eq\r(13)，故選C.例4∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，對角線AC(BD)＝5.∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，∴點A第一次翻滾到點A′位置時，則點A經(jīng)過的路線長為eq\f(90π×3,180)＝eq\f(3π,2)；同理，點A′第一次翻滾到點A″位置時，則點A′經(jīng)過的路線長為eq\f(90π×4,180)＝2π，點A″第一次翻滾到點A1位置時，則點A″經(jīng)過的路線長為eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5π,2)，則當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為eq\f(3π,2)＋2π＋eq\f(5π,2)＝6π.故答案是6π.【變式拓展】1．(1)B(2)B2.4π3.3－eq\f(1,3)π4.如圖，連結(jié)OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1，∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°∵OD為半徑，∴AC是⊙O的切線；(2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt△ODC中，tan60°＝eq\f(DC,OD)，DC＝ODtan60°＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴SRt△ODC＝eq\f(1,2)OD·DC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，S扇形ODE＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(60×π×22,360)＝eq\f(2,3)π，∴S陰影＝SRt△ODC－S扇形ODE＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π.C6.(1)eq\f(π,6)(2)eq\f(n＋1,2)a7.在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積為扇環(huán)的面積，即S陰影＝S扇形AOB－S扇形COD＝eq\f(1,4)π(OA2－OC2)＝eq\f(1,4)