試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁雅安市高2021級第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）試題（本試卷滿分150分，答題時間120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上；.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙，試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，則向量在向量方向上的投影是（

）A．-1 B．1 C． D．4．已知如圖中程序框圖的輸出結(jié)果為1275，則判斷框里可填（

）

A． B． C． D．5．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．21 B．24 C．27 D．296．二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據(jù)0和1的二進制編碼規(guī)則，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年7．直線與曲線相切的一個充分不必要條件為（

）A． B．C． D．8．從五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．9．如圖，在正方體中，已知點為底面的中心，為棱的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．平面B．平面C．異面直線與所成的角等于D．直線與平面所成的角等于10．在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點；②當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)，則正數(shù)的最小值為；③若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為；④若函數(shù)在上恰有兩個極值點，則的取值范圍為.A．1 B．2 C．3 D．412．若拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，，圓為的外接圓，直線與圓相切于點，點為圓上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上.13．已知點的坐標滿足條件，則的最大值為.14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù).15．已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.16．已知四邊形中，，設(shè)與的面積分別為，則的最大值為.三?解答題（本大題共6小題，共70分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.18．跑腿服務(wù)是隨即時物流發(fā)展出現(xiàn)的非標準化服務(wù)，省時省力是消費者使用跑腿服務(wù)的主要目的，隨著消費者即時需求和節(jié)約時間需求的提升，跑腿經(jīng)濟的發(fā)展空間有望逐步擴大，某跑腿服務(wù)公司隨機統(tǒng)計了800名不同年齡消費者每月的跑腿服務(wù)使用頻率得到如下頻數(shù)分布表：每月1次50404090每月2～4次808010060每月5～10次60755647每月10次以上10543(1)若把年齡在內(nèi)的人稱為青年，年齡在內(nèi)的人稱為中年，每月使用跑腿服務(wù)低于5次的為使用頻率低，不低于5次的為使用頻率高，補全下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為跑腿服務(wù)的使用頻率高低與年齡有關(guān)?青年中年合計使用頻率高使用頻率低合計(2)從樣本中每月使用跑腿服務(wù)2～4次且年齡在內(nèi)的消費者中按照年齡段利用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與內(nèi)的人數(shù)分別為X、Y，若，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．四棱錐中，，底面為等腰梯形，，為線段的中點，.

(1)證明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.20．設(shè)分別為橢圓的左右焦點，橢圓的短軸長為是直線上除外的任意一點，且直線的斜率與直線的斜率之比為3.(1)求橢圓的方程；(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，判斷是否成等差數(shù)列？并說明理由.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.選做題：請考生在22?23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方柜涂黑.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．如圖，在極坐標系中，曲線是以為圓心的半圓，曲線是以為圓心的圓，曲線都過極點.

(1)分別寫出曲線，曲線的極坐標方程；(2)射線與曲線分別交于兩點（異于極點），求面積的最大值.[選修4-5：不等式選講]23．已知.(1)若，解不等式；(2)當(dāng)時，的最小值為3，若正數(shù)滿足，證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】求出集合中函數(shù)的定義域后再根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】，故，故選：A2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算可得，再由共軛復(fù)數(shù)定義可得.【詳解】由可得，則.故選：A3．C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算求解投影即可.【詳解】因為向量，所以向量在向量方向上的投影是.故選：C.4．D【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量，根據(jù)n的取值以及等差數(shù)列的知識即可得到判斷框內(nèi)的條件．【詳解】模擬程序框圖的運行過程，可知：輸入，，進入循環(huán)體得：，，進入循環(huán)體得，，，進入循環(huán)體得，，，進入循環(huán)體得，由此推出，即，解得：，這說明最后一次執(zhí)行循環(huán)體時，是進入循環(huán)體，由得，，由得，退出循環(huán)，因此判斷框應(yīng)填寫：“”.故選：D.5．A【分析】由等差中項的性質(zhì)、以及等差數(shù)列基本量的計算得公差，進一步即可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，若，即則公差，所以.故選：A.6．A【分析】利用取對數(shù)法進行化簡求解即可．【詳解】萬年用掉個二維碼，大約能用萬年，設(shè)，則，即萬年．故選：A．7．B【分析】設(shè)出切點，由直線和曲線相切得的表達式，對比選項即可求解.【詳解】由題意設(shè)，則，設(shè)直線與曲線相切的切點為，則，所以，所以，所以.對比選項可知直線與曲線相切的一個充分不必要條件為.故選：B.8．C【分析】分類討論分別求沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)，結(jié)合古典概型運算求解.【詳解】若選擇的4個數(shù)中有0，則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個；若選擇的4個數(shù)中無0，則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個；所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個.若個位數(shù)為0，則沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個；若個位數(shù)不為0，則沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)有個；所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有個.綜上所述：該數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：C.9．D【分析】根據(jù)平行四邊形即可得線線平行，進而可判斷A，根據(jù)，即可判斷B,根據(jù)異面直線的夾角即可求解C，根據(jù)線面角的幾何法即可求解D.【詳解】對于A，連接，，交于，則四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接，為底面的中心，為棱的中點，，由于平面，平面，所以，又,且都在面內(nèi)，則平面，有平面，故，同理可得，再由平面,平面，則平面，B正確；對于C，，為異面直線與所成的角所成的角，△為等邊三角形，，故C正確；對于D，因為平面，為直線與平面所成的角，由于，故不等于，故D不正確故選：D

10．D【分析】由題意及雙曲線的漸近線的斜率可得，再由橢圓，雙曲線的離心率的求法，分別判斷出所給命題的真假．【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對值為，則，所以，所以,，所以C不正確；，所以，所以B不正確；，所以A不正確；，且，則，所以D正確．故選：D．11．B【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由圖象分析判斷①；由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷②③；由極大值的意義結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷④.【詳解】依題意，，函數(shù)，對于①：，令，即，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，兩個函數(shù)在上只有一個零點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，①正確；對于②：為奇函數(shù)，則，，即正數(shù)的最小值為，②正確；對于③：當(dāng)時，，由在上單調(diào)遞增，得，解得，正數(shù)有最大值，③錯誤；對于④：當(dāng)時，，而在上恰有兩個極值點，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，因此的取值范圍是，④錯誤.綜上，共2個正確，故選：B.12．B【分析】借助焦半徑公式計算可得，結(jié)合外接圓的定義即可求得該外接圓方程，借助切線性質(zhì)可得點的坐標，設(shè)出點坐標，借助坐標表示出，結(jié)合輔助角公式計算即可得解.【詳解】由，可得，故，則，令，則，即，分別為，令圓心坐標為，則有，解得，故圓的半徑為，即圓的方程為，設(shè)，，則有，化簡得，即，則，由圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，即，設(shè)，，則，其中，由，故，故.故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助三角函數(shù)設(shè)出、的坐標，從而只用一個變量表示該點，用角表示出后，結(jié)合輔助角公式計算即可得.13．15【分析】畫出不等式組表示的可行域，結(jié)合的幾何意義計算即可得.【詳解】如圖所示，畫出不等式組表示的可行域，令，則，則為直線的縱截距，由圖象可知，直線過點時，截距最大，，解得，即，則.故答案為：.

14．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可列關(guān)系式求解.【詳解】定義域為，，所以，故，故答案為：15．【分析】設(shè)，結(jié)合條件可求，根據(jù)三棱柱有內(nèi)切球求出此三棱柱的內(nèi)切球半徑，再求外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式求結(jié)論.【詳解】設(shè)，因為，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，因為三棱柱有內(nèi)切球，所以，因為，，所以直三棱柱的外接球的直徑就是以為棱的長方體的對角線，其長為，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故答案為：.16．14【分析】根據(jù)余弦定理可得，繼而根據(jù)面積公式可得表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】四邊形中，，，則，．在中，利用余弦定理：，所以：．在中，利用余弦定理：，所以：．所以：．則當(dāng)時，最大值，最大值為14，故答案為：14．17．(1)(2)【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進行討論即可求解；（2）首先得，進一步結(jié)合錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減得，，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）可知，記，，，兩式相減得.18．(1)列聯(lián)表見解析，有；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并與臨界值表比對作答.（2）求出8人中兩個年齡段的人數(shù)，求出的可能值及各個值及各個對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.【詳解】（1）補全的列聯(lián)表如下：青年中年合計使用頻率高150110260使用頻率低250290540合計400400800所以，所以有99%的把握認為跑腿服務(wù)的使用頻率高低與年齡有關(guān).（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內(nèi)的人數(shù)分別為5，3，依題意，的所有可能取值分別為為1，3，所以，，所以的分布列為：13P所以的數(shù)學(xué)期望為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助等腰三角形三線合一可得線線垂直，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)與線面垂直判定定理及性質(zhì)定理即可得；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標系，借助空間向量計算即可得.【詳解】（1）因為為線段的中點，所以，在等腰梯形中，作于，則由得，所以，所以，因為，所以，所以與相似，所以，所以，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面；（2）因為，所以，取的中點，連接，則，因為平面，所以，又，、平面，所以平面，如圖所示，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，

則，，令平面法向量，，取，則，，即，由（1）知平面，則平面的法向量，設(shè)二面角所成平面角為，則，所以二面角的余弦值為.20．(1)(2)成等差數(shù)列，理由見解析【分析】（1）由橢圓的短軸長為,求出，再由是直線上除(2,0)外的任意一點，且,求出，進而得到橢圓標準方程；（2）①當(dāng)直線的斜率為時，不妨設(shè)，表達斜率，推出結(jié)論；②當(dāng)直線的斜率不為時，設(shè)的方程：.聯(lián)立方程，求出，表達出來斜率，得到結(jié)論.【詳解】（1）由已知得.設(shè)，則，,所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率為時，的方程：，不妨設(shè)，，所以②當(dāng)直線的斜率不為0時，如圖，設(shè)的方程：.由，得.則又，所以.綜上，.所以成等差數(shù)列.21．(1)(2).【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)可得，即可根據(jù)單調(diào)性求解最值，（2）對求導(dǎo)，根據(jù)的分類即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值求解，或者根據(jù)得.利用放縮法可得，進而可求解，根據(jù)可得矛盾求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，在上單調(diào)遞增，，的值域為（2）法一：令，①當(dāng)時，在上恒成立.②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，成立.③當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，存在使得當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，則，不合題意.④當(dāng)時，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，即在上單調(diào)遞增，成立.綜上，的取值范圍是.法二：令，，令得.①當(dāng)時，，令，，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，恒成立.②當(dāng)時，，，使，這與恒成立矛盾.綜上，.【點睛】方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用