解密08等差數(shù)列、等比數(shù)列高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率等差數(shù)列從近三年高考情況來(lái)看，等差數(shù)列和等比數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等為考查重點(diǎn)，有時(shí)會(huì)將等差數(shù)列和等比的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型有選擇題、填空題，也有解答題，解題時(shí)要注意性質(zhì)的應(yīng)用，充分結(jié)合函數(shù)與方程、分類討論、化歸與方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.2021年全國(guó)甲72020新課標(biāo)全國(guó)II42019新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ92019新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ142018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ42018新課標(biāo)全國(guó)II17★★★★★等比數(shù)列2020新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ172020新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ172019新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ52019新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ142018新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ17★★★★★等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合2021全國(guó)Ⅰ172021新課標(biāo)全國(guó)II122021新課標(biāo)全國(guó)II172021年全國(guó)甲182020新課標(biāo)全國(guó)II162019新課標(biāo)全國(guó)II19★★考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算☆技巧點(diǎn)撥☆等差數(shù)列的判定與證明的方法：定義法：或是等差數(shù)列；定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)，使得即可；（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：（1）定義法：為常數(shù)且數(shù)列是等比數(shù)列．（2）等比中項(xiàng)法：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）通項(xiàng)公式法：數(shù)列是等比數(shù)列．（4）前項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.例題1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，公差 B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，公差C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，公比 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，公比【答案】B【分析】∵數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差.故選：B.例題2．在等差數(shù)列中，已知，則（）A．30 B．31 C． D．【答案】B【分析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，由已知，可得，解得，所以.故選：B例題3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，是方程的兩根，則（）A．60 B．116 C．29 D．58【答案】D【分析】因?yàn)?，是方程的兩根，故可得；又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，故.故選：.例題4．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列【答案】C【分析】∵，∴，既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列；∴，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．故選：C例題5．已知，若a，b，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（）A．或5 B．或12 C．5或12 D．1或5【答案】B【分析】：因?yàn)椋环猎O(shè)，因?yàn)閍，b，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，所以可能是或或或，所以或，因?yàn)檫m當(dāng)排序后成等比數(shù)列，所以數(shù)列為或，即.所以或，所以或，所以或12.故選：B考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)☆技巧點(diǎn)撥☆等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn)之一，利用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解可使題目減少運(yùn)算量，題型以選擇題或填空題為主，難度不大，屬中低檔題.應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的注意點(diǎn)：（1）熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題.（2）應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問(wèn)題的關(guān)鍵尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如若，則，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立，再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn中的n為奇數(shù)時(shí)，才有Sn=na中成立.例題1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．24 B．28 C．30 D．36【答案】D【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以.故選：.例題2．為等差數(shù)列，且為數(shù)列的前項(xiàng)和．，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】：由于為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.故選：C.例題3．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A．26 B．39 C．104 D．52【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A例題4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列為等差數(shù)列，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．﹣4【答案】B【分析】依題意.所以.所以.故選：B例題5．已知各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列為等比數(shù)列，且，則___________.【答案】【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，可得或（舍），所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，故答案為：.例題6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2），記的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）7【分析】由題意知，∴，，∴，∴為等差數(shù)列.（2）由（1）知為等差數(shù)列，且，∴首項(xiàng)為2，公差為1，∴，∴，∴，∴，由，∴正整數(shù)的最小值為7.例題7．已知等比數(shù)列的公比為q.（1）試問(wèn)數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？說(shuō)明你的理由；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并解答.問(wèn)題：若，求的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多種情況解答，則按第一種情況計(jì)分.【答案】（1）不一定，時(shí)，不是等比數(shù)列；（2）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）數(shù)列不一定是等比數(shù)列，理由如下：時(shí)，，不是等比數(shù)列，時(shí)，是等比數(shù)列，故數(shù)列不一定是等比數(shù)列；（2）選①②，由，得，，∵，∴，∴，，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，選②③，由，得，，又，，∴，，∴，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；選①③，由，得，又，∴，∴，，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，考點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合例題1．設(shè)數(shù)列滿足，，，（）A．存在， B．存在，使得是等差數(shù)列C．存在， D．存在，使得是等比數(shù)列【答案】D【分析】由，即，則，兩式相減，可得，可得，即恒成立，所以數(shù)列為常數(shù)列，因?yàn)橛钟?，，可得，則，所以，即，因?yàn)?，可得，可判定A、C不正確；由，，可得，假設(shè)B成立，則成等差數(shù)列，則，此時(shí)無(wú)解，所以B不正確；對(duì)于D中，假設(shè)，所以，由，解得，所以存在使得是等比數(shù)列.故選：D.例題2．對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出下列命題：①若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)列．②若等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．③若等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①：若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，若，則，故，而，所以數(shù)列為常數(shù)列且，正確；②：等差數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，若公差不為0，則要么遞增要么遞減，即無(wú)上界，要使等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列，正確；③：若等比數(shù)列滿足，如，所以數(shù)列不一定是常數(shù)列，錯(cuò)誤；④：若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，即，可得，，若，則無(wú)上界，故，進(jìn)而數(shù)列是常數(shù)列，正確．故選：C．例題3．在數(shù)列{an}中，若為常數(shù)），則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（）A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等方差數(shù)列C．{（﹣1）n}是等方差數(shù)列D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列【答案】ACD【分析】對(duì)于A中，數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，可得為常數(shù)），即有是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，例如：數(shù)列是等方差數(shù)列，但是數(shù)列不是等方差數(shù)列，所以B不正確；對(duì)于C中，數(shù)列中，，所以數(shù)列是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D中，數(shù)列{an}中的項(xiàng)列舉出來(lái)是：，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，因?yàn)椋╝k+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p所以（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp所以akn+12﹣akn2＝kp，所以，數(shù)列{akn}是等方差數(shù)列，故D正確．故選：ACD．例題4．已知數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】：（1）依題，∴是以為公比的等比數(shù)列，又，，成等差數(shù)列.∴，即，∴，∴.（2）由（1）得，設(shè)，①②①-②：，∴.例題5．已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的公比的值；（2）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）∵成等差數(shù)列，∴，即，又，又解得或(舍).記，當(dāng)時(shí)，又也符合上式，.而，，，兩式相減得，.而也符合上式，故.考點(diǎn)四等差數(shù)列與等比數(shù)列的創(chuàng)新問(wèn)題例題1．對(duì)于首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列，若對(duì)任意的n，，，則稱為“M數(shù)列”；若對(duì)任意的，存在，使得，則稱為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q，則（）A．當(dāng)q<0時(shí)，是“M數(shù)列”B．當(dāng)q<0時(shí)，不是“L數(shù)列”C．當(dāng)q>0時(shí)，為“L數(shù)列”，則一定為“M數(shù)列”D．當(dāng)q>0時(shí)，為“M數(shù)列”，則一定為“L數(shù)列”【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，取，則，不成立，這與對(duì)任意的n，，，相矛盾，故不是“M數(shù)列”，故A不正確；選項(xiàng)B，假設(shè)為“L數(shù)列”，則對(duì)任意的，存在，使得，由，得，所以，即，所以，但此時(shí)，與對(duì)任意的，存在，使得相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以當(dāng)q<0時(shí)，不是“L數(shù)列”，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，為“L數(shù)列”，則對(duì)任意的，存在，使得，即，又，所以，所以，所以，而對(duì)任意的n，，，因?yàn)?，所以，，所以，即?duì)任意的n，，，所以為“M數(shù)列”，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)q>0時(shí)，為“M數(shù)列”，取，則不存在，使得成立，故不為“L數(shù)列”，故D不正確.故選：BC例題2．Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給定第一項(xiàng)之后，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的發(fā)音，例如第一項(xiàng)為3，第二項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)3”，記作13，第三項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)1，1個(gè)3”，記作1113，按此方法，第四項(xiàng)為3113，第五項(xiàng)為132113，….若Look—and—say數(shù)列第一項(xiàng)為11，依次取每一項(xiàng)的最右端兩個(gè)數(shù)組成新數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的第四項(xiàng)為111221B．?dāng)?shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字不都是1C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列前10項(xiàng)的和為160【答案】AD【分析】，，，，A正確；數(shù)列中最后讀的數(shù)字總是1，故數(shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字都是1，B錯(cuò)誤；數(shù)列：11，21，11，21，…，不是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；通過(guò)列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列的第一，三，五，七，九項(xiàng)都為11，第二，四，六，八，十項(xiàng)為21，故前10項(xiàng)的和為，D正確．故選：AD．例題3．若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“P數(shù)列”．（1）若數(shù)列是P數(shù)列，且，，求，的值；（2）求證：若數(shù)列是P數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；（3）若數(shù)列是P數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記的前2025項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為m，求m的所有可能取值．【答案】解：因?yàn)槭菙?shù)列，且，所以，所以，所以，解得，所以；（2）證明：假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，即，，，所以，，與假設(shè)矛盾，故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，則，而，與假設(shè)矛盾，故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù)，所以的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；（3）：由（2）可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)．因此存在最小的正整數(shù)滿足，．設(shè)，，則，，，．，，，，，故有，即數(shù)列是周期為9的數(shù)列，由上可知，，，這9項(xiàng)中，，為負(fù)數(shù)，，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余項(xiàng)都是正數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，這項(xiàng)中至多有一項(xiàng)為負(fù)數(shù)，而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是，記，，，這項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，當(dāng)，3，4時(shí)，若，則，故為負(fù)數(shù)，此時(shí)，；若，則，故為負(fù)數(shù)．此