微分中值定理微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理,它揭示了函數(shù)在區(qū)間上的宏觀的、整體的性質(zhì)與函數(shù)在某一點(diǎn)上（中值點(diǎn)ξ）的微觀的局部的性質(zhì)之間的關(guān)系,是聯(lián)系函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)其中羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西值定理通常聯(lián)系的是函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,泰勒中值定理通常聯(lián)系的是函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。一、微分中值定理的歷史演變古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中,得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線弓形的底,這是拉格朗日中值定理的特殊情況。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論,求出拋物線弓形的面積。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列Cavalieri,1598-1647（1635處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點(diǎn)也敘述了同樣一個(gè)事實(shí)曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦,定,被人們稱為卡瓦列里定理。1費(fèi)馬定理法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中給出費(fèi)馬定理。費(fèi)馬在研究極大和極小問題的解法時(shí),得到統(tǒng)一的解法“虛擬等式法,從而得到原始形式的費(fèi)馬定理,費(fèi)馬定理在現(xiàn)行教科書中,一般作為微分中值定理的引理當(dāng)應(yīng)當(dāng)注意的是,在當(dāng)時(shí)微積分還處于初創(chuàng)階段,沒明確導(dǎo)數(shù)、極限連續(xù)的概念,所以我們現(xiàn)在的看到的費(fèi)馬定理是后人根據(jù)微積理論和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的實(shí)質(zhì)重新給出的。2羅爾定理（引理）法國數(shù)學(xué)家羅爾MichelRolle,1652-1719）在任意次方程的一個(gè)解法的證明》1691年）中,給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理式a0xn+a1xn1+?+an?1x+an=0的兩個(gè)相鄰根之間,方程na0xn1+(n1)a1xn2+?+an0至少有一個(gè)實(shí)根”。這與現(xiàn)代羅爾定理不僅內(nèi)容上有所不同,而且證明也大相徑庭。代形式的羅爾定,是后人根據(jù)微積分理論重新證明的,并把它推廣到一般函數(shù)（可微函數(shù),“羅爾定理”這一名稱是由德國數(shù)學(xué)家德羅比什Drobisch,1802-1896）在1834年給出的,并由意大利數(shù)學(xué)家貝拉維蒂斯Bellavitis在1846年發(fā)表的論文中正式使用,是此定理成為微分學(xué)的一個(gè)本定理。3拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最重要的定理,文學(xué)家拉格朗日Lagrange,1736-1813）在《解析函數(shù)論》（1797年）一書中提出拉格朗日中值定理,他最初的形式為：“函數(shù)f(x)在[a,b]上x0和x之間連續(xù),f′(x)的最大值為A,最小值為B,則f(x)f(x0)xx0必取A,B之間的一個(gè)值"需要注意的是我現(xiàn)在只需要函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo)<并且拉格朗日的正面很大程度基于直觀的基礎(chǔ),不夠嚴(yán)格19世紀(jì)初,以可惜為代表的微積分嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)中,人們給出了極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義,也給拉格朗日中值定理以新的嚴(yán)格證明柯西在《無窮小計(jì)算概論》（1823年）中定義導(dǎo)數(shù)時(shí),利用了拉格朗日的結(jié)果,并稱之為平均值定理?，F(xiàn)代形式的拉格朗日中值定理,是由法國數(shù)學(xué)家博內(nèi)特O.Bonnet）在其著作elttl中給出,他用羅爾定理對拉格朗日定理進(jìn)行證明。4柯西中值定理對微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究的是法國數(shù)學(xué)家柯西,他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的推動(dòng),(1823年)分計(jì)算教程(1829年),以嚴(yán)格化為主要目標(biāo),對微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)。他首先賦予中值定理重要作用,使其成為微分學(xué)的核心定理,《無窮小計(jì)算教程概論,柯西首先嚴(yán)格地證明了拉格朗日中值定理,又《微分計(jì)算教程中將其推廣為廣義的微分中值定理一柯西中值定理?？挛鳌段⒎钟?jì)算教程中給出的柯西定理“f(x)和F(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo),并且F′(x)在[a,b]上不為零,這時(shí)對于某一點(diǎn)ξ∈[a,b],有f(b)f(a)F(b)f′()F′(ξ)“。后人把柯西提出的上述定理推廣到更一般的情:“對[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可微的函數(shù)f(x),g(x),在(a,b)內(nèi)g′(x)≠0,則存在ξ∈[a,b],有f′(ξ)[g(b)?g(a)]=′(ξ)[f(b)f(a)]的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位,例如他利用柯西中值定理給洛必達(dá)法則嚴(yán)格的證,并研究泰勒公式的余項(xiàng),從柯西起,微分中值定理就成為研究函數(shù)重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。做是泰勒中值定理。但并不是所有泰勒公式都是泰勒中值定理。做是泰勒中值定理。但并不是所有泰勒公式都是泰勒中值定理。5泰勒中值定理17世紀(jì)后期和18世紀(jì),為了適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的需要,要求三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和航海表的插值有較大的精度,英國數(shù)學(xué)家格雷戈里和英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家天文學(xué)家牛頓曾先后獨(dú)立地得到如今以他們兩人的名字命名的格雷戈里-牛頓內(nèi)插公,后來英國數(shù)學(xué)家泰勒(BrookTaylor,1685-1731)由這個(gè)公式申出一個(gè)重要公:f(a+h)=f(a)+f′(a)h+f′′(a)h22!+f′′′(a)h33!+注.泰勒公式就余項(xiàng)類型來說有多種形式,有拉格朗日余項(xiàng)佩亞諾(Peano)余項(xiàng)、積分余項(xiàng)等等。當(dāng)余項(xiàng)為拉格朗日型余項(xiàng)時(shí),余項(xiàng)用到了函數(shù)的中間值,所以帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式可以看? ,并于1712年寫信告訴英國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅青,1715年他又以定理的形式載入他的著《增量法及其逆中這個(gè)定理是把函數(shù)展為無窮級數(shù)的有力,值得指出的是這個(gè)定理早在1670年已為格雷戈里所知,稍后德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨也曾發(fā)現(xiàn)此結(jié)論,但他們兩人均未發(fā)表。瑞士數(shù)學(xué)家約翰。伯努利曾于1694年《教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了相同的結(jié)果,但是他們的證明不同從現(xiàn)在的觀點(diǎn)來,泰勒的證明是不嚴(yán)密的,他沒有考慮收斂問題泰勒中值定理的嚴(yán)證明是法國數(shù)學(xué)家柯西在泰勒公式出現(xiàn)一百多年之后才給出的?？挛鞯淖C明于1839年載入他《關(guān)于級數(shù)的收斂一書中1742年,英國數(shù)學(xué)家麥克勞林在了a=0其1797函數(shù)論,用代數(shù)的方法率先證明了泰勒展開式,并給出了帶有拉格朗日余項(xiàng)泰勒展開,當(dāng)n=1注.泰勒公式就余項(xiàng)類型來說有多種形式,有拉格朗日余項(xiàng)佩亞諾(Peano)余項(xiàng)、積分余項(xiàng)等等。當(dāng)余項(xiàng)為拉格朗日型余項(xiàng)時(shí),余項(xiàng)用到了函數(shù)的中間值,所以帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式可以看若函數(shù)f(x),g(x)若函數(shù)f(x),g(x)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上內(nèi)可導(dǎo)；（3）對任意的x∈(a,b),g′(x)≠0；（4）g(a)≠g(b)二、微分中值定理的內(nèi)容若函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)滿足如下條件：（1）f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）f(x)在開區(qū)間(a,b)上內(nèi)可導(dǎo)；羅爾中值定理：若羅爾中值定理：若f(a)=f(b)