3.3冪函數(shù)12種常見考法歸類1、冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．冪函數(shù)的特征：（1）xα的系數(shù)是1；（2）xα的底數(shù)x是自變量；（3）xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．2、五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．注：第一象限一定有冪函數(shù)的圖象，第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象．（2）五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減3、一般冪函數(shù)的圖象特征（1）所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．（2）當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．（3）當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減．（4）冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．（5）在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．4、冪函數(shù)的判斷及應(yīng)用(1)判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xαy＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數(shù)都不是冪函數(shù)．(2)若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有y＝xα(α為常數(shù))這一形式．5、冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．6、解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用．7、解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)的大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高).(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝或y＝x3)來判斷．8、比較冪值大小的方法(1)若兩個(gè)冪值的指數(shù)相同或可化為兩個(gè)指數(shù)相同的冪值時(shí)，則可構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小．(2)若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”．9、利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念考點(diǎn)二求冪函數(shù)的解析式考點(diǎn)三求冪函數(shù)值考點(diǎn)四冪函數(shù)的定義域問題考點(diǎn)五冪函數(shù)的值域問題考點(diǎn)六冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)七冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)問題考點(diǎn)八由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)考點(diǎn)九比較冪值的大小考點(diǎn)十利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式考點(diǎn)十一冪函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用考點(diǎn)十二冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是不是冪函數(shù)？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2．（2023秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二求冪函數(shù)的解析式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為.5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．96．（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．0考點(diǎn)三求冪函數(shù)值7．（2023春·四川瀘州·高一?？茧A段練習(xí)）若是冪函數(shù)，且，則8．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)是冪函數(shù)，已知，求，．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．考點(diǎn)四冪函數(shù)的定義域問題10．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）給出5個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④11．（2023春·遼寧·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是．13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．14．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．考點(diǎn)五冪函數(shù)的值域問題16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；（3）函數(shù)的定義域是，值域是；（4）函數(shù)的定義域是，值域是．17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)，其中，則其值域?yàn)?20．（2023春·遼寧撫順·高二撫順一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.考點(diǎn)六冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用23．【多選】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)B．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象是一條直線C．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨增大而減小24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對應(yīng)的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，25．（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且28．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第象限.29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為．30．（2023·全國·高一課堂例題）若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，求當(dāng)為何值時(shí)，有：(1)；(2)；(3)．考點(diǎn)七冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)問題31．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點(diǎn)B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第四象限32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)（是常數(shù)）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B． C． D．33．（2023秋·廣東東莞·高一?？计谥校┖瘮?shù)的圖象過定點(diǎn)．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)八由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)35．（2023秋·江西宜春·高三校考階段練習(xí)）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B． C． D．236．（2023秋·天津·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是．37．（2023秋·上海普陀·高一校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．38．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則實(shí)數(shù)的值為．39．（2023秋·陜西榆林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3C．或 D．3或40．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件41．（2023秋·廣東東莞·高一?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)九比較冪值的大小42．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小.(1)與；(2)與.43．（2023·全國·高一課堂例題）比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，．44．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大?。?1)(2)(3)45．（2023秋·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)x，y，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件46．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．47．（2023秋·重慶萬州·高一?？茧A段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．48．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知若，則下列各式中正確的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)十利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式49．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．50．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.51．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為.52．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．53．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則的取值范圍是.54．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)十一冪函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用56．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上是（

）A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)57．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（

）A． B．C． D．58．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．259．（2023秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A．或4 B． C．4 D．260．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.61．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)62．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)十二冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用63．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列冪函數(shù)中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（填序號）．①；②；③；④；⑤.64．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則使函數(shù)的值域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有α的值為.65．（2023·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為．66．（2023·