決勝2024年高考數學押題預測卷01

數學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知z=l+i,貝口+z（）

13,13,廣31.r31.

AA.----1Bn.—+—zC.----1D.—+—1

55555555

2.已知向量0=（2,3）,B=（—l,x）,則“0+B）_L0—B）”是“x=2jP'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知集合/=3叱<1}產葉=2X2},則（）

A.A<JB=BB.A<JB=AC.AC\B=BD.B）=R

4.從正方體的八個頂點中選擇四個頂點構成空間四面體，則該四面體不可能（）

A.每個面都是等邊三角形

B.每個面都是直角三角形

C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形

D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形

5.已知函數/（尤）的定義域為R,y=/（x）+e'是偶函數，y=/（x）—3d是奇函數，則/（x）的最

小值為（）

A.eB.272C.273D.2e

6.已知反比例函數y=七（左w0）的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為春山和癖由，兩條漸近線的夾角

X

為,，將雙曲線繞其中心旋轉可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±尤，由此可求得其離心率為也.已知函數

>=走彳+工的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線y=和.碌由，則該雙曲線的離心率是（）

3x3

2A

A.V3B.2A/3C.—A/3D.—A/3

D。

7.已知2sincr—sin/7=g，2cos1—cos/7=1,貝ijcos(2a-2夕)=()

8.已知定義域為R的函數/（x）的導函數為/'（x）,若函數/（3x+l）和/'（x+2）均為偶函數，且

2023

/'⑵=一8,則工/'（。的值為（）

1=1

A.0B.8C.-8D.4

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數/（無）=5足（5：+。）（0>0,0<。<兀）的最小正周期為71,且函數/（X）的圖象關于直線

7T

x=--對稱，則下列說法正確的是（）

12

A.函數/（x）的圖象關于點,（）］對稱

B.函數“X）在區(qū)間內單調遞增

（7171）

c.函數/a）在區(qū)間-4,5內有恰有兩個零點

7T

D.函數的圖象向右平移二個單位長度可以得到函數g（x）=cos2x的圖象

12

22_

10.已知A、B是橢圓土+工-=1的左、右頂點，尸是直線X=26上的動點（不在X軸上），

32

/產交橢圓于點M,BM與OP交于■點、N,則下列說法正確的是（）

A.kPA-kPB=-B.若點尸（2百,3&）,則以40河：5刀0.=5

C.歷.西是常數D.點N在一個定圓上

11.已知四棱錐P-/BCD,底面是正方形，24，平面/8。。，AD=1,尸。與底面

N8C。所成角的正切值為在，點M為平面N8C。內一點，且/河=4/。（0</1<1）,點N為

2

平面P4B內一點，NC=M，下列說法正確的是（）

JT

A.存在2使得直線必與所成角為：

B.不存在彳使得平面尸48,平面PW

C.若彳=e,則以尸為球心，PW為半徑的球面與四棱錐尸-N3C。各面的交線長為

2

V2+V6

---------------71

4

D.三棱錐N-/CD外接球體積最小值為施兀

6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖所示是一個樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可知其60%分位數為

13.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等

分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一

次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；L.

依次進行“，次分形"（〃eN*）.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.

若將邊長為1的正三角形“，次分形”后所得分形圖的長度不小于120,則〃的最小值是.

（參考數據：lg2〃0.3010,lg3a0.4771）

14.在平面直角坐標系xQy中，已知圓。+/=彳，若正方形的一邊48為圓O的一條

弦，貝小。C|的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數/（無）=ev（x2-ax-a）.

（1）若曲線V=/（x）在點（1J⑴）處的切線平行于x軸，求實數。的值；

（2）求函數"X）的單調區(qū)間.

16.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件

的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件,

結果如1、?

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學生80604020

大學生30202010

假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.

（1）從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用

跑步軟件一的概率；

（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人.記

X為這3人中最喜愛使用跑步軟件二的人數，求X的分布列和數學期望；

（3）記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為占，x2,w，%，其方差為s；；

樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為必，%,為，”，其方差為學;不，

X3,%，%，%，為，”的方差為其.寫出，S；，S；的大小關系.（結論不要求證明）

17.如圖，在四棱錐P—N3C。中，上4,底面NBC。，ADHBC,AB1BC.點M在棱P8上,

PM=2MB,點N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為PD的中點，求證：NQ〃平面P4B；

2PN

(2)若直線尸N與平面所成角的正弦值為求的值.

18.已知拋物線C：j2=2px(0＜。＜5)上一點"的縱坐標為3,點/到焦點距離為5.

(1)求拋物線。的方程；

(2)過點(1,0)作直線交C于A,8兩點，過點A,8分別作C的切線4與6，4與6相交于點。，

過點A作直線4垂直于，過點3作直線乙垂直于，2，,3與’4相交于點E，4、4、4、,4分別與

X軸交于點尸、Q、R、S.記VDP。、AD4B、/BE、AERS的面積分別為H、邑、S3、

S’.若5^2=4s3s4,求直線AB的方程.

19.給定正整數N?3,已知項數為加且無重復項的數對序列A：（和必）,（%，％），…，（4,幾）滿

足如下三個性質：①不,》e{l,2,…,N},且為/%?=1,2,…,加）；②占+1=%?=1,2,…，加一1）；

③（夕國）與（見。）不同時在數對序列A中.

（1）當N=3,根=3時，寫出所有滿足罰=1的數對序列A；

（2）當N=6時，證明：加＜13；

（3）當N為奇數時，記加的最大值為T（N）,求T（N）.

決勝2024年高考數學押題預測卷01

數學

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己

的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知z=l+i,貝貝+z()

【答案】A

【解析】由題意知：z=l+i,貝ij彳=1一i,

z1-i(l-i)(2-i)13.

所以：TT-"^=￡一￡1.故A項正確.

I+z2+1+55

故選：A.

2.已知向量0=(2,3),b=(-l,x),則“0+B)_L0—B)”是“X=2JT’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由已知得，a+b=(l,3+x),a-b=(3,3-x),

若(a+B),則(a+B>(a-B)=O,即3+9—/=0，解得》=±2如，

所以“x=2&n“Q+磯，但“0+磯0-“x=2百”，

所以“0+司，0-司”是“x=26”的必要不充分條件，

故選：B.

X

-.A備人/=B=\y\y=2,x<2)

3.已知集合1?己2/,rrJ,則()

A.A<JB=BB.A<JB=AC.AC\B=BD.B^=R

【答案】A

【解析】由log2X<l,則log2x<log22,所以0<xW2,

所以/={x|log2x<l]={x[0<x<2\,又5={m=2，,x<2}=回0<><4},

所以/《3,則AQB=A.

故選：A.

4.從正方體的八個頂點中選擇四個頂點構成空間四面體，則該四面體不可能()

A.每個面都是等邊三角形

B.每個面都是直角三角形

C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形

D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形

【答案】D

【解析】如圖，

84cl每個面都是等邊三角形，A不選；

N-DRG每個面都是直角三角形，B不選；

三個面直角三角形，一個面等邊三角形，C不選，選D.

故選:D.

5.已知函數/(x)的定義域為R,y=〃x)+e，是偶函數，y=/(x)—3/是奇函數，則/(x)的最

小值為()

A.eB.272C.2V3D.2e

【答案】B

【解析】因為函數y=/(x)+e工為偶函數，則/(—x)+eT=/(x)+e"即/⑴―/(—x)=b—e工,

①又因為函數y=/(x)—3e'為奇函數，則/(-x)-3e』=-〃x)+3e)即

f(x)+f(-x)=3ex+3e-x,②

聯(lián)立①②可得/(x)=e，+2eT,

由基本不等式可得/(%)=e、+2e_x>2Vex-2e-x=2后，

當且僅當e*=2er時，即當x=’ln2時，等號成立，

2

故函數/(x)的最小值為2啦.

故選：B.

6.已知反比例函數^=幺(左wO)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為/軸和癖由，兩條漸近線的夾角

X

JT

為Q,將雙曲線繞其中心旋轉可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得其離心率為也.已知函數

y=+L的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線y和環(huán)由，則該雙曲線的離心率是

3x3

()

24

A.百B.2A/3C.D.

【答案】c

【解析】在第一象限內，函數y=X3x+_L的圖象位于上方，

3x3

由于y=和諭是漸近線，所以兩條漸近線之間的夾角26=巴，故。=巴，

-336

不妨將雙曲線y=^x+-繞其中心旋轉逆時針旋轉30。，則可得到其焦點在丁軸上的雙曲線

3x

4-1=1,且兩條漸近線之間的夾角2。=4，因此其中一條漸近線的傾斜角為四,

a2b233

因此，=百，進而可得6=￡=/1+12[+=竿

故選：C.

7.已知2sina—sin/7=百，2cosa—cos/7=1,貝心。5(2。-2/?)=()

【答案】D

【解析】因為2sina—sin/?=JL2cosa—cos/?=l,

所以平方得，(2sina-sin/?)?-3,(2cos6Z-cos/?)2=1,

即4sin2a—4sinasin，+sin2/=3，4cos2a—4cosacos，+cos2,=1,

兩式相加可得4—4sinasin/?—4cosacos/?+l=4,

即cos6ZC0SZ?+sinasin夕=一,

，4

故cos(a_/?)=；,

17

cos(2a-2/?)=2cos2(6Z-/7)-l=2x—-1=.

故選：D.

8.已知定義域為R的函數/(x)的導函數為/'(x),若函數/(3x+l)和/'(x+2)均為偶函數，且

2023

/'(2)=—8,貝|］三/'⑺的值為()

(=1

A.0B.8C.-8D.4

【答案】C

【解析】???/(3x+1)為偶函數，二/(—3x+1)=f(3x+1),則f(-x+l)=/(x+1),兩邊求導得：

-f'(-x+Y)=f'(x+l),

則/'(x)關于點(1,0)成中心對稱，又/'(x+2)為偶函數，.?.心(-x+2)=r(x+2),即/'(x)關

于直線x=2成軸對稱,

/⑴=0且f'(x)=f'^-x)=-f'(x-2),r(x+2)=--⑴，即得：

r(x+4)=—/(x+2)=/(x),

故尸(x)是周期函數,且一個周期為4,因廣(3)=-廣(1)=0,/(4)=r(0)=-/⑵=8,故

r(i)+r(2)+r(3)+r(4)=o,

20232024

于是X/'⑺=￡/'⑺一八4)=506x0-8=-8.

!=11=1

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數/0)=5畝(3+。)(0＞0,0＜。＜兀)的最小正周期為兀，且函數/(X)的圖象關于直線

TT

X=--對稱，則下列說法正確的是()

12

A.函數/(x)的圖象關于點對稱

B.函數“X)在區(qū)間［。,染］內單調遞增

(7171A

c.函數/a)在區(qū)間-1,Q內有恰有兩個零點

71

D.函數"X)的圖象向右平移一個單位長度可以得到函數g(x)=cos2x的圖象

12

【答案】AD

【解析】函數/(%)=sin(a＞x+。)(。＞0,0＜。＜兀)的最小正周期為兀，

2兀

則一二兀，得0=2,則/(x)=sin(2x+0),

CD

7T

又函數“X)的圖象關于直線X=—-對稱，

12

nt/?/兀、?/兀、1rt兀兀77r

貝If(---)=sm(——+0)=±?1,則——+0=—+kit.kGZ,

12662

2兀2兀

即°=§+kn,kGZ,又0＜°＜兀，貝|」夕二亍，

2兀

故/(x)=sin(2x+y),

A,當戶爭寸，/(y)=sin(2-y+y)=sin271=0,

則函數/(x)的圖象關于點(笄,o］對稱，A正確；

函數y=sinx在（、,稱）單調遞減，則函數/（x）在區(qū)間0,得內單調遞減，B錯誤;

2兀2兀

C,由/(x)=sin(2x+—)=0,則2x+—=kjt,keZ,

即％=一2+皿，左￡Z,又

32

TT

X=~,則有1個零點，C錯誤；

6

7?

D,函數/（x）的圖象向右平移一個單位長度，

12

貝ij/（x—=sin[2（x-3）+年]=sin（2x+]）=cos2x=g（x），

D正確；

故選：AD

22_

10.已知A、3是橢圓：+]=l的左、右頂點，尸是直線X=26上的動點（不在X軸上），

/尸交橢圓于點“，BM與OP交于點、N,則下列說法正確的是（）

A.kPA-kPB=-B.若點尸（2百,3&）,則5\/0河：5刀0”=5

C.無?加是常數D.點N在一個定圓上

【答案】BCD

【解析】如下圖所示：

對于A選項，設點尸（2月,s）（sw0）,易知點/卜百,0）、S（V3,0）,

ss1

所以，kp膛kpB=廠廠.廠s廠=^不是定值,A錯；

273+73273-739

對于B選項，當點尸的坐標為（26,3拒），kpA=*=2,

則直線R4的方程為了=,1+百），即彳=等）—6，

=屈_萬

聯(lián)立x--y->l^可得>2—用=0,解得y=啦或y=0,即加=0，

2—+3/=6

（\2

1+46

日斤以_|力叫_

SZvfo”1

所以‘二T同一下KIB對;

\2

1+

對于C選項，設直線/尸的方程為x=W-百（徐0）,

x=ty-y[3可得（2t2+3）y2-4^3ty=0,解得y=0或”關g,

聯(lián)立

lx1+3/=6

4打

則Et&一道=2?7

2產+32/+3

‘2&-3君

即點M

、-2/+3-

x=2百/

x=ty-^330

聯(lián)立「可得3月，即點尸2萬

x=2V3J=-

所以‘配而二七+穿^號等

—6，C對；

22

對于D選項，設點例（X。,匕），其中為wO,且三+修=1，則無：一3=—3jp

2

%%yl2

3需

2

222

n_t_3_3/，則左M=1左0尸,所以，kMA-kMB=—kOPkMB

OP~U3~2t~2MA333

則自P后”8=-1，所以，0P上BM,取線段。8的中點E,0,連接2VE,

由直角三角形的幾何性質可知|A?|=；|。a=y-，

所以，點N在以線段。8的直徑的圓上，D對.

故選：BCD.

11.已知四棱錐P—/BCD,底面N8C。是正方形，己4，平面/8。。，AD=1,尸C與底面

J?

48C。所成角的正切值為注，點刊為平面N8C。內一點，且/M=/M。(O</l<l),點N為

2

平面P48內一點，NC=4^，下列說法正確的是()

JT

A.存在2使得直線P2與所成角為：

6

B.不存在X使得平面尸48,平面尸團0

C.若％=也，則以尸為球心，PW為半徑的球面與四棱錐尸-4BCD各面的交線長為

2

41+4^

--------71

4

D.三棱錐N-ZCZ)外接球體積最小值為施兀

6

【答案】BCD

【解析】由P/J_平面N3C。，底面N8C。是正方形，40=1,可得4C=0,

且NPC4是尸C與底面/BCD所成角，即tanN尸C4=￡4=Y2,則尸/=1,

AC2

JT

同理N尸及4是PB與底面所成角，故NPA4=—,

4

71

由題意，4M在面N8C。內，故直線尸8與4M所成角不小于一，A錯；

4

P/工平面48C。，BCu平面48C。，則P/L3C,又AB，BC,

PA^AB^A,尸4/Bu面P4B,則3c上面R43,

要平面尸平面PaW,M要在直線5。上，而/河=九4。(0<2<1),

顯然不存在，B對；

由題設/舷=交4。=交，將側面展開如下圖，

22

球與側面的交線是以P為圓心，逅為半徑的圓與側面展開圖的交線，如下而港，

2

由tan/4PR=y^=tan/BPC=3，則//尸/=/8尸C,ZAPF+ZFPB=-,

2414

7TTT

所以NFPC=NBPC+NFPB=—,根據對稱性有NEPC=NCPE,故NFPE=—,

42

所以后港長為Y?，

4

又球與底面NBC。交線是以A為圓心，也為半徑的四分之一圓，故長度為叵，

24

綜上，球面與四棱錐P-ABC。各面的交線長為縣逅兀，C對；

4

由題設，三棱錐N-ACD外接球也是棱錐N-ABCD外接球，

又N為平面P48內一點，NC=5且尸4u面P48,則面尸48,面48C。，

BCLAB,面尸ASc面/BCD=AS,BCu面4BCD,故3C上面PA8,

易知N在面P48的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓（去掉與直線45的交點），

根據圓的對稱性，不妨取下圖示的四分之一圓弧，則N在該圓弧上，

當BN接近與面AB重合時NR4N趨向兀，

當3N_L面ABCD時ZBAN最小且為銳角，sinZBAN=絲=力，

ANyj5

BN]

而A/BN的外接圓半徑”

2sin/B/NsinZBAN

正方形ABCD的外心為AD,BC交點0,且到面尸48的距離為;,

所以棱錐N-ABC。外接球半徑尺=要使該球體體積最小，只需「最小，

僅當的Ng時"1，此時“卓故外接球最小體積為如亭=乎

7tD對.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖所示是一個樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可知其60%分位數為

【解析】由圖可知第一組的頻率為0.04x5=0.2<0.6,前兩組的頻率之和為

0.04x5+0.1x5=0.7>0.6,則可知其60%分位數在［10,15）內，設為x,

則0.1x（x-10）=0.6-02,解得x=14.

故答案為：14

13.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等

分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一

次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；>■.

依次進行“"次分形"（〃eN*）.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.

若將邊長為1的正三角形“〃次分形”后所得分形圖的長度不小于120,則〃的最小值是.

（參考數據：%2。0.3010,lg3。0.4771）

4

【解析】依題意可得“〃次分形”圖的長度是“ii-l次分形”圖的長度的

由“一次分形”圖的長度為，x4x3=4,

3

4

所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4,公比為§的等比數列，

所以“〃次分形”圖的長度為4x

故4x圖>120,即圖>30,兩邊取對數得(〃—l)(21g2—lg3)Nl+lg3,

l+lg31+0.4771

所以〃。1L8,則〃212.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又〃eN*，故〃的最小整數值是13.

故答案為：13.

14.在平面直角坐標系xQy中，已知圓。:/+/=%若正方形的一邊4g為圓。的一條

弦，貝力。。|的最大值為.

【答案】272+2

JTJT

【解析】令NOA4=，e[0g)且Q8|=2,|3C|=4cos，，要使|0C|最大有cosNOBC=2+。，

如下圖示，在△Q3C中+—2|oBHBacosNOBC,

jr

所以|0C|2=4+(4cos6)2—2X2X(4cos。)?cos(-+0)

=4+16cos2，+16sin，cos，=8(sin20+cos2(9)+12

=80sin(26+：)+12,

當且僅當6=￡時|。。二=&忘+12=2V2V2+3=2(1+V2)，

o

所以|。。|的最大值為2a+2.

故答案為：2^2+2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數f(x)=e'(x2-ax-a).

(1)若曲線N=/(x)在點(1,/⑴)處的切線平行于x軸，求實數。的值；

(2)求函數/(x)的單調區(qū)間.

【答案】(1)1(2)答案見解析

【解析】⑴由題可得了'(尤)=/屋+(2-。"-24],

因為“X)在點(1,7(1))處的切線平行于無軸，所以/⑴=0,

即e(3-3a)=0,解得。=1,經檢驗a=1符合題意.

(2)因為/'(x)=e*[x2+(2-,

令/'(x)=0,得x=—2或、=。.

當a<-2時，隨x的變化，f'(x),/(x)的變化情況如下表所示:

X(fa)a3,-2)-2(-2,+oo)

/'(x)+0—0+

fW單調遞增/(?)單調遞減/(-2)單調遞增

所以/(x)在區(qū)間(-叱。)上單調遞增，在區(qū)間(d-2)上單調遞減，在區(qū)間(-2,+s)上單調遞增.

當。=-2時，因為/'(x)=eX(x+2)2N0,當且僅當x=—2時，f\x)=0,

所以/(x)在區(qū)間(-叫+8)上單調遞增.

當a〉-2時，隨x的變化，f(x),“X)的變化情況如下表所示：

X(-CO,-2)-2(-2,a)a(a,+oo)

/⑶+0—0+

fM單調遞增/(-2)單調遞減/(?)單調遞增

所以/(x)在區(qū)間-2)上單調遞增,在區(qū)間(-2,a)上單調遞減，在區(qū)間(a,+8)上單調遞增.

綜上所述，

當a<—2時，"X)的單調遞增區(qū)間為(-甩。)和(-2,+功，單調遞減區(qū)間為(a,-2)；

當。=-2時，/⑺的單調遞增區(qū)間為(-8,+8),無單調遞減區(qū)間；

當a〉-2時，“X)的單調遞增區(qū)間為(-*-2)和(a,+◎,單調遞減區(qū)間為(-2,0.

16.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件

的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件,

結果如1、?

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學生80604020

大學生30202010

假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.

(1)從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用

跑步軟件一的概率；

(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人.記

X為這3人中最喜愛使用跑步軟件二的人數，求X的分布列和數學期望；

(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為毛，*2，x3,%，其方差為｛；

樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為％,%,乃，居，其方差為官；不，

X1電，匕，%，％，為，乂的方差為S；.寫出s；,sl，S；的大小關系.(結論不要求證明)

33

【答案】(1)右(2)分布列詳見解析，E(X)=：(3)s：<s；<s；

20''4

【解析】（1）從該地區(qū)的中學生和大學生中各隨機抽取1人，

QQ303

這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為一義玄=二.

2008020

（2）因為抽取的8人中最喜愛跑步軟件二的人數為8x290=2,

80

所以X的所有可能取值為0,1,2,

p(x=o)=—=—尸(x=l)=C2c6=竺尸(X=2)=C2c6=

(JC；14'()C；28'1)C；28'

所以X的分布列為：

X012

5153

p

142828

51533

所以￡(X)=0X3+1X」+2X」-=3.

v71428284

(2)si<s1<sl，證明如下：

80…60八40八。20?

-------0.4.x------0.3.--------0.2.X-----0.1

1200o2003200A4200

=0.25,

4

所以2_(0.4-0.25)2+(0.3-0.25)2+(0.2-0.25)2+(0.1-0.25)21

瓦-480

303201201101

%=麗募/2=麗=了為=麗="居=而=「

%+%+%+乂1

1

128

數據：X1,%2，*3,*4，乂，％'%，，

對應的平均數為％+…+%+必+乃+…=1

84

所以

(0.4-0.25)2+(0.3-0.25『+(0.2-0.25『+(0.1-0.25)2

13

81280

所以s；<s；<s；.

17.如圖，在四棱錐P—4SC。中，PAl^ABCD,AD!IBC,AB工BC.點、M在棱PB上,

2

PM=2MB,點N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

（1）若CN=2NP,。為PD的中點，求證：NQ〃平面R43；

2PN

（2）若直線P4與平面/VN所成角的正弦值為三，求證的值.

PN1

【答案】（1）證明見解析（2）—=-

【解析】（1）證明：過M作8。的平行線交尸。于H,連接

二黑=/=黑，又?:PM=2MBS=3：.HC=gpC,又CN=2NP,

廣/5-zCz力LiCz33

NH=PN=HC,為。H的中點，又。為的中點，

:.NQ//HD,

2

又MH=^BC=2,又AD=2,AD/IBC,

ADUMH,且=

四邊形MHDA是平行四邊形，

:.HD!IMA,:.NQ//AM,

N0平面,/Mu平面P48,.,.皿//平面?48

（2）以A為坐標原點，AB,AD,NP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則/(0,0,0),0,|),尸(。，0,2).C(2,3,0),.?.而=(：,0,1),

AP=(0,0,2).PC=(2,3,-2),

二設