10.2平面向量的數(shù)量積（精講）一．向量的夾角1.定義：已知兩個(gè)非零向量和，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB＝θ叫做向量與的夾角．2.范圍：向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°．只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角二．向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，把數(shù)量||·||·cosθ叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·，即·＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．三．投影向量如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝，ON＝，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1四．向量數(shù)量積的運(yùn)算律·＝·.(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．(＋)·＝·＋·．五．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模||＝||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件·＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|·|≤|||||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))一．求非零向量，的數(shù)量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解坐標(biāo)法①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積二．求平面向量模的2種方法公式法利用||＝及(±)2＝||2±2·＋||2，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解三．求平面向量夾角的2種方法定義法當(dāng)，是非坐標(biāo)形式，求與的夾角θ時(shí)，需求出·及||，||或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝求得坐標(biāo)法若已知＝(x1，y1)與＝(x2，y2)，〈，〉∈[0，π]則cos〈，〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例11】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）若向量與向量的夾角為，則（

）A． B． C． D．【例12】．（2022秋·黑龍江雞西·高三校考階段練習(xí)）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．10 B． C．14 D．【一隅三反】1．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測）若向量，，則（

）A． B． C．40 D．462．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）平面向量，，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，則的值為（

）．A． B．3 C． D．24．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【例21】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，且在方向上的投影數(shù)量是，則.【例22】（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【例23】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【例24】（2023·上海嘉定·?？既＃┮阎?，與垂直，，且與的夾角是鈍角，則在方向上的投影為.【例25】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，則與的夾角為.【一隅三反】1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，且在方向上的投影是，則.2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則在上的投影為.3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）若向量，，且，則與的夾角為.4．（2023春·江蘇無錫）（多選）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．設(shè)向量，，若，共線，則B．已知點(diǎn)，向量，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是C．若，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．若平面向量，滿足，則的最大值是5考點(diǎn)三平面向量的綜合運(yùn)用【例31】（2023秋·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）（多選）在中，，點(diǎn)在線段上，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若是中線，則C．若是角平分線，則D．若，則是線段的三等分點(diǎn)【例32】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【例33】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）正六邊形的邊長是2，則（

）A． B． C． D．122．（2023秋·山東臨沂·高三校考階段練習(xí)）在中，已知向量，，則的值為（

）A．0 B． C． D．3．（2024秋·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為的外心，，，則．【答案】

4．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知