2024屆高三數(shù)學(xué)試題(理科)

考生注意：

L本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分?？荚嚂r間120分鐘。

2.請將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若集合A={—2,1,4,8},6=—則8中元素的最大值為()

A.4B.5C.7D.10

2.若圓C:%2+丁=1與圓。：(%—3『+(y—4『=/(r>0)外切，則/=()

A.2B.3C.4D.5

3.設(shè)a,/3為兩個不同的平面，如n為兩條不同的直線，且相ua,"u尸，貝U“m_L〃”是“a_1_尸”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若復(fù)數(shù)z=(x+M)(x-4yi)(x,yeR)的實部為4,則點(x,y)的軌跡是()

A.短軸長為4的橢圓B.實軸長為4的雙曲線

C.長軸長為4的橢圓D.虛軸長為4的雙曲線

5.函數(shù)/(x)=2sinx-sin2x是()

A.最小正周期為"的奇函數(shù)B.最小正周期為2萬的奇函數(shù)

C.最小正周期為萬的偶函數(shù)D.最小正周期為2萬的偶函數(shù)

6.在平行四邊形ABC。中，+=—A￡>|=4,且Na4C=NC4D,則四邊形ABCD的面積為

()

A.4B.40C.80,475

7.若函數(shù)/(x)=logo,5(x2—ax+2a)(a>0)的值域為R,則/(a)的取值范圍是()

A.(-00,-3]B.(-00,-4]C.[T,+8)D.[-3,+oo)

8.設(shè)2QeN*)的整數(shù)部分為巨,則數(shù)列{4}的前20項和為()

A.210B.211C.212D.213

2

9.已知函數(shù)〃％)=忙_1卜。，g(^)=x-4|x|+2-a,則()

A.當(dāng)g(x)有2個零點時，“X)只有1個零點

B.當(dāng)g(x)有3個零點時,〃x)有2個零點

C.當(dāng)〃x)有2個零點時，g(x)只有2個零點

D.當(dāng)有2個零點時，g(%)有4個零點

10.J(x+4『+(J—4x—+J(x+1)2-4x的最小值為()

A.2A/5B.5C.2S/6D.6

11.在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD為矩形，94,底面ABC。，ZASD=60°,PB,PC與底面

pA

ABCD所成的角分別為a,0,且a+Q=45。，則赤=()

yfn-2V17-3V15-2V15-3

A.-------B.-------C.-------D.-------

12.已知0為函數(shù)/(x)=(ax+l—a)e*-x-3的極小值點，則a的取值范圍是()

A.(-l,+oo)B.(-e,+co)C.[---,+oojD.[0,+oo)

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.一組樣本數(shù)據(jù)12,15,12,13,18,10,16,19,15,12的眾數(shù)為,中位數(shù)為.

14.若x,y滿足約束條件「一則x+y的取值范圍是__________

2x-y<3,

15.對于1個字母串shanhushu,改變這個字母串中的字母位置順序，可以得到個新的字母串.

16.已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足〃x+y)=〃%)/(y)-2〃％)-2〃y)+6,/⑴=4,則

S/(0=-----------(neN*).

Z=1

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

已知甲社區(qū)有120人計劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游，將這120人分為

東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉

山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；

去峨眉山旅游去青城山旅游合計

東小組

西小組

合計

(2)在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3

名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為X,求尸(X=l)及X的數(shù)學(xué)期望.

,n(ad-bcY

參考公式：K~————-9〃=a++c+Q

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

P(K』。)

3.8416.63510.828

k。

18.（12分）

已知ZvlBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,J!LcsinA=2A/3<2sinB,a-J19b.

(1)求A；

(2)若。為AB邊上一點，且CD=4b,證明：ABCD外接圓的周長為8屈加.

19.(12分)

如圖，在直三棱柱ABC—AqC]中，4￡=4。]=3,A4=4A/5，。為4片的中點.

(1)證明：4c〃平面ACQ.

(2)若以4片為直徑的球的表面積為48萬，求二面角c-AD-G的余弦值.

20.（12分）

雙曲線C：:方=l(a〉O力〉0)上一點D(6,⑹到左、右焦點的距離之差為6.

(1)求C的方程.

(2)己知4(—3,0),5(3,0),過點(5,0)的直線/與C交于M,N(異于A,B)兩點，直線MA與NB

交于點P,試問點P到直線x=-2的距離是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

21.(12分)

已知函數(shù)/'(%)=e*+xlnx.

(1)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)若a>0,>>0,且證明：+<e+l.

(二)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

個題目計分.

22.［選修4~4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在極坐標(biāo)系中，。為極點，曲線"的方程為41311。=2(：05。，曲線N的方程為0sinO=m,其中m為常

數(shù).

(1)以。為坐標(biāo)原點，極軸為無軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線M與N的直角坐標(biāo)方程；

JT

(2)設(shè)加=1,曲線M與N的兩個交點為A,B,點C的極坐標(biāo)為。,0),若△ABC的重心G的極角為I，

求/的值.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

已知。+》=3(。>0,>>0).

(I)若|。一1］<3—。，求b的取值范圍；

(2)求Ja+3+J/>+2+(a+l)Z?的最大值.

2024屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案(理科)

i.c【解析】本題考查集合中的元素，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

=8-12=7.

2.C【解析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

依題意可得|。|=斤彳=1+廠，解得廠=4.

3.D【解析】本題考查點、線、面的位置關(guān)系與充分必要條件的判定，考查空間想象能力與邏輯推理的核心

素養(yǎng).

如圖1,當(dāng)機(jī)_1_“時，a與夕不一定垂直.如圖2,當(dāng)a_1_〃時，相與〃不一定垂直.所以”是"a_1_尸”

的既不充分也不必要條件.

4.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運算與實部以及曲線與方程，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為(X+河)(％-4?)=*+4丁2_3孫1,所以/+4>2=4,即亍+y2=l,所以點(％y)的軌跡是長軸

長為4的橢圓.

5.B【解析】本題考查三角函數(shù)的周期性與奇偶性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為/(―%)=2sin(-x)-sin(-2x)=-2sinx+sin2x=-/(x),所以該函數(shù)為奇函數(shù).因為y=sinx,

y=sin2x的最小正周期分別為2萬，萬，所以/(x)=2sinx-sin2x的最小正周期為2萬.

6.C【解析】本題考查平面向量，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

在平行四邊形A3CD中，AB+AD=AC,AB—AD=DB,因為+A。］=—A。］，所以四邊形

ABCD為矩形，又NB4C=NC4D,所以四邊形A3CD為正方形，所以四邊形A3CZ)的面積為

Ix4x4=8.

2

7.B【解析】本題考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次不等式，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

依題意可得％2—改+2a要取遍所有正數(shù)，則△=/—8。20,因為。>0,所以。28,所以

/(?)=logo.5(2?)Vlogo.516=-log216=-4.

8.B【解析】本題考查數(shù)列的新定義與數(shù)列求和，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

/+〃2+22

-----z--------=〃+—------，當(dāng)〃=1時，n2+n=2,當(dāng)〃>1時，n2+n>2,

n+nn+n

⑵〃=1,,、(2+20)x19

所以4則數(shù)列｛(4｝的前20項和為2+2+3+…+20=2+^——a—=211.

9.D【解析】本題考查函數(shù)的零點，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

作出丁=|2工一11y=f-4國+2的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)g(無)有2個零點時，/(%)無零

點或只有一個零點；當(dāng)g(x)有3個零點時，〃x)只有1個零點；當(dāng)〃x)有2個零點時，g(x)有4個零

點.

10.B【解析】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)4(-4,2),F(-l,0),P(x,、京)，易知點P的軌跡是拋物線尸=—4x的上半部分.

J(X+4)2+(-2『+J(x+1)2—4x=|/科+戶目.因為/為拋物線/=一?的焦點，所以|P同等于

P到拋物線=—4X的準(zhǔn)線尤=1的距離，所以|上4|+歸目的最小值等于A到準(zhǔn)線無=1的距離，所以

J(x+4)+-2)+J(x+1)―—4x的最小值為5.

11.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

b

設(shè)AB=a,PA=b,因為NAB￡>=60。，所以=，所以tana=tanNPBA=—,

a

b+b

tanQ=tan/PC4=2.因為1+4=45。，所以tan(a+￡)=tm.+tan」=a2a=以解得

2a')1—tanatan,、上上

a2a

_T17-3

(負(fù)根已舍去).

a2

12.A【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.

/,(x)=ex(ax+l)-L/'(%)的導(dǎo)函數(shù)為/"(x)=e*(ar+a+l).

若a>0,f"(x)>0,1(x)在R上單調(diào)遞增，因為((0)=0,所以當(dāng)xe(O,y)時，fr(x)>0,f(x)

單調(diào)遞增，當(dāng)XG(YO,0)時，/，(%)<0,4X)單調(diào)遞減，符合題意.

若一1<。<0,當(dāng)xe1―co,—時，/"(無)>0,/'(%)在［―co,—上單調(diào)遞增，因為一^^〉。，

(dyIaJd

所以/(x)在(YO,0)上單調(diào)遞減，在［o,-卓］上單調(diào)遞增，符合題意.

若〃二一1,當(dāng)X￡(YO,0)時,/"(尤)>0,當(dāng)xw(0,+oo)時，/"(%)<0,因為='(0)=0,所以/(%)40,

不符合題意.

若a<—1,當(dāng)xe，—,+j時，/ff(x)<0,——〈°，易得/(x)在，—,0)遞增，在(0,+8)

上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上，a的取值范圍是(-1,+8).

13.12；14【解析】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)據(jù)處理能力.

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為10,12,12,12,13,15,15,16,18,19,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為

12,中位數(shù)為上士紋=14.

2

14.(-8,3］【解析】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

作出約束條件表示的可行域(圖略)，當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過點4(2,1)時，z取得最大值3,所以x+y的取

值范圍是(一8,3］.

15.15119【解析】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識.

因為字母串shanhushu有2個s,2個u,3個h,1個a,1個n,所以改變這個字母串中的字母位置順序，

可以得到C：或盤？；-=個新的字母串.

16.2"+I+2/7-2【解析】本題考查抽象函數(shù)與數(shù)列的交匯，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素

養(yǎng).

令y=l,得=■⑴_2/(x)_2〃l)+6=2〃x)_2.

設(shè)數(shù)列｛%｝滿足4+1=24-2,q=4,則見+]-2=2(%—2),%-2=2,

所以數(shù)列｛q―2｝是首項為2,公比也為2的等比數(shù)列，則%-2=2",則4=2"+2,

n

所以=———+2n=2n+l+2n-2.

i=i1-2

17.解：⑴2x2列聯(lián)表如下.

去峨眉山旅游去青城山旅游合計

東小組402060

西小組253560

合計6555120

120x(40x35-25x20)2_1080

>7>6.635,

1-60x60x65x55-143

所以有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).

（2）在東小組的游客中，他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為攻=工，

603

所以乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為g，所以X~,

則P（X=l）=C；xgx（l-￡|=|.

￡（X）=3x1=l.

18.（1）解：因為csinA=2j^〃sinB,所以

即c=2屏，

又a=Mb,所以cosA="+c2—a2=/+12,；19/__走.

2bc4屜之2

因為Ae（O,?），所以A=—.

(2)證明：在△ACD中，由正弦定理，得-----=----------

sinAsinZADC

…bsinA1

則sinZADC=-----二—,

CD8

則sinNBDC=sin(〃一ZADC)=sinZADC=1.

設(shè)ABCD外接圓的半徑為R,則2R=——-——=8a=8Mb,

sinZBDC

所以△5CD外接圓的周長為8J麗萬.

19.(1)證明：連接交AG于點￡，

則E為AC的中點，

連接因為。為A耳的中點，所以DE〃用C，

又。Eu平面AG。，3]CU在平面ACQ,

所以4c〃平面AG。.

(2)解：因為4￡=AG，。為44的中點，所以

且孰0=收_(2何=1.

、AA：+(4^2)

因為以A耳為直徑的球的表面積為48?,所以4?x------———=48萬，解得A4]=4.

以。為坐標(biāo)原點，DC1的方向為y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),q(0,1,0),A(-2A/2,0,4),C(0,l,4),

設(shè)平面AC］。的法向量為〃z=(尤,y,z),DC,=(0,1,0),DA=(-2A/2,0,4),

m-DC、=y=0,

則

m-DA=-lyflx+42=0,

令z=l,得加=(0,0,1)

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(%',V，z'),DC=(0,1,4),

ri-DC=yr+4zf=0,,

則〈,「令Z'=l,得〃=(&,-4,)

ri'DA=-2y/2xr+42'=0,

m-n3A/57

因為COS(私〃

m||n|A/3x^/1919

且由圖可知，二面角C—AO—G為銳角，

所以二面角C-AD-C,的余弦值為七.

2a-6,

2(1解：(1)依題意可得<62(逐J

F-------=L

〔〃b

解得。=3,b2=l,

故C的方程為二->2=1.

9一

(2)由題意可得直線/的斜率不為0,設(shè)/的方程為了=切+5,

設(shè)/(%,%),N(Xz，y￡,

x=my+5.

聯(lián)立vl2m2-9)y2+10加丁+16=0,

百

…2八八-10m16

則"廠一9w0,%+%=2C；%%=

m-9nr-9

直線AM：y=」^(x+3),直線3N：y=%(x-3),

V

X1+3X2-3)

聯(lián)立y=上^(x+3)與y=上/_3),

玉+3%2-3

消去y得

x+3=%(芯+3)=%(沖1+8)=沖優(yōu)+8%=期％+8(%+%)-8%

x—3%(々一3)%(7佻+2)2yly2+2%沖1%+2%

16m80m64m

--^—o8%--^--8o^

_m—9m-9_m—9_

16m八16m八

F^+2%F^+2%

m—9m—9

99

解得x=y,所以點尸在定直線1二1上.

919

因為直線1二二與直線x=—2之間的距離為二,

19

所以點尸到直線光=-2的距離為定值，且定值為二.

21.(1)解：由/(x)=e"+xlnx,得了'(%)=e“+lnx+l,

則八l)=e,r(l)=e+l.

故曲線y=/(x)在點處的切線方程為y—e=(e+l)(x—1),即(e+l)x—y—1=0.

(2)證明：由a>0,b>0,且。2+。2=1,不妨設(shè)a=cosx,b=sinx,XG[0,fj,

則證明/(〃)+/(/?)<e+l等價于證明/(cosx)+/(sinx)<e+l,

即證e8s無+cos%.ln(cosx)+eSinx+sinxln(sinx)<e+l.

令g(x)=x-lnx-l,貝，

x

當(dāng)次￡(0,1)時,g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

故g(cosx)>g(l)=0,g(sinx)>g(l)=0,

即In(cosx)<cosx—1,In(sinx)<sinx—1,

則e8sx+cosx.In(cosx)+esmx+sin%?In(sinx)

<e8sx+cos%(cosx-l)+esinx+sinx(sinx-I)=ecosx+e""-cosx-sinx+1.

要證e8sx+cosx.In(cosx)+esmx+sin%?In(sin%)ve+1,

只需證ecosx+esinx-cosx-sinx<e.

'sinx-|cosx-|、

令/z(%)=e8s*+eSinx-cosx—sinx,貝U=sinxcos犬-----------------.

Isinxcosx)

sinxicosxi

令”(無)=0,得