專題02實際問題與反比例函數(shù)重點利用反比例函數(shù)知識解決實際問題難點反比例函數(shù)與其他學科的綜合問題易錯忽略實際問題中自變量的取值范圍一、幾何問題與反比例函數(shù)當問題中設計幾何問題時，可根據(jù)其圖形建模，構造反比例函數(shù)解析式，并運用其性質(zhì)解決問題，但要注意自變量的取值范圍．【例1】如圖，△ABC的邊BC＝y(tǒng)，BC邊上的高AD＝x，△ABC的面積為3，則y與x的函數(shù)圖像大致是（）A．B．C． D．【答案】A【詳解】.的面積為3，則即函數(shù)圖像是雙曲線該反比例函數(shù)圖像位于第一象限，故選A【例2】如果矩形的面積為15cm2，那么它的長ycm與寬xcm之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是（

）．A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：由矩形的面積公式可得xy=15，∴y=（x＞0，y＞0）．圖象在第一象限．故選：C．二、跨學科問題與反比例函數(shù)跨學科問題中常見的反比例關系：1．壓力一定時，壓強與受力面積成反比例．2．當功率一定時，力與速度成反比例．3．當電壓一定時，用電器的輸出功率與電阻成反比例．4．當電壓一定時，電流強度與電阻成反比例．【例3】兩個物體A，B所受的壓強分別為，（都為常數(shù)）．它們所受壓力F與受力面積S的函數(shù)關系圖象分別是射線、，已知壓強，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解∶觀察圖象得：當受力面積S相同時，射線位于的上方，即，∵，∴．故選：B【例4】如圖1是一個亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn)，如圖2是該臺燈的電流與電阻成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過點．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（

）A．當時，B．I與R的函數(shù)關系式是C．當時，D．當時，I的取值范圍是【答案】D【詳解】解∶設電流與電阻的函數(shù)關系式為（R＞0），把點代入得：，解得：，∴I與R的函數(shù)關系式是，故B錯誤；∴I隨R的增大而減小，當R=0.25時，I=880，∴當時，，故A錯誤；當R=1000時，I=0.22，∴當時，，故C錯誤；當R=880時，I=0.25，∴當時，I的取值范圍是，故D正確；故選：D一、單選題1．市一小學數(shù)學課外興趣小組的同學每人制作一個面積為200cm2的矩形學具進行展示，設矩形的寬為xcm，長為ycm，那么這些同學所制作的矩形長y（cm）與寬x（cm）之間的函數(shù)關系的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵xy=200∴y=(x>0，y>0)故選A．2．已知甲、乙兩地相距40米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時間t（單位：小時）關于行駛速度v（單位：千米/小時）的函數(shù)關系式是（

）A．t＝40v B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：vt＝，，故選：B．3．某電子產(chǎn)品的售價為8000元，購買該產(chǎn)品時可分期付款：前期付款3000元，后期每個月分別付相同的數(shù)額，則每個月付款額y（元）與付款月數(shù)x（x為正整數(shù)）之間的函數(shù)關系式是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得：，即，故選：D．4．已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成反比例函數(shù)關系，如圖所示，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關系式是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，設，由于點在此函數(shù)解析式上，∴，∴，故選：C．5．某市舉行中學生黨史知識競賽，如圖用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四所學校競賽成績的優(yōu)秀率（該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加競賽人數(shù)的比值）與該校參加競賽人數(shù)的情況，其中描述乙、丁兩所學校情況的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則這四所學校在這次黨史知識競賽中成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【詳解】解：描述乙、丁兩所學校情況的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，設反比例函數(shù)表達式為，則令甲、乙、丙、丁，過甲點作軸平行線交反比例函數(shù)于，過丙點作軸平行線交反比例函數(shù)于，如圖所示：由圖可知，、乙、、丁在反比例函數(shù)圖像上，根據(jù)題意可知優(yōu)秀人數(shù)，則①，即乙、丁兩所學校優(yōu)秀人數(shù)相同；②，即甲學校優(yōu)秀人數(shù)比乙、丁兩所學校優(yōu)秀人數(shù)少；③，即丙學校優(yōu)秀人數(shù)比乙、丁兩所學校優(yōu)秀人數(shù)多；綜上所述：甲學校優(yōu)秀人數(shù)乙學校優(yōu)秀人數(shù)丁學校優(yōu)秀人數(shù)丙學校優(yōu)秀人數(shù)，在這次黨史知識競賽中成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是丙學校，故選：C．6．為做好疫情防控工作，學校對教室進行噴霧消毒，已知噴霧階段教室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與時間成正比例，噴霧完成后y與x成反比例（如圖所示）．當每立方米空氣中含藥量低于時，對人體方能無毒害作用，則下列說法中正確的是（

）A．每立方米空氣中含藥量從上升到需要B．每立方米空氣中含藥量下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是C．為了確保對人體無毒害作用，噴霧完成后學生才能進入教室D．每立方米空氣中含藥量不低于的持續(xù)時間為【答案】C【詳解】解：設噴霧階段函數(shù)解析式為由題意得：∴此階段函數(shù)解析式為設噴霧結束后函數(shù)解析式為由題意得：∴此階段函數(shù)解析式為A.在噴霧階段，當時，當時，共需要，故此選項不符合題意．B.每立方米空氣中含藥量下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是故此選項不符合題意．C.噴霧結束后，當時，為了確保對人體無毒害作用，噴霧完成后學生才能進入教室，故此選項符合題意．D.在噴霧階段，當時，在噴霧結束后，當時，所以每立方米空氣中含藥量不低于的持續(xù)時間為故此選項不符合題意．故選：C．二、填空題7．科學發(fā)現(xiàn)，若氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓（單位：kPa）是關于氣體體積（單位：）的反比例函數(shù)，如圖所示的是恒溫下某氣球（充滿氣）的氣壓與體積的函數(shù)圖象．當氣體體積為時，氣壓是______kPa．【答案】100【詳解】解：設該反比例函數(shù)的解析式為P=，由題意得圖象過點（1，200），∴k=1×200=200，∴，當V=2時，P=200÷2=100，故答案為：100．8．在制作拉面的過程中，用一定體積的面團做拉面，面條的總長度y（單位：cm）與面條的橫截面積x（單位：cm2）成反比例函數(shù)關系，其圖像如圖所示，當面條的橫截面積小于1cm2時，面條總長度大于______cm．【答案】128【詳解】解：由題意可以設y＝，把（4，32）代入得：k＝128，∴y＝（x＞0）．∴x＝，∵x＜1，∴＜1，∴y＞128，∴面條總長度大于128cm．故答案為：128．三、解答題9．心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘，學生的注意力隨教師講課時間的變化而變化．學生的注意力指數(shù)y隨時間x（分）的變化規(guī)律如圖所示（其中為線段，為雙曲線的一部分）．(1)線段函數(shù)關系式是，雙曲線的函數(shù)關系式是．(2)一道數(shù)學題，需要講18分鐘，為了學生聽課效果較好，要求學生的注意力指數(shù)不低于40，那么經(jīng)過適當?shù)臅r間安排，教師能否在學生注意力達到所需狀態(tài)下講完這道題？【答案】(1)，(2)教師能在學生注意力達到所需狀態(tài)下講完這道題【詳解】（1）解：設線段函數(shù)關系式為，把點和代入得：，解得：，∴線段函數(shù)關系式為；設雙曲線的函數(shù)關系式是，把點代入得：，解得：，∴雙曲線的函數(shù)關系式是；（2）解：當時，對于，有，解得：，對于，有，解得：，∴學生注意力達到所需狀態(tài)的時間為，∵，∴教師能在學生注意力達到所需狀態(tài)下講完這道題．10．某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)當氣體體積為時，氣壓是多少？(3)當氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積應不小于多少？【答案】(1)(2)氣壓是(3)為了安全起見，氣體的體積應不少于【詳解】（1）解：設，將點代入，得，，即這個函數(shù)的解析式為；（2）解：當時，，即當氣體體積為時，氣壓是；（3）解：當時，，所以為了安全起見，氣體的體積應不少于．一、單選題1．已知甲、乙兩地相距s（單位：km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t（單位：h）關于行駛速度v（單位：km/h）的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意有：v?t＝s，∴，故t與v之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)圖象，且根據(jù)實際意義v＞0、t＞0，∴其圖像在第一象限，故C正確．故選：C．2．現(xiàn)有一水塔，水塔內(nèi)裝有水40m3，如果每小時從排水管中放水x(m3)，則要經(jīng)過y(h)就可以把水放完該函數(shù)的圖像大致應是下圖中的（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵水塔內(nèi)裝有水40m3，如果每小時從排水管中放水x（m3），則要經(jīng)過y（h）就可以把水放完，∴y=，∴x與y成反比例，四個選項中只有C是反比例函數(shù)的圖象．故選：C．3．學校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫（℃）與通電時間成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．水溫從20℃加熱到100℃，需要B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是C．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水D．水溫不低于30℃的時間為【答案】D【詳解】解：∵開機加熱時每分鐘上升10℃，∴水溫從20℃加熱到100℃，所需時間為：＝8min，故A選項不合題意；由題可得，（8，100）在反比例函數(shù)圖象上，設反比例函數(shù)解析式為，代入點（8，100）可得，k＝800，∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是，故B選項不合題意；令y＝20，則，∴x＝40，即飲水機每經(jīng)過40min，要重新從20℃開始加熱一次，從8點到9：30，所用時間為90min，而水溫加熱到100℃，僅需要8min，故當時間是9：30時，飲水機第三次加熱，從20℃加熱了10min，令x＝10，則℃＞40℃，故C選項不符合題意；水溫從20℃加熱到30℃所需要時間為：min，令y＝30，則，∴，∴水溫不低于30℃的時間為min，故D選項符合題意；故選：D．4．某?？萍夹〗M進行野外考察，利用鋪墊木板的方式，通過了一片爛泥濕地，他們發(fā)現(xiàn)，當人和木板對濕地的壓力一定時，人和木板對地面的壓強p（）隨著木板面積S（）的變化而變化，如果人和木板對濕地地面的壓力合計，那么下列說法正確的是（

）A．p與S的函數(shù)表達式為 B．當S越來越大時，p也越來越大C．若壓強不超過時，木板面積最多 D．當木板面積為時，壓強是【答案】D【詳解】解：由于物體受到的壓力=壓強×受力面積，∵F=600，，∴p、S成反比例函數(shù)關系，A、由壓強公式可得，故選項不正確，不合題意；B、因為，所以在每個象限內(nèi)，P隨S增大而減?。籆、將代入得，所以，因為在每個象限內(nèi)，p隨S增大而減小，所以時，故選項不正確，不合題意；D、當時，代入解析式得∶（）故選項正確，符合題意．故選D．5．如圖，直角坐標系中，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，B是y軸正半軸上一點，以OA，AB為鄰邊作?ABCO．若點C及BC中點D都在反比例函數(shù)y＝（k＜0，x＜0）圖象上，則k的值為（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【答案】C【詳解】如圖，連接AC，交OB于E，設A點坐標為（a，），∵四邊形OABC是平行四邊形，OB、AC是對角線，∴CE=EA，∵E點在y軸上，∴E點橫坐標為0，∴C點橫坐標為-a，∵C點在y=(k<0，x<0)圖象上，∴C點坐標為(-a，)，∴E點坐標為（0，），∵E為OB中點，∴B點坐標為（0，）∵D為BC中點，∴D點坐標為（，）∵D點在y=(k<0，x<0)圖象上，∴k=()=，解得：k=-6故選C.6．如圖，矩形OABC的頂點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象的一個分支與AB交于點D，與BC交于點E，DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于點G，交DF于點H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面積分別是2和5，則k的值是（）A．7 B． C．2+ D．10【答案】C【詳解】設D（t，），∵矩形OGHF的面積為2，DF⊥x軸于點F，∴HF=，∵EG⊥y軸于點G，∴E點的縱坐標為，當y=時，=，解得x=kt，∴E（kt，），∵矩形HDBE的面積為5，∴（kt﹣t）?（﹣）=5，整理得，（k﹣2）2=10，∵k＞0，∴k=．故選C．二、填空題7．某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體實驗．測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（時）之間的函數(shù)關系如圖所示（當時，y與x成反比）.則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為_________小時【答案】【詳解】解：當時，函數(shù)為正比例函數(shù)，設：，∵函數(shù)經(jīng)過點，∴，即，∴當時，，∴當藥物濃度為4微克/毫升時，即時，∴，當時，函數(shù)為正比例函數(shù)，設：，∵函數(shù)經(jīng)過點，∴，即，∴當時，，∴當藥物濃度為4微克/毫升時，即時，∴，∴根據(jù)圖象可以判斷出：當時，血液中藥物濃度不低于4微克/毫升，∴持續(xù)時間為，故答案為：．8．如圖，某校園藝社計劃利用已有的一堵長為10m的墻，用籬笆圍一個面積為12m2的矩形園子．（1）設矩形園子的相鄰兩邊長分別為xm，ym，y關于x的函數(shù)表達式為_____（不寫自變量取值范圍）；（2）當y≥4m時，x的取值范圍為_____；（3）當一條邊長為7.5m時，另一條邊的長度為_____m．【答案】

y

1.2≤x≤3

1.6【詳解】解：（1）依題意得：xy＝12，∴y．故答案為：y．（2）∵y，k＝12，當x＞0時，y隨x的增大而減小，∵4≤y≤10，即410，∴1.2≤x≤3．∴x的取值范圍為1.2≤x≤3．故答案為：1.2≤x≤3．（3）當x＝7.5時，y1.6；當y＝7.5時，7.5，解得：x＝1.6．∴當一條邊長為7.5m時，另一條邊的長度為1.6m．故答案為：1.6．三、解答題9．商場出售一批進價為2元的賀卡，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品日銷售單價x（元）與日銷售量y（張）之間有如下關系：x/元3456y/張20151210(1)寫出y關于x的函數(shù)解析式______；(2)設經(jīng)營此賀卡的日銷售利潤為W（元），試求出W關于x的函數(shù)解析式，若物價局規(guī)定此賀卡的日銷售單價最高不能超過10元/張，請你求出當日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤，并求出最大日銷售利潤．【答案】(1)(2)W＝60﹣，當日銷售單價x定為10元時，才能獲得最大日銷售利潤，最大日銷售利潤為48元．【詳解】（1）解：設，把x＝3，y＝20代入得，解得k＝60，∴．（2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）?＝60﹣，∵W隨x增大而增大，x≤10，∴x＝10時，W＝60﹣12＝48（元）為最大值，∴當日銷售價為10元時，最大日銷售利潤為48元．10．某科技有限公司成功研制出一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售，已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖，其中段為反比例函數(shù)圖象的一部分，設公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為w（萬元）．(1)請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式；(2)求出這種電子產(chǎn)品的年利潤w（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式；并求出年利潤的最大值．【答案】(1)(2)當時，，當時，；年利潤的最大值為144萬元【詳解】（1）解：當時，設，將點代入，得，∴；當時，設，分別將點，代入，得：，解得：，∴；綜上分析可知：．（2）解：當時，，當時，當時，∵，∴w隨x增大而增大，∴當時，w有最大值為（萬元），當時，∵，∴當時，w有最大值為144萬元．∵，∴年利潤的最大值為144萬元．11．在工程實施過程中，某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數(shù)y（天）與每天完成工程量x米的函數(shù)關系圖像如圖所示，是雙曲線的一部分．(1)請根據(jù)題意，求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠30米，問該工程隊需要用多少天才能完成此項任務？(3)工