2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)全解全析

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)集合4={中=也(》_3)},3={小4-1},則A(%2)=()

A.{止l<x<3}B.1x|x>-11C.{尤或x>3}D.{小>3}

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可，

【詳解】由題意得4={小>3},3={小4—1},又18={小>一1}

則Au(\3)={x[x>-1},故選：B.

2.關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共輾復(fù)數(shù)彳，下列結(jié)論正確的是()

A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z和彳的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)

B.z-z>0

C.z+彳必為實(shí)數(shù)，z—彳必為純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)z為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax-+bx+c^0的一根，則z也必是該方程的根

【答案】.D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,表示復(fù)數(shù)z和彳的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)B、選項(xiàng)C,當(dāng)z=0時(shí)均不成

立，故錯(cuò)誤.故選D

3.已知向量a=(—2,4),b=(l,t)，若a與方共線，則向量a+b在向量_/=(0,1)上的投影向量為()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】由向量a=(—2,4),力=(1,。，若a與B共線，則—2z—4=0,所以f=—2,

a+b=(-1,2),所以向量d+b在向量/=(0,1)上的投影向量為：

(a+b)-jj

故選：C

4."。/?>1”是“人〉工>0”()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當(dāng)。>0時(shí)，由。6>1,可得人〉工〉0,

a

當(dāng)。<0時(shí)，由次?>1,得/?<，<（）；

a

所以“H>1”不是2>!〉0”的充分條件.

a

1a>0

因?yàn)閎>—>0={ab—l,所以次?>1,

a-------->0

、a

所以“ab>1”是“b〉工>0"的必要不充分條件.

a

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)與充分、必要條件的判定，還考查了理解辨析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩

人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.60B.114C.278D.336

【答案】D

【解析】命題意圖本題考查排列與組合的應(yīng)用.

錄用3人，有C；團(tuán)=60種情況；錄用4人，有。；戲團(tuán)-容H=162種情況；錄用5人，有

（VFA；-CX）+（CX—C；A；）=114種情況.所以共有336種.

Ao

6.已知D-.父+丁―2ax—2a—1=0,點(diǎn)P（—3,0）,若上總存在M，N兩點(diǎn)使得工PMN為等邊三

角形，則。的取值范圍是（）

A.+oo）B.u[l,+oo）

C.(^?,-2]O[1,4<O)D.[-2,-l)C(-l,-H?)

【答案】B

【解析】。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+y2=(a+i)2,

圓心坐標(biāo)為。(a,0),半徑為r=|a+l|.

因?yàn)閼糸l=|刖],|阿>|=|皿，所以APMDVAPND.

所以NMPD=NNPD=30°.

要使一。上總存在M,N兩點(diǎn)使得為等邊三角形,

則D上存在一點(diǎn)M,使得ZMPD=30°,

當(dāng)與，。相切時(shí)，NMPD最大,此時(shí)/MP￡)230°,

故sinNMPD=^2sin30o=5，gp|a+l|>l(a+3),

整理得3a2+2a—520，解得ae1—oo,-|D[1,+8).

故選:B.

7.已知△ABC中，ZBAC=60°,AB=2,Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn).若R4J_平面ABC,PA=0，且尸。

與面ABC所成角的正弦值的最大值為」5,則三棱錐P-A3C的外接球的表面積為()

3

A.4兀B.6兀C.87rD.9兀

【答案】B

【解析】三棱錐P—ABC中，PAL平面ABC,設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為。，

???sin。的最大值是好，...Sin6=^=正4"，解得PQ2百，

3PQPQ3

即PQ的最小值為石，AQ的最小值是1,即A到BC的距離為1,

直角三角形AABQ中，AB=2,所以/3AQ=60。,又NBAC=60。，

所以AQ重合，貝叱ACB=90。，

則AABC的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，

o

又PA，平面ABC,從而外接球的球心。為PB的中點(diǎn),

外接球的半徑R=OB=yjMB2+MO2=ABPA屈

三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4#2=4兀x二6兀.

故選：B.

8?在△ABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為4c,且c=〃（2cosA+l），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.A=2B

B.若a=6b，則△ABC為直角三角形

（五2拒、

D?若△ABC為銳角三角形，則一r的取值范圍為三，、-

aI237

【答案】C

【解析】對(duì)于A,△ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,由sinC=sinlA+B）,得

sinAcosB—cosAsinB=sinB.BPsin（A—=sinB,由。則sinB＞0,故0＜A—2?＜兀，所

以4一5=5或4-3+3=%,即A=25或4=兀（舍去），即A=23,A正確：

對(duì)于3,結(jié)合A=23和正弦定理知，一=百乙=-3。53=且，又。＜45＜兀，

sinAsin2BsinB2

jrjr

故A=23=—,C=—,B正確；

32

對(duì)于C,在銳角，ABC中，0＜3＜/,0＜4=23＜四,0＜。=?！?3＜三，即巴＜§（巴,且＜tan5＜L

222643

,[1111—1+tan^jB

故吉勺，___._._._._._.__-______—__—__________=__________.>「1,錯(cuò)Ci里錯(cuò).誤＞a;

tanBtanAtanB2tanB2tanB

對(duì)于D,在銳角八48。中，由四＜5（工，變＜cos5〈無(wú)

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsiiiB"門(mén)1

—=-----二-------=--------------------------2cos3----------

asinAsin2Bsin2B2cosB

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知,

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知函數(shù)/（x）=sin（2x+9）|。|＜京,彳為函數(shù)/Xx）的一個(gè)極值點(diǎn)，貝”（）

A.八2。)=5")B./(X)>f{(p)

=/(x)=一/(r)

左力工l??冗i.TC/.TC//與、r\^\??27r71?1/1/\1

9.ACr【解析】由二+0=彳+左乃，|例<彳，有0=7,f(2(p)=f\—=sm—+—/(。)=1,

3226<36J2

A正確，B錯(cuò)誤；x=匹是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，C正確；（包,0〕是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，D錯(cuò)誤，選AC.

6U2J

22

10.已知雙曲線E:j-L=1（?！?）的左、右焦點(diǎn)別為耳，工，過(guò)點(diǎn)B的直線/與雙曲線石的

a-2

右支相交于RQ兩點(diǎn)，則（）

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則

B.若E的離心率為6，則E的實(shí)軸長(zhǎng)為1

C.若/月尸&=90。，貝|）歸耳|.歸耳|=4

D.當(dāng)。變化時(shí)，HPQ周長(zhǎng)的最小值為8&

【答案】ACD

【解析】依題意，b=6,

A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以2=l,a=b=母,故A正確;

a

解得。=1,所以實(shí)軸長(zhǎng)2〃=2,故B錯(cuò)誤;

.-歸閭=2。

C選項(xiàng)，若N￡P(guān)6=90°,貝|J<」P耳舊尸國(guó)2=公2,

整理得2歸耳卜歸閭=4?—閭=4,故C正確;

PF-PF=la

D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，《X2

。4-QF2=2a

兩式相加得|P￡|+|Q￡|—|PQ|=4z,|?制+|Q周=4z+|FQ|,

所以￡P(guān)Q周長(zhǎng)為4a+2歸。|,

當(dāng)PQ_L耳月時(shí)，|PQ|取得最小值竺=3

aa

所以4a+2盧。|24。+?22/4心§=8四,

Q

當(dāng)且僅當(dāng)4。=—,即。=行時(shí)，等號(hào)成立，

a

所以EPQ周長(zhǎng)的最小值為8后，故D正確.

故選：ACD

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4月6。中，E尸分別是棱8C,8的中點(diǎn)，則（）

A.8a與所是異面直線

B.存在點(diǎn)P,使得4尸=2尸產(chǎn)，且2C//平面AP耳

C.4尸與平面耳即所成角的余弦值為遺

3

D.點(diǎn)耳到平面4跖的距離為［

【答案】BC

【解析】A選項(xiàng)，以A作坐標(biāo)原點(diǎn)，ABAD,"所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

4（2,0,2），A（0,2,2）,E（2,l,0）,4（l,2,0），A（0,0,2）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,

則BQ=（-2,2,0）,EF=（-1,1,0）,由于BR=2EF,故8Q與E尸平行，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng),設(shè)尸（x,y,z）,因?yàn)?尸=2尸尸，所以（蒼）/一2）=2。一蒼2-％-2）,

x=2-2x

即y=4—2y,解得x=2=：4,z=；2,故尸

z-2=-2zIT!)

設(shè)平面AP5］的法向量為根=（〃,仇c）,

'/、(242、242

則《，(333)333,

m-ABX=(〃,/?,(?)?(2,0,2)=2。+2c=0

令a=l,則b=0,。=一1,則機(jī)=(1,0,-1),

因?yàn)锽C?根=(0,2,0)。,0,—1)=0,故BC_Lm，5C7/平面AP用，

故存在點(diǎn)尸，使得4尸=2。尸，且5C//平面AP與，B正確；

C選項(xiàng)，平面與￡5的法向量為；=。,0,0),

A尸/1(1,2,-2)-(1,0,0)11

故A尸與平面B.EB所成角的正弦值為—乂=一/"二-

A斗幾V1+4+43

則A尸與平面與防所成角的余弦值為3一］；：=岑，C正確；

D選項(xiàng)，設(shè)平面4石廠的法向量為4=(西,%,zj,

nJ?rAE=(%,%，力(2,1,-2)=2占+%-24=0

則1

-EF=(x1,y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+)；1=0

令％=1,則％=1,4=3，故6

則點(diǎn)用到平面AEP的距離為

故選：BC

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

【答案】240

【解析】

n

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式X+的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,

(2Y

所以2"=64,得〃=6,所以二項(xiàng)式為卜+不

6--r

則二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)I；.=C"6fC?X2

C,2「2C「2「T1114

令第廠+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則66,,,解得一《廠<一,

C；2r>C；+12r+133

N3,

因?yàn)閞eN,所以廠=4,則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為4=或2晨P=240，所以填240

13.若函數(shù)/(X)=◎+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)。是一

【答案】0

【解析】注意到，f'(x)=a+cosx.

若函數(shù)/(九)上存在兩條切線垂直，則存在再、X2^R,使得

=-1<?(?+co&Xj)(a+cosx2)=-1

0片+。(8炳+cosx2)+cosX|-cosx2+1=0

o(a+COSX1+COSX2j+i_(COSX]—cos%]=Q

ocos叫=-cosx2=±1,4=0.

故答案為0

14.已知石,％2是實(shí)數(shù)，滿足X：+8x；-4石々=8,當(dāng)|再|(zhì)取得最大值時(shí)，歸+閭

【答案】5

【解析】工；+8考一4%1%2=8.

&—2々『+4考=8之(再-2彳+2々『

「.16N片,<4.

取等條件：卜一2々=2々,」玉=4,或『7,+5

為=±4,[九2—1-[x2=—1,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且對(duì)于任意的〃eN*都有3s〃=2a〃+l.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)中的最大值為Mn，最小值為外，令勿="丁〃，求數(shù)列也｝的前20項(xiàng)和T20.

【答案】⑴％=（-2產(chǎn)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)3s0=2%+1可得｛4｝是以公比為—2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求解，

（2）根據(jù)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)性質(zhì)可對(duì)九分奇偶，進(jìn)而可得mn,分組求和即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

對(duì)于任意的〃eN*都有3sL2q+1,

當(dāng)〃22時(shí),3s1=2%+1,兩式相減得3（S“—Si）=（2a.+1）—（2%_i+l）,即

3an=2an-2an_x（n>2）,

進(jìn)而得4（"之2）,........................4分

當(dāng)〃=1時(shí)，3s1=2%+1,故4=1,

所以數(shù)列｛4｝是以首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列，

所以%=（—2戶.......................6分

【小問(wèn)2詳解】

11x

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，an=2-,且4〉。，當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，an=-T-,且。“<0,

因此當(dāng)九為大于1的奇數(shù)時(shí)，｛4｝的前n項(xiàng)中的最大值為4=（-2廣，最小值為%T=（-2廣2,此時(shí)

M+ma+a

b_?n_?n-\

“_22

因此當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，｛4｝的前n項(xiàng)中的最大值為/_]=（-2）7,

最小值為4=（—2廣，此時(shí)但==4一；芻.,.......................10分

當(dāng)〃=1時(shí)，4=q,

因此也｝的前20項(xiàng)和

品=4+他+&+-+九)+(4+&+d++%)=《+―

/\19

ai+aai+a^+a20_aS19+S20_1S19+S19+?20_1(-2)

222萬(wàn)+^^-5+―2--幾+§+M

=BlT+L?…..........................................13分

1+2226

16.(15分)燈帶是生活中常見(jiàn)的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈

珠為易損配件，該燈珠的零售價(jià)為4元/只，但在購(gòu)買(mǎi)燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)備用燈珠，該燈

帶銷(xiāo)售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈

珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換

的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買(mǎi)1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命

內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，〃表示該顧客購(gòu)買(mǎi)1盒燈帶的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的備用燈珠數(shù)量.

(2)若滿足P(X2“)<0.6的〃的最小值為人,求飛；

(3)在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較"=1與"=%哪種

方案更優(yōu).

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；

(2)13；(3)"=%更優(yōu)

【解析】

【分析】(1)由條件確定隨機(jī)變量X可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；

(2)根據(jù)分布列結(jié)合條件求n的最小值；

(3)分別計(jì)算〃=%-1與〃=%時(shí)購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值，比較大小確定結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)&表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，

則p(&=5)=P([=7)=P(&=8)=0.2,P([=6)=0.4,

X的取值范圍是{10,11,12,13,14,15,16},

p(x=10)=0.2x0.2=0.04,

尸(X=11)=2x0.2x0.4=0.16,

p(X=12)=0.42+2x0.2x0.2=0.24,

p(X=13)=2x(O.2xO.2+0.2x0.4)=0.24,

p(X=14)=0.22+2x0.4x02=0.2,

p(X=15)=2x0.2x0.2=0.08,

p(X=16)=0.2x0.2=0.04,

X的分布列為

X10111213141516

P0.040.160.240.240.20.080.04

......................................6分

【小問(wèn)2詳解】由（1）可知「（乂212）=0.8，

P（X>13）=0.56,

故n（）=13.......................................9分

【小問(wèn)3詳解】

由（2）可知〃=%-1=12.

在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當(dāng)〃=12時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用為u元，當(dāng)〃=13時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)替換燈

珠所需總費(fèi)用為v元，則上（“）=24+0.24x4+0.2x8+0.08x12+0.04x16=28.16,

E（v）=26+0.2x4+0.08x8+0.04x12=27.92.

￡（V）<E（M），

故以購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，“=%比〃=%-1的方案更優(yōu)。.................13分

17.（15分）如圖，在三棱柱A3C-4用￡中，直線平面ABC,平面平面34GC.

⑴求證:AC_LBBl；

⑵若AC=BC^BC^l，在棱44上是否存在一點(diǎn)P,使二面角

3、萬(wàn)。B,P

P-BC-C.的余弦值為土吧？若存在，求-v的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

io4與

B

17.【解析】⑴在平面BBCC中作5Z/LCG于H,

因?yàn)槠矫鍭A.C.C1平面BBgC,

且平面A&GCc平面BBgC=CG，

所以平面AACC,從而

AC1BH...........................................4分

在三棱柱ABC-A與G中,C1B-L平面ABC,ACu平面ABC,

所以AC，C13.

又因?yàn)锽Gc5"=5,所以A。，平面8gGC,因此

AC_LBB[...........................................7分

(2)由(1)可知,CA,CB,BC1兩兩垂直，如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則42,0,0),5(0,2,0)6(0,2,2),4(0,4,2)用=BA=(2,-2,0).

設(shè)4尸=A=(22,-22,0),2e[0,1],

貝1JP(244—22,2)...........................................9分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為%=(x,y,z),

因?yàn)?P=(22,2-22,2),CB=(0,2,0),

n.-BP=0,2A-X+(2—2%)y+2z—0,

所以《即4

n「C3=0,2y=0,

z=-2x,

則有《

y=0.

令x=1,得%=(1,0,-4).10分

而平面BCG的一個(gè)法向量可以是n?=(1,0,0),

\|_E嚴(yán)1RI(1,0,-A).(1,0,0)3而

貝11皿(11],叫一F'解

同加：—W3

-2103

B.P1

即P為棱與A的三等分點(diǎn)，七=不.......................15分

A]4j

18.(17分)已知函數(shù)，(％)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-1)%與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值;

⑵若函數(shù)g(x)=葉(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)々和巧，且玉</，證明：%+無(wú)i>l+ln(五).(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

尤2

【答案】(1)2；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知求出a的值.

(2)求出函數(shù)g(x)及其導(dǎo)數(shù)，確定g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，再由g'(xJ=0,g'(X2)=。變形并構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)推理論證即得.

【詳解】(1)依題意，設(shè)切點(diǎn)(無(wú)o,In%-%+a),求導(dǎo)得廣(無(wú))=」一1,

X

則/(Xo)=，T=eT,解得尤o=L又/(尤0)=伯-1)%，(e-l)%0=lnx0-x0+a,貝lja=2,

x°e

所以實(shí)數(shù)a的值為2...............................................6分

(2)依題意，8(%)=取1!1彳-尤+0)的定義域?yàn)?0,+(?),

求導(dǎo)得g'(%)=lnx-x+a+d-l)x=lnx-2x+Q+l,

x

則/(%)=。有兩個(gè)不等的正根Xi，9,且是g'(X)的變號(hào)零點(diǎn)，

令/z(x)=ln%-2x+Q+l,x>0,求導(dǎo)得〃(%)二,一2,

x

當(dāng)0<兀<!時(shí)，h\x)>0,當(dāng)x>工時(shí)，hr(x)<0,

22

于是函數(shù)/X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(；,+⑹上單調(diào)遞減，

由函數(shù)獻(xiàn)尤)有兩個(gè)零點(diǎn)，得飄龍)1mx=〃(：)=a-ln2>0,解得a>ln2,..............................................9分

止匕時(shí)/z(e-3a)=_2a_2e3+l<]_21n2<0,令火a)=lna—a+l,求導(dǎo)得

a

當(dāng)In2<a<1時(shí)，"(a)>0,

當(dāng)a>l時(shí)，(p\d)<0,函數(shù)9(。)在(In2,1)上遞增，在(1,+oo)上遞減，

貝lj0(a)<0(1)=0,即Ina—a+l<0,h(2a)=In2a—3a+1=(Ina—a+1)+(In2—a)—。v0,

因此當(dāng)a>ln2時(shí)，函數(shù)內(nèi)(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)為用，且是變號(hào)零點(diǎn)，由玉<馬,得0<4<(<三,

fln^-2^+?+l=0得1n2=2(-),令五=乙則

[Inx?~2尤2+。+1=0x?X2

一I/、入，In/tint、

于是2(在2—xJ=lnr,解得/=-,/,八,Xi、,，八,...................13分

Q+1)In1

因—>1+1畤),只需證>1+Inr

2(1)

3\nt-t]nt1只證-跑二

即-------------->1InrD<0,

2(D3—r

令/⑺=lnf一型—,0</<1,

.......................15分

3-t

14(37)2-4f(D"9)

求導(dǎo)得

43—)2*3-疔

因此函數(shù)p⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(?)<F(l)=0,

17分

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式,

都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)中.

阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)”與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比

翳^=2(2〉0,2W1),2是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知?jiǎng)?/p>

22

點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為X2+/=4，定點(diǎn)分別為橢圓C：=+二=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)

ab

產(chǎn)與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為e=L.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過(guò)右焦點(diǎn)F斜率為k(k>0)的直線/與橢圓C相交于8,D(點(diǎn)B在x軸上方)，點(diǎn)S,T是橢圓C上異

于B.D的兩點(diǎn)，SF平分/BSD,TF平分ZBTD.

\BF\

(1)求的取值范圍;

\DF\

(2)將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若ASFT外接圓的面

積為手，求直線/的方程.

22口⑵

19.【答案】⑴土+乙=1⑵⑴y=叵X.%

8622

\(j—2\c+2

【解析】⑴方法⑴特殊值法,”(±2,。),用=心,且"2°,解得小2.