2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題2.5等邊三角形的性質(zhì)與判定姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020·浙江八年級(jí)期末）有下列命題：某中正確的有（）①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②直角三角形兩銳角互余；③有一個(gè)外角等于的等腰三角形是等邊三角形；④三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：①等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合，故錯(cuò)誤；②直角三角形兩銳角互余，故正確；③有一個(gè)外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形，故正確；④三角形的一個(gè)外角大于它的任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角，故錯(cuò)誤；故選：B．2．（2021·浙江九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊的中線，點(diǎn)E在上，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等邊三角形三線合一即可求出，．再由等腰三角形的性質(zhì)可求出，最后即可求出．【詳解】∵是等邊三角形，且AD為中線．∴，，∵，∴，∴．故選：D．3．（2021·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）下列條件中，不能得到等邊三角形的是（）A．有兩個(gè)內(nèi)角是的三角形B．有兩邊相等且是軸對(duì)稱圖形的三角形C．三邊都相等的三角形D．有一個(gè)角是且是軸對(duì)稱圖形的三角形【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的判定解題．【詳解】解：、兩個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，可知另一個(gè)內(nèi)角也為，所以該三角形為等邊三角形．故不符合題意；、兩邊相等說(shuō)明是等腰三角形或等邊三角形，而這兩種三角形都滿足“軸對(duì)稱”的條件，所以不能確定該三角形是等邊三角形．故符合題意；、三邊都相等的三角形當(dāng)然是等邊三角形．故不符合題意；、“軸對(duì)稱”說(shuō)明該三角形有兩邊相等，且有一個(gè)角是，有兩邊相等且一角為的三角形是等邊三角形．故不符合題意；故選：．4．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)九年級(jí)月考）若一個(gè)三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為，那么這個(gè)三角形一定為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．【詳解】解：根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為等邊三角形．故選：A．5．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)九年級(jí)月考）在下列命題中：①有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．正確的命題有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【詳解】解：①因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180°，已知有一個(gè)外角是120°，即是有一個(gè)內(nèi)角是60°，有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確；

②兩個(gè)外角相等說(shuō)明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤；

③等腰三角形的底邊上的高和中線本來(lái)就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤；

④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形，說(shuō)法正確，

正確的命題有2個(gè)，

故選：C．6．（2020·浙江省臨海市臨海中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知∠MON=30°，點(diǎn)在射線ON上，點(diǎn)在射線OM上，，，，，以此類推，若，則的長(zhǎng)為（）A．6 B． C．32 D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，，，得到，由，得到的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到，根據(jù)已知得出，，，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∵，∴∴，∴，∴，，，以此類推：．故選：C．7．（2019·浙江臺(tái)州市·八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，，過(guò)邊上一點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）．A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，

∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠ACB=∠A=60°，

∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，

∴△ADG是等邊三角形，

∴AG=AD，DH⊥AC，∴AH=HG=AG，

∵AD=CE，

∴DG=CE，

在△DFG與△EFC中

∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GF=FC=GC

∴HF=HG+GF=AG+GC=AC=3，故選C．8.（2020·浙江八年級(jí)期中）等邊中，，繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，E點(diǎn)落在邊的F處，已知，則（）A．2 B．3 C．3.5 D．5【答案】A【分析】連接EF，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證是等邊三角形，繼而可得，，，根據(jù)全等三角形判定定理可證得，，．【詳解】解：如圖，連接EF，∵是等邊三角形，∴；∵繞點(diǎn)D逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，E點(diǎn)落在邊的F處，∴是等邊三角形（有一角是的等腰三角形是等邊三角形），∴，，∵，∴，又∵在中，，∴，∴；在和中，∴，∴．故選：A．9．（2019·廣州市五中濱江學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，是上的高，，圖中與（除外）相等的線段共有（）條A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，得到BD=DC，由DE//AC可推出DE=AE，然后由∠C=60°，即可推出△EDB為等邊三角形，所以DE=BD=BE，即可解答.【詳解】∵等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，AD⊥BC，∴BD=DC∵DE//AC，∴∠EDA=∠DAC=30°∴∠EDA=∠DAE=30°∴ED=EA，又DE//AC∴∠EDB=∠C=60°，∴∠EDB=∠B∴△EDB為等邊三角形，DE=DB=BE，∴DE=DB=BE=EA=DC，所以圖中與BD（BD除外）相等的線段共有4條，故選擇D.10．（2021·鶴壁市淇濱中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，中，，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知角求出，再利用有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形得是等邊三角形，所以，根據(jù)等腰求，所以利用外角性質(zhì)可求得和的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴∵∴是等邊三角形∴∵，∴∴∴．故選：C二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2020·河南濮陽(yáng)市·油田十中八年級(jí)期中）在中，，，則______．【答案】2cm【分析】根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，由此得到答案.【詳解】∵AB=AC，，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=2cm，故答案為：2cm.12．（2020·河南商丘市·八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AB上，∠EDF=120°，若AB=4，則=___________．【答案】6【分析】作DG∥BC交AB于G，根據(jù)ASA推出△DCE≌△DGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GF＝CE，進(jìn)而可以得出結(jié)論；【詳解】解：作DG∥BC交AB于G，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝AC．∵DG∥BC，∴∠AGD＝∠B＝∠ADG＝∠ACB＝60°．∴△ADG為等邊三角形．∴AG＝DG＝AD，∠GDC＝120°．∴DG＝DC．∵∠EDF＝120°，∴∠GDC－∠CDF＝∠EDF－∠CDF．即∠GDF＝∠CDE．∵∠AGD＝∠ACB＝60°∴∠DGF＝∠DCE＝120°．∴△DCE≌△DGF．∴GF＝CE．∵BE＋BF＝BC＋CE＋BF＝BC＋GF＋BF，即BE＋BF＝BG＋BC，∵BG＝AB＝2，∴BE＋BF＝2＋4＝6．故答案為：6．13．（2020·四川成都市·華陽(yáng)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在?ABCD中將△ADC沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若∠B＝60°，AB＝6，則△ADE的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】36【分析】由平行四邊形的性質(zhì)解得AB＝DC＝6，∠B＝∠D＝60°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到CD＝CE＝6，進(jìn)而計(jì)算DE的長(zhǎng)，繼而證明△ADE是等邊三角形，據(jù)此解題即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC＝6，∠B＝∠D＝60°，由折疊可知：CD＝CE＝6，∴DE＝12，∵AD＝AE，∠D＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴△ADE的周長(zhǎng)為36．故答案為：36．14（2020·江蘇鹽城市·八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、F在同一直線上，CD=CE，DF=DG，則∠F=_________°．【答案】15【分析】由題意易得∠ACB=60°，∠EDC=∠ECD，∠F=∠DGF，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，DF=DG，∴∠EDC=∠ECD，∠F=∠DGF，∴∠ACB=2∠EDC，∠EDC=2∠F，∴∠ACB=4∠F，∴∠F=15°；故答案為15．15．（2020·江蘇無(wú)錫市·東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，∠A=60°，D是邊AC上一點(diǎn)，且BD=BC．若CD=2，AD=3，則AB=________．【答案】8．【分析】過(guò)B作BE⊥AC于E，延長(zhǎng)AC到F使EF=AE，連結(jié)BF，易證△BFE≌△BAE(SAS)，得∠F=∠A=60o，△ABF為等邊三角形，由BD=BC．利用三線合一得到CE=DE=CD，AE=AD+ED，AB=AF=2AE即可求出．【詳解】過(guò)B作BE⊥AC于E，延長(zhǎng)AC到F使EF=AE，連結(jié)BF，在△BFE和△BEA中，∵BE=BE，∠BEF=∠BEA=90o，EF=EA，∴△BFE≌△BAE(SAS)，∴∠F=∠A=60o，∴△ABF為等邊三角形，∵BD=BC，BE⊥AC，∴CE=DE=CD=1，∴AE=AD+ED=3+1=4，∴AB=AF=2AE=2×4=8．故答案為：8．16．（2019·浙江寧波市·八年級(jí)期中）如圖，和分別是等邊三角形，，下列結(jié)論中（1），（2），（3），（4）平分，（5）平分．正確的有______（填序號(hào)）．【答案】（1）（2）（4）【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS證△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可，根據(jù)以上推出的結(jié)論即可得出答案．【詳解】解：∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正確；②正確；∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根據(jù)已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴∠BDO=∠CEO錯(cuò)誤，∴③錯(cuò)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∴，∴AM=AN，∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，即OA平分∠DOE，故④正確，⑤錯(cuò)誤；故答案為：（1）（2）（4）．17．（2020·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在等邊的，邊上各取一點(diǎn)、，使，，相交于點(diǎn)，則______度．【答案】60【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，根據(jù)全等三角形的判定可得△ABP≌△CAQ（SAS），繼而可得∠PBA＝∠QAC，根據(jù)三角形外角與不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系及對(duì)頂角相等可得∠AOP＝∠ABO＋∠BAO等角代換可得∠BOQ的度數(shù)．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，∵AP＝CQ∴△ABP≌△CAQ（SAS），∴∠PBA＝∠QAC，∵∠AOP＝∠ABO＋∠BAO，∠AOP＝∠BOQ，∴∠BOQ＝AOP＝∠CAQ＋∠BAO＝60°故答案為6018．（2020·浙江杭州市·八年級(jí)期中）已知C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連結(jié)．以下五個(gè)結(jié)論中：①；②；③；④；⑤．恒成立的是____________．【答案】①②④⑤【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；④由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知④正確；②根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），可知②正確；③證明DE＞DP，可知③錯(cuò)誤；⑤由BC∥DE，得到∠CBE=∠BED，由∠CBE=∠DAE，得到∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，進(jìn)而得出∠DOE=60°，故⑤正確．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，①正確，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠DAC，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，

又∵AC=BC，

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴CP=CQ，

又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE，④正確，

∵△CQB≌△CPA，

∴AP=BQ，②正確，

∵DE＞QE，且DP=QE，

∴DE＞DP，∴CE＞DP，故③錯(cuò)誤；

∵BC∥DE，

∴∠CBE=∠BED，

∵∠CBE=∠DAE，

∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，

同理可得出∠AOE=120°，

∴∠DOE=60°，故⑤正確；

故答案為：①②④⑤．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2019·江蘇泰州市·八年級(jí)期中）如圖，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，CE，BF交于點(diǎn)P.（1）求證：BF＝CE；（2）求∠BPC的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形和已知條件證明△ABF≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）先證明∠ABF=∠BCE，再運(yùn)用等量代換說(shuō)明∠BCE+∠FBC=60°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形在△ABF和△BCE中∴△ABF≌△BCE∴BF=CE；（2）∵△ABF≌△BCE∴∠ABF=∠BCE∵∠ABF+∠FBC=60°∴∠BCE+∠FBC=60°∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC）=180°-60°=120°．20．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（問(wèn)題解決）如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求證：AE=FC；（類比探究）（1）如圖2，點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD；（2）如圖3，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）CD=CF+CE；（3）CF=CD+EC【分析】問(wèn)題解決：由△ABC和△DEF是等邊三角形可證得∠ABE=∠CBF，再根據(jù)SAS證明△ABE≌△CBF即可得到結(jié)論；類比探究：（1）在CD上截取CH=CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH=EC=CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH=CF，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)D作DG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC=∠DGC=60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG=CD=CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG=FC，即可得出FC=CD+CE．【詳解】證明：（1）∵△ABC和△DEF是等邊三角形∴AB=BC，∠ABC=∠EDC=60°，DE=DF，∴∠ABC-∠EBC=∠EDC-∠EBC即∠ABE=∠CBF在△ABE和△CBF中∵∴△ABE≌△CBF∴AE=CF（2）證明：在CD上截取CH=CE，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ECH=60°，

∴△CEH是等邊三角形，

∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE=FE，∠DEF=60°，

∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，

∴∠DEH=∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

，

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH=CF，

∴CD=CH+DH=CE+CF，

∴CE+CF=CD；（3）線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC=CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，

過(guò)D作DG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖2所示：

∵GD∥AB，

∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，

∴∠GDC=∠DGC=60°，

∴△GCD為等邊三角形，

∴DG=CD=CG，∠GDC=60°，

∵△EDF為等邊三角形，

∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，

∴∠EDG=∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

，

∴△EGD≌△FCD（SAS），

∴EG=FC，

∴FC=EG=CG+CE=CD+CE．21．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖①，點(diǎn)分別是等邊邊上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連續(xù)交于點(diǎn)M．（1）求證：；（2）點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖②，若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線上運(yùn)動(dòng)，直線交點(diǎn)為M，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）120°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用證明即可；（2）先判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到；（3）先判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到．【詳解】解：（1）證明：如圖1，是等邊三角形，，，又點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)速度相同，，在與中，，；（2）點(diǎn)、在、邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不變．理由：，，是的外角，，，；（3）如圖，點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不變．理由：同理可得，，，是的外角，，，即若點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，的度數(shù)為．22．（2019·浙江八年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，且．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（3）若，判斷是否為等邊三角形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）65°；（3）是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，DE=EF，由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEF中，∵，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF=∠BDE，∴∠DEF=∠B，又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，∴∠B=65°，∴∠DEF=65°；（3）由