2024年中考第一次模擬考試（南通卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.-2024的倒數(shù)是（）

11

A.------B.---------C.2024D.-2024

20242024

【答案】B

【解析】解：.?.-2024x（-焉］=1,

.??-2024的倒數(shù)是———,

2024

故選：B.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.應(yīng)+G=6B.245-45=2C.V2xV3=y[bD.4-y/3=2

【答案】C

【解析】解：A、也與百不能合并，不符合題意;

B、2Vs—y/5=y/5,不符合題意；

C、>/2x=>/6>符合題意；

D.網(wǎng)：拒=@,符合題意.

故選：C.

3.如圖所示放置的正三棱柱的俯視圖是（）

【答案】A

【解析】解：如圖所示的正三棱柱的俯視圖是

故選：A.

4.如圖，48〃。，直線E尸分別交48,CD于點(diǎn)、E,F,EG平分NBEF,N1=70。，則/3的度數(shù)為（）

A.70°B.80°C.40°D.30°

【答案】C

【解析】解：：N1=7O。，EG平分NBEF,

：.NBEG=/I=70°,

/.ZBEF=/I+NBEG=140°,

??AB//CD,

：.N3=180°-Z8E尸=40°,

故選：C.

5.某中學(xué)籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡情況如下表，關(guān)于這12名隊(duì)員的年齡，下列說(shuō)法中正確的是（）

年齡/歲1213141516

人數(shù)13422

A.眾數(shù)為14B.極差為3C.中位數(shù)為13D.平均數(shù)為14

【答案】A

【解析】解：A、14歲的人數(shù)最多，故眾數(shù)為14,選項(xiàng)正確；

B、極差為：16-12=4,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)均為14,故中位數(shù)為14,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、平均數(shù)為'（12+13x3+14x4+15x2+16x2）=詈，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選A.

10

6.如圖，函數(shù)y=’（左看0）和＞=］的部分圖像與直線了=。（。＞0）分別交于A、B兩點(diǎn)，如果A4BO的面積

是2.5,則上的值為（）

2

3

D.

2

【答案】B

【解析】解：記48交了軸于點(diǎn)C,如圖所示:

A4B0的面積是2.5,

?c_c_c_oS_1=1S

一°AOJC-0/\ABO。公OBC一乙,」1-1

.平I=2sAOAC=3,

k=—3,

故選：B.

7.《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上有著重要地位.其中有一個(gè)“酒分醇醵”

問(wèn)題：務(wù)中聽(tīng)得語(yǔ)吟吟，畝道醇醵酒二盆.醇酒一升醉三客，醵酒三升醉一人.共通飲了一斗七，一十九

客醉醺醺.欲問(wèn)高明能算士，幾何醵酒幾多醇？其大意為：有好酒和薄酒分別裝在瓶中，好酒1升醉了3

位客人，薄酒3升醉了1位客人，現(xiàn)在好酒和薄酒一共飲了17升，醉了19位客人，試問(wèn)好酒、薄酒各有

多少升?若設(shè)好酒有工升，薄酒有y升，根據(jù)題意列方程組為（)

x+y=17x+y=19x+y=19'x+y=17

A.<c1SB.c1.C.1-rD.1cs

3x+—》=193x+—》=17-x+3y=17—x+3y=19

33<3

【答案】D

3

【解析】解：根據(jù)好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，現(xiàn)在好酒和薄酒一共飲了17升，醉了

19位客人，列出方程組得：

x+y=17

<1

-x+3y=19

故選：D.

8.如圖，45是。。的直徑，S是。。的切線，。為切點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)連接力C,BC.若

乙4cz）=60。，AC=3,則BE的長(zhǎng)度是（）

C,273-2D,史

4

【答案】A

ZOCD=ZOCE=90°,

ZACD=60°,

???ZACO=ZOCD-ZACD=30°,

???/B是。。的直徑，

???ZACB=90°f

AZBCE=180°-ZACD-ZACB=30°,

JZOCB=/ACB—/ACO=6(P,

,/OC=OB

4

???AOCB=ZOBC=60°,

Ar37-

BC=-------------=---------=J3,ZBEC=ZOBC-ZBCE=3CP,

tanZOBCtan60°

???/BEC=/BCE,

:.BE=BC=也.

故選：A

9.如圖1,矩形/BCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸沿3C從點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)8,尸兩點(diǎn)間的距離為x,

PA-PE^y,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)了隨x變化的關(guān)系圖象，則8C的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【解析】解：由圖2可知，當(dāng)尸點(diǎn)位于3點(diǎn)時(shí)，PA-PE=1,AB-BE^l,

當(dāng)尸點(diǎn)位于￡點(diǎn)時(shí)，PA-PE=5,即/￡-0=5,則/￡=5,

,**AB2+BE2=AE2，

：.（BE+1）2+BE2^AE2,

^BE2+BE-n=0,

,：BE>0

：.BE=3,

:點(diǎn)￡為BC的中點(diǎn)，3C=6,

故選：C.

10.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.現(xiàn)在Rt^ABC內(nèi)疊放邊長(zhǎng)為1的小正方形紙片,

第一層小紙片的一條邊都在48上，首尾兩個(gè)正方形各有一個(gè)頂點(diǎn)。，E分別在/C,BC上,依次這樣疊

放上去，則最多能疊放多少？（）

5

c

A.16個(gè)B.13個(gè)C.14個(gè)D.15個(gè)

【答案】A

【解析】解：作于點(diǎn)尸.

在中，ZC=90°,/C=8,BC=6,則由勾股定理，AB=BC2+AC2=10.

-.-S&ABC=^AB.CF=^AC-BC

:.CF=4.8.

則小正方形可以排4排.

最下邊的一排小正方形的上邊的邊所在的直線與^ABC的邊交于。、E.

'：DE//AB,

DE4,8-1DE3.8

——=----,貝nrIl]——=——,

^510104.8

95

解得：=一整數(shù)部分是7.

12

則最下邊一排是7個(gè)正方形.

第二排正方形的上邊的邊所在的直線與“的邊交于G、H.

解得G〃=L，整數(shù)部分是5,則第二排是5個(gè)正方形;

同理：第三排是：3個(gè)；

第四排是：1個(gè).

則正方形的個(gè)數(shù)是：7+5+3+1=16.

故選：A.

6

第n卷

二、填空題(本大題共8小題，n?12題每小題3分，13?18題每小題4分，共30分.不需寫出解答過(guò)

程，請(qǐng)把最終結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

11.計(jì)算：2+(-2)x；的值為.

【答案】-5/-O6

【解析】解：2-.(-2)xi=-lxl=-l

故答案為：-Q.

12.世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面積約906萬(wàn)平方千米，該地區(qū)氣候條件非常惡劣，

是地球上最不適合生物生存的地方之一.數(shù)據(jù)906萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】9.06xl06

【解析】906萬(wàn)=9060000=9.06x10$.

故答案為：9.06x10s.

13.分解因式：3a3+6a2y+3ay2=.

【答案】3a(a+y)2

【解析】解：3/+6。2y+3砂2

=3〃(。2+2ay+y2)

=3a(a+y)2.

14.如圖，小ABCs小ACP,若44=75。,ZAPC=65°f則的大小為.

【答案】40。/40度

【解析】解：???4=75。，ZAPC=65°f

JZACP=180°-ZA-ZAPC=180°-75°-65°=40°f

AABCS八ACP,

7

NB=ZACP=40°,

故答案為：40°.

15.點(diǎn)尸（。㈤在函數(shù)y=3x+2的圖象上，則代數(shù)式3a-6+2023的值等于

【答案】2021

【解析】???點(diǎn)尸（。力）在函數(shù)y=3x+2的圖象上，

：.b=3a+2,BP3a-b=-2,

：.3a-b+2023=-2+2023=2021,

故答案為：2021.

16.如圖，菱形4BCD中，分別以點(diǎn)A,。為圓心，AD,的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于3,。兩點(diǎn).若

48=2,NBAD=60°,則圖中陰影部分的；面積為.（結(jié)果不取近似值）

【答案】—7T-2A/3

【解析】解：連接8D,

四邊形/BCD是菱形,

:.AB=AD=CD=BC=2,ABAD=ZDCB=60°,

:.“DB、△BCD都是等邊三角形，

S^ADB==5X2xV3=A/3,

一S菱%4BCD=2班,

..5陰二S扇形0/5+S扇形58-S菱形

=2x—X22XK-2A/3=-71-273,

3603

故答案為：§兀-2百

17.圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，型”托架N-C-E用于放置手機(jī)，支架BD兩端分

8

別與托架和底座兒加（其厚度忽略不計(jì)）相連，支架8端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知AD=6cm,AB=2BD=ABC,

支架調(diào)整到圖2位置時(shí)，ZBDM=60°,ZABD=120°.因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架5端角度調(diào)整為150。,

如圖3所示，則點(diǎn)A的位置較原來(lái)的位置上升高度為cm.

圖1圖2圖3

【答案】(12-6G)

【解析】解:如圖2,過(guò)點(diǎn)A作/交九W于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作8G〃血W交/。于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作

于點(diǎn)尸，如圖3,延長(zhǎng)3C交AGV于點(diǎn)X

旋轉(zhuǎn)前如圖3：

,/ZBDM=60°,ZABD^120°,BG//MN,

：./ABG=/DBG=60°,

AB=2BD=4BC,BD=6cm,

AB=12cm,BE=3cm,

?：ZAGB=ZBFD=9(T,

???在R"BG和Rt^BDF中，

/G=/3sin60°=12x4=66cm,

2

5F=SD-sin60°=6x—=3A/3cm,

2

故點(diǎn)A到JW的距離為：66+3#=96cm,

9

A

A

圖2圖3

旋轉(zhuǎn)后如圖3：

NABD=150°,

NDBC=30°,

'：ZBDM=60°,

ZDHB=90°,

在R^BDH中,

BH=BD-sin600=6x-=3^3cm,

2

故AH=AB+BH=(12+3網(wǎng)cm,

點(diǎn)A的位置較原來(lái)的位置上升高度為：12+3。-班=(12-a")cm,

故答案為：(12-673)

18.如圖，在“8C中，AB=4,AC=6,以點(diǎn)3為直角頂點(diǎn)、3C為直角邊向下作直角△BCD,且8C=28。,

連接/D,則的最大值是.

【答案】3+2石

【解析】解：如圖，作使8￡=8,連接4E,CE,

10

???4B=4,

增=2,

AB

,/BC=2BD,

?BCBE

''BD~AB~，

?：/DBC=ZABE=90。,

：./ABD=ZCBE,

ADBAS^CBE,

.AD_DB\

??CE一BC-2'

：.DA=-CE,

2

*.*AB=4,BE—8,

?*-AE=ylAB2+BE2=475，

VAC=6,AC+AE>CE,

二當(dāng)點(diǎn)C,點(diǎn)/，點(diǎn)E共線時(shí)，CE有最大值=/。+/￡=6+4石，

二/。的最大值為3+2退.

故答案為：3+2退.

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

2x

19.(1)解方程：-+1=

x+1x-1

(x-l<2x

⑵解不等式組：3)43r

2x

【解析】解：(1)/+1=—

x+1x-1

去分母得：2(X-1)+X2-1=X(X+1),

去括號(hào)得：2x—2+x2—1=x2+x>

11

移項(xiàng)得：2x+x2-x2-x=2+1,

合并同類項(xiàng)得：x=3,

檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，(x+l)(x—1)w0,

???x=3是原方程的解；

Jx-1<2A?

(2)(2(彳-3)?3-》②

解不等式①得：%>-1,

解不等式②得：%<3,

二不等式組的解集為7<x43.

20.A、B、C、。四名選手參加賽跑，賽場(chǎng)共設(shè)1,2,3,4四條跑道，選手以隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定各自的

跑道，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求A、B兩位選手抽中相鄰跑道的概率.

【解析】畫(huà)樹(shù)狀圖表示48兩位選手抽中賽道的情況如下:

開(kāi)始

1234

/1\/1\/1\/1\

234134124123

由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中48兩位選手抽中相鄰跑道的結(jié)果有

(1,2),(2,1),(23),G2),64),43),共6種，

A.B兩位選手抽中相鄰跑道的概率為二=4.

21.根據(jù)我市體育中考“3+1+1+1”模式，“跳繩”作為中考體育必考項(xiàng)目之一.我校為了了解今年九年級(jí)學(xué)生

跳繩的水平，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)按A、8、C、。四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的

兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

12

請(qǐng)你根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題

(1)求隨機(jī)抽取的總?cè)藬?shù)；

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中。等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)若我校九年級(jí)共有學(xué)生720人，請(qǐng)求出取得A等級(jí)的學(xué)生人數(shù).

【解析】(1)根據(jù)題意，得85-42.5%=200(人).

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)為360。乂工=18。，

200

C等級(jí)人數(shù)為200-(40+85+10)=65(人)，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:

答：全校有達(dá)到A等級(jí)的學(xué)生有144人.

22.如圖，在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)￡,尸分別在BC,4D上，BE=DF,AC=EF.

13

(1)求證：四邊形NECb是矩形；

(2)若=且/。=4右，EC=4,求四邊形ZBCD的面積.

【解析】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

■：BE=DF,

AD-DF=BC-BE,BPAF=EC,

?：AF//EC,

四邊形/EC尸是平行四邊形，

■：AC=EF,

四邊形NEC尸是矩形.

(2)解：?.?四邊形/EC廠是矩形，

ZAEC=ZAEB=90°,

AC=4#I，EC=4,

.,.在RtZi/EC中，由勾股定理得：

AE=yjAC2-EC2=J(4V5)2-42=8，

AB=AD,

，四邊形/BCD為菱形.

AB=BC,

設(shè)4B=3C=x,則8￡=3(7-友』-4,

在RhUEB中，由勾股定理得48?,

即x2=82+(X-4)2,

/.x=10,

...BC=10,

一口四邊形4BCD=5C?AE=10x8=80.

23.某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)

每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，

設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加10x元(x為整數(shù)).

(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式；

14

(2)某日，賓館了解當(dāng)天的住宿的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)日所獲利潤(rùn)為8000元，每個(gè)房間剛好住滿2人，且當(dāng)天房間

支出不少于500元，問(wèn)這天賓館入住的游客有多少人？

(3)設(shè)賓館每天的利潤(rùn)為川元，當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

【解析】(1)解：y=50-x(0VxW50且x為整數(shù))

(2)設(shè)每個(gè)房間房?jī)r(jià)增加10x元，根據(jù)題意，得：(120+10x-20)(50-無(wú))=8000,

化簡(jiǎn)，MX2-40X+300=0；

解得：\=10,%=30.

20(50-x)2500,

解得：x<25,

：.這天賓館入住的游客有2(50-x)=2x40=80人.

答：這天賓館入住的游客有80人.

(3)設(shè)每天所獲利潤(rùn)為印元，根據(jù)題意可知，

用=(120+10x-20)(50-x)=-10/+400%+5000=-10(x-20)2+9000.

?.?二次項(xiàng)系數(shù)a=-10<0,

...當(dāng)x=20時(shí)，沙取得最大值，即/大值=9000.

此時(shí)每間房間定價(jià)為120+10x=120+10x20=320(元).

答：當(dāng)每間房間定價(jià)為320元時(shí)，賓館每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9000元.

24.如圖，是OO的直徑，點(diǎn)。是前的中點(diǎn)，ZPAC=ZADC,且8=e，4D與BC交于點(diǎn)E.

⑴求證：P4是OO的切線；

⑵若tan/C4D=g,求DE的長(zhǎng)；

(3)延長(zhǎng)CO,4B交于點(diǎn)F,若OB=BF,求。。的半徑.

【解析】(1)證明：為直徑，點(diǎn)C在圓上，

AACB=9Q°,

15

???/尸+/尸4C=90。，

又NPAC=NADC,

;AC=AC9

：.ZADC=AABC,

???NP+/ABC=9U,

AZPAB=90°,即?又點(diǎn)/在。。上

：.R4是OO的切線；

(2)連接AD,,??點(diǎn)。是前的中點(diǎn)，

:.CD=BD=B

???4B為直徑，點(diǎn)。在圓上,

JZADB=90°f

而/C4D=/CBD,

：.tanNCBD=tan/CAD=-,

*DE1

在中，一二一,

BD3

:.DE=j

3

(3)連接OQ,

P

ZDOB=2ZDAB=ZCAB,

16

又???NDFO=NCFA,

：.^DOF^CAF,

又「OB=BF=OA,

DF_F0_2

FC-77-3

ZDCB=ZDBC,

???ZBDF=2ZDCB,

又麗=麗，

JZDCB=/DAB,

???ZDOB=2ZDAB=2ZDCB,

ZBDF=ZDOB,

又「/DFB=/DFO,

^.FDB^AFOD,

OPDF

一蕩一薪’

OD=W.

25.【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

4

（1）如圖1,已知在垂等四邊形/BCD中，對(duì)角線NC與8。交于點(diǎn)￡,若/8：。，AB=4cm,cosZABD=~,

則/C的長(zhǎng)度=cm.

【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全

等.如圖2,在。。中，已知是弦，0A、03是半徑，求作：0。的內(nèi)接垂等四邊形48co.（要求：尺

規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

【問(wèn)題解決】（3）如圖3,已知/是。。上一定點(diǎn)，8為。O上一動(dòng)點(diǎn)，以NB為一邊作出OO的內(nèi)接垂等四

邊形（/、2不重合且/、B、O三點(diǎn)不共線），對(duì)角線ZC與5。交于點(diǎn)E,。。的半徑為28，當(dāng)點(diǎn)E到/。

17

的距離為G時(shí)，求弦N8的長(zhǎng)度.

D

圖1

【解析】(1)解：由垂等四邊形的定義得/C=3D,

4B4

；AB1AD,cos/ABD==—,AB=4cm,

DB5

AB

DB=

cosZABD

：.AC=BD=5cm；

(2)解：《『OD，OAQC，OB,分別交。。于點(diǎn)￡＞、C,即可得到垂等四邊形/BCD,如圖,

以點(diǎn)。為圓心，/。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O。于點(diǎn)4,分別以點(diǎn)/、4為圓心，大于NO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧

相交于點(diǎn)D,

以點(diǎn)。為圓心，30長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于點(diǎn)名，分別以點(diǎn)8、⑸為圓心，大于8。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧

相交于點(diǎn)C,

連接ND、CD、BC,四邊形/BCD即為所求的垂等四邊形；

(3)解：連接。。,/。，由(2)可得等腰RtA/OZ),

18

?*-AD=CAO,

作EFJ.AD，

：.ZDFE=ZEFA=90°,NDEF+NFDE=90。,

???四邊形ABCD是垂等四邊形，

：.ZDEA=90°,

：.NDEF+NFEA=90。,

：.NFDE=NFEA,

Ri公DFE-Rt^EFA,

FE2=DFAF,

。。的半徑為2及，

：.0D=0A=2&，

AD=y]OD2+OA2=4，

設(shè)=x,貝U/尸=4一x,

VEF=^3>

x（4-x）=3,

解得：x=l或3,

DF=1或3,

"-'DE=^DF~+EF2，

/.DE=2或2退,

作OG_L43,

,/ZAOG=-ZAOB=ZEDF

2

19

/.KADFESRtA(?G24,

.AOAG

9%~DE~~EF"

.j/-.40,EF/r__p.I—

?-AG=---=V6^72，

AB=2AG=2指或2A/2.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=渡+樂(lè)-3與x軸交于點(diǎn)4,B,與V軸交于點(diǎn)C,其中3(38,0),

拋物線的對(duì)稱軸是直線x=0.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)尸是直線3C下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段8C上一動(dòng)點(diǎn)，直線尸M交V軸于點(diǎn)N.若

后

tanZPNC=—,求尸M的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

3

(3)另有拋物線了的頂點(diǎn)￡在線段8C上，了經(jīng)過(guò)點(diǎn)C