2024上海春考數學試卷及答案解析

一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第『6題每題4分，第7-12題每題5

分)

1.10g2%的定義域.

2.直線x-y+l=。的傾斜角.

3.已知二=I,則2=

1+1

4.(%-I)6展開式中x4的系數為.

5.三角形ABC中，BC=2,4=二8=巳,則ZB=____.

34

6.已知ab=1,4?2+9b2的最小值為.

7.數列{%},即=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點,過另外一個頂點的雙

曲線的離心率為.

9.已知/(%)=={J，，；j'o,求g(%)<2-％的％的取值范圍

10.已知四棱柱4BCD-4再停1。1底面ABCD為平行四邊形，AA1=3,BD=4且

AB^-BC-AD^-DC=S,求異面直線44i與BD的夾角.

1

11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8。CD距離為0.4,有個

圓形通道經過E,F,且經過4。上一點,求圓形通道的周長.（精確到0.01）

12.a1—2,0,2~4,。3=8,=16,任息、b],b?,b^,bqCR,，兩足｛田+a,11<iV

；<4}={bf+b7|l<i<;<4],求有序數列{瓦電電電}有對?

二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分，第15-16題每題

5分）

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空間中有兩個不同的平面a,0和兩條不同的直線孫出則下列說法中正確的是

（）

A.若a團/?,mU\a,ri團0,則m團?1B.若a團0,m^\a,m^\n,則九團/?

C.若仇〃0,m//a,n“則m〃?iD.若口〃0,m//a,m//n,則九〃0

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記本本、筆袋，第四個禮盒里面

三種禮品都有，現從中任選一個盒子,設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所

選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（）

A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨立

2

C.事件4與事件BUC互斥D.事件Z與事件BnC相互獨立

16.現定義如下：當%e(wn+1)時(九eN),若/(%+1)=/'(%),則稱/(%)為延

展函數.

現有，當％e(0，1)時,g(%)=靖與灰幻=爐。均為延展函數,則以下結論()

(1)存在y=kx+b(k>beR；k>b0)與y=g(%)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k，beR，k，b于0)與y=/(%)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(cox+co>0

(1)設co=1,求解:y=/(%),%e[8出的值域；

(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期為兀,若在％e[ma]上恰有3個零點,求a的取

值范圍.

18.如圖,PZ、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=ZC.

⑴證明：PZ團BC；

(2)若圓錐側面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

求二面角B-PA-。的大小.

19.水果分為一級果和二級果,共136箱,其中一級果102箱,二級果34箱。

3

⑴隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

⑵進行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一級果共120個,單果質量平均數為303.45克,方差為

603.46;二級果48個,單果質量平均數為240.41克,方差為648.21;求168個水

果的方差和平均數,并預估果園中單果的質量.

20.在平面直角坐標系％Oy中，已知點4為橢圓廠:^+囚

6

5=1上一點,&、F2分別為橢圓的左、右焦點。

⑴若點4的橫坐標為2,求的長；------

(2)設廠的上、下頂點分別為M]、M2,記2M0F2的面積為

SL41MlM2的面積為S2,若Si>S2,求的取值范圍'

(3)若點4在％軸上方,設直線NF2與廣交于點與y軸交于點K,K0延長線與「交于

點C,是否存在％軸上方的點C,使得月1+F\B+F\C=2(0+用+FjC)(Ae

R)成立?若存在，請求出點。的坐標;若不存在,請說明理由.

21.iBM(a)={t\t=/(%)—f(a)，x>a},L(a)=[t\t=/(%)—f(a)，x<a]

(1)若/(%)=%2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,

使得-4€M(a).

(3)已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數〃的充要條件是“對于任意

正實數c,均有M(—c)=L(c)”.

答案詳解

4

一、填空題（本大題共12題,滿分54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5

分）

1.10g2%的定義域.

【考點】函數定義域

【答案】（0,+8）

2.直線x-y+l=。的傾斜角.

【考點】直線的傾斜角

【答案】9

【解析】k=tana=1

3.已知二=i,則Z=

1+1

【考點】夏數

【答案】—1—i

4.（%—1）6展開式中X4的系數為.

【考點】二項式展開

【答案】15

【解析】《x（—1尸=15

5.三角形ABC中，BC=2,4=巴,B=工,則ZB=____.

34

【考點】解三角形

【答案】吟^

【解析】在三角形中A+B+C=7T,C=||

由正弦定理壬=岑:,解得AB=雙學

sinAsinC3

6.已知ab=1,4a2+9戶的最小值為.

5

【考點】基本不等式

【答案】12

【解析】由ab=1,4?2+9b2>2-2a-3b=12當且僅當2a=3b,

即。=',b=.或a=S,b——當時取最小值12.

7.數歹(]{%},an=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

【考點】等差數列

【答案】(—8,—4)

【解析】由即=n+c,知數列為等差數歹(J.S7=型等=等=7a4V

=4

0,a4+c<0,c<-4.故c的取值范圍為(一-4).

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點,過另外一個頂點的雙

曲線的離心率為.

【考點】雙曲線的定義、離心率

【答案】3

【解析】由雙曲線的定義,2c=6,2a=2,e=￡=3

a

9.已知/(%)=產0%)={J，,；0,求9(%)<2一％的％的取值范圍

【考點】分段函數運算

【答案】％e(―8,1]

【解析】根據題意知g(%)=/-°

XfX<U

所以當%>。時，g(%)<2-%=>%2+%-2<0,解得%￡。1]

同理當％<。時,g(%)<2—x=>—x2+x—2<0,解得%E(―8,o)

6

綜上所述：%e(-血i]

10.已知四棱柱ABCD底面ABCD為平行四邊形，AA1=3,BD=4且

麗?近-麗丁反=5,求異面直線441與BD的夾角__q

【考點】立體幾何線線角

【答案】arccos=

【解析】荏1=屈+理ADi=AD+AA1

(AB+磯).AD-(AD+祝).反=5

=AA1-BD=3X4xcos0

5

=>cose=—

11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8&CD距離為0.4,有個

圓形通道經過民工且經過4D上一點，求圓形通道的周長D,

.(精確到0.01)F.

【考點】解析幾何、數學建模

【答案】2.73￡

【解析】以4為原點建系易知E(0.2,0.2)，9(0.8,0.8),不妨/B

設EF中點為M(0.5,0.5)直線EF中垂線所在直線方程為y-0.5=-(%-0.5),化

簡得y=—x+1

所以圓心為(a，—a+1),半徑為a,且經過E,F點

7

即(a—0.2)2+(—0+1—0.2)2=心

化簡得a?-2a+0.68=0C=2na?2.73

12.a1—2,a?=4,。3=8,=16,任局、b],^31CR,「兩足｛四+a,11<iV

j<4]=｛bi+bj\l<i<j<4｝,求有序數列｛瓦電電也｝有對.

【考點】數列

【答案】48

【解析】以題易知｛%+aj|6,10,12,18,20,24),

滿足｛的+a7|l<i<;<4]=｛^+bj\l<i<j<4],

不妨設瓦<b2<b3<可由單調性則必有比+洲=6,瓦+壇=10,b2+b4=

20,b3+b4=24

(1)b2+b3=12,b±+b4=18,解得b=2,b2=4,b3=8,b4=16

(2)b2+b3=18,b±+b4=12,解得瓦=-l,b2=7,b3=11,b4=13

所以2種.

綜上共有2科=48對

二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分，第15-16題每題5

分)

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

La+b2>a+c2B.a2+>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

【考點】不等式的性質

【答案】B

【解析】對于A若聞<?,則爐<c2,選項不成立，故A錯誤；

8

對于C、D,若a=0,則選項不成立，故C、D錯誤;故答案選B.

14.空間中有兩個不同的平面a,0和兩條不同的直線則下列說法中正確的是

()

A.若a團/?,刀1團a,團/?,則m團riB.若a團0,m^\a,m^\n,則"?團/?

C.若仇〃/?,m//a,n///3,則粗〃九D.若仁〃/?,m//a,m//n,則九〃/?

【考點】立體兒何

【答案】A

【解析】對于4,若a耶,m團a,則m〃0或mu/?,又九團0,所以m團九,故A正確；

對于B,若a耶,m團a,則zn〃S或mu/?,由m團小則與￡斜交、垂直、平行均有可

能,故B錯誤；

對于C,若?！?,加〃%則m〃/?或mu0,由九〃/?,則m與九相交、平行、異面均有

可能,故C錯誤；

對于D,若江〃6，??1〃江,則或muS，又m〃幾則九〃/?或九u/?,故D錯誤.故

答案選A.

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記本本、筆袋，第四個禮盒里面

三種禮品都有，現從中任選一個盒子,設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所

選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨立

C.事件4與事件BUC互斥D.事件4與事件BnC相互獨立

【考點】事件的關系

【答案】B

【解析】對于A,事件A和事件B可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中既有中國結,又

9

有記事本,所以A與B互斥,故A錯誤;

對于B,PQ4)=、P(B)=-,P(ArtB)=符合P(ZnB)=P(4)?P(B),B正確；

224

對于C,事件4與事件BUC可以同時發(fā)生,所以。錯誤；

對于D,PQ4)=|,P(BnC)=I，而P(4n(BnC))=(wPQ4)?P(BnC),所以Z

與BnC不獨立,故D錯誤。

故答案選B.

16.現定義如下：當％e(wn+1)時5eN),若f(%+1)=/(%),則稱/(%)為延

展函數.

現有，當％e(0,1)時,g(x)=/與(%)=爐。均為延展函數,則以下結論(

)

(1)存在y=kx+b(k，beR；k>b0)與y=g(%)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k，b￡R，k，b手0)與丫=(%)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)

不成立⑵成立.

【考點】圖像與導數

【答案】D

【解析】根據題目所給條件，畫出g(%)與(%)圖像即可，

因為kW0,所以⑴錯；當々=10!時,存在b使得直線y=kx+b可以與(%)在區(qū)

間(9,10)的函數部分重合，因而有無窮個交點,所以(2)正確,故選D

10

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)

17.已知/(%)=sin(co%+；)，co>0

(1)設co=1,求解:y=/(%),%e[0，兀]的值域；

(2)a>7r(aeR),/(%)的最小正周期為兀,若在％eRa]上恰有3個零點,求a的取

值范圍.

【考點】三角函數周期與零點

【答案】(l)ye[—;

⑵。嚕節(jié))

【解析】(1)口=1,/(%)=sin(%+因為％G所以令t=%+C

一Tl)-47f

.33.

所以y=/⑴在京外上單調遞增,在臣裔上單調遞減

所以'max=/0=LYmin=f~因此丫G[—爭]

(2)由題知T=詈=加,所以3=2,/(x)=sin(2x+

當/(%)—。時，2%+|=kn,kEZ,即%=—￡+等，憶CZ.

當々=3時,％=如>%所以2+74aV2+37，即衛(wèi)4。v因止匕,。e

333236

吁等1

18.如圖,PZ、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=4C.

⑴證明：PZ團BC；

(2)若圓錐側面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,

求二面角B-PA-C的大小.

【考點】圓錐體中的線面關系

11

【答案】（1）證明見解析（2）加一arccos，

【解析】（1）取BC中點。，連接Z。、P0,

因為4B=AC,PB=PC,所以4。團BC,P。團BC,

又因為p。u面pz。"u面pzo,p。na。=o,

所以BC團面P4。，因為P4u面P4。，所以P4團BC.

⑵如圖建立空間直角坐標系

因為圓錐側面積為為底面直徑,BC=2,

所以底面半徑為1,母線長為次,所以P。=7P屋—A。=

V2,

則可得P（o,0,企）,4（0,V0）,3（1，0,0）,C（-LO0）,

故而=（0，］，-仞，麗=（］，0，-悶屈=夜），

設4=為面P4B的法向量,則但'上=°=

向?PB=0

?乃?Zi0令%1=V2,則yi=V2,zt=1,所以4=

由-V2Zi=0

（魚，魚，1）.

設式=（%2少22）為面。4。的法向量，

則，^.而=00［為一V2Z2=0

I五-PC=0、-％2—V2Z2=0

1

令%2--V2,則丫2-V2,z2=1,所以拓=（-筋低1）.

cos<n^,n^>=

則1卷；揖=二*二=—

'|n1||n2|7^x755

-1

設二面角B-PA-C為6,所以二面角B-PA-C的大小為7T-arccosi

19.水果分為一級果和二級果,共136箱,其中一級果102箱,二級果34箱。

12

⑴隨機挑選兩箱水果,求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

⑵進行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級果和二級果各幾箱；

⑶抽取若干箱水果,其中一級果共120個,單果質量平均數為303.45克,方差為

603.46;二級果48個,單果質量平均數為240.41克,方差為648.21;求168個水

果的方差和平均數,并預估果園中單果的質量.

【考點】概率、統(tǒng)計

【答案】(1)￡;(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱；

45

(3)平均數:285.44,方差:1426.46,預估平均287.69

【解析】

(1)古典概型:設4事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，⑷=盤02?盤4=

3468,

IQ=C?36=9180,PQ4)=W

⑵一級果箱數:二級果箱數=3:1,因此一級果抽取6箱,二級果抽取2箱.

(3)設一級果平均質量為北二級果質量為夕，總體樣本平均質量為玄

平均值：

11

元=而￡左=303.45,y=森￡乃=240.21

z=—(￡/+￡”)=—+489=28544

1683113))168

方差：

11

Sx=有￡(陽一元)2=一⑸2=>￡蛭=120⑸+(%)2)

11

Sy=忘￡(%-步尸=—Sy?-(y)2=>5W=48⑸+(y)2)

,4o4o

13

2

Sz=京￡(々一力2=焉立一(2)2=擊(￡*+EW)-(z)=1426.46

預估:平均質量=I。?元+34夕=287.69

136

22

20.在平面直角坐標系％Oy中，已知點A為橢圓廠3+-=1上一點,&、e2分別為

62

橢圓的左、右焦點。

(1)若點4的橫坐標為2,求|40|的長；

(2)設「的上、下頂點分別為a、M2,記A4F1F2的面積為SL44MlM2的面積為S2,

若Si之S2,求|。川的取值范圍

(3)若點4在％軸上方,設直線NF2與廣交于點B,與y軸交于點K,K0延長線與「交于

點C,是否存在％軸上方的點C,使得司彳+聒+方=2(0+用+方)(4e

R)成立?若存在，請求出點C的坐標;若不存在,請說明理由.

【考點】解析幾何

【答案】⑴"⑵(應,嗒］⑶網―［號)

【解析】⑴設4(2，y),因為點4為橢圓八1+<=1上一點,則與+《=1,得

6262

又尸式―2,0),所以=J(2-(-2))2+(y-0)2=平

(2)設4(%，y),%yW0,則S[=1I&F211yl=2\y\,S2=^\MrM2\\x\=V2|%|

2

因為Si>S2,即21yl>V2|x|,即2y2>x,

又9+?=1,所以2y2>6-3y2,得號<y2<2

所以=J%2+y2=J(6-3y2)+y2=,6-2y2,所以|。川的范圍是

14

同理方+序+F^C=(x2-6>y2+2yl)

因為瓦彳+F\B+F\C=A(F^A+F^B+或)(2eR),所以瓦彳+F\B+

*/用+用+跖

(22+6)(92+2陰)=(X2-6)(y2+2勿)

所以為+2%=。,或[m―無解)

22

設直線4尸2：%=my+2,與橢圓八三+—=1聯立得,(m?+3)y2+4my—2=0

62

則]%為=的-2

7712+34日Vs4曰V5

=_4m得%=7，

(%+y2=-yim2+3

由％i=+2,得%i=￡所以

21.記M(a)={tIt=/(%)—f{a)>x>a},L{a)={t\t=f(%)—f(a)>x<a]

(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);

(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,

使得—4GM(a).

(3)已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數〃的充要條件是“對于任意

正實數c,均有M(—c)=L(c)”.

【考點】導數

15

【答案】見解析

【解析】(1)由題意得：

M⑴={t\t=x2+1—2>x>1]=[0>+°°)；L(l)=

{tIt=/+1-2,%<1}=[―1，+8);

⑵證明:由題意知M(a)=[t\t=x3—3x2—a3+3a2>x>a],

記g(%)=x3—3x2—a3+3a2,有g'(%)=3%2—6%=0=%=?；?

X(一0°f0)0(0,2)2(2,+8)

g(%)正0負0正

g(%)7極大值極小值7

現對a分類討論：

32

(1)當a22,有t=/一3/-a+3a,x>a為嚴格增函數，因為g(a)=0,

所以此時M(a)=[0,+8)c[—4，+R)符合條件；

(2)當0<a<2時,t=/—3/—+3a2,%>a先增后減，也=g(2)=

—ci3+3d2—4

因為一4-3a2=a2(3-a)>0(a=。取等號)，所以「徵譏=g(2)=-a3+3a2-

4>一4,

則此時M(Q)—[—此+3Q2—4,+8)c[―&+8)也符合條件；

⑶當Q<0時"=%3—3/一+3a2%>a,在阿o)嚴格增,在@2]嚴格減,在

⑵+8)嚴格增,Gin=min{g(a)，g(2)}=min{0?-a3+3a2-4),

因為(a)=—a3+3a2—4,當a<。時，(a)=-3a2+6a>0,貝!j(a)>

(0)=-4

則此時M(a)=[tmin>+°°)G[-4,+8)成立;

16

綜上可知,對于任意aeR,都有M(a)c[-4,+且存在a=0,使得-4G

M(a).

⑶證明：

⑴必要性:若/(%)為偶函數，

則M(—c)={t\t=/(%)-/(-c)?x>-c],L(c)=[t\t=/(%)-/(c>x<c]

當%>-c,t=/(%)-/(-c)=/(-%)-/(c),因為一％<c故M(—c)=L(c);

(2)充分性：若對于任意正實數c,均有M(-c)=￡(c),

其中M(-c)={t\t=/(x)-