專題04實數(shù)重難點及規(guī)律性探究講義【重點知識辨析】1.【算術平方根與平方根區(qū)別與聯(lián)系】算術平方根平方根區(qū)別定義一個正數(shù)x2=a，稱x為a的算術平方根，x=一個數(shù)x2=a，稱x為a的算術平方根，x=±個數(shù)1個；0的算術平方根為0正數(shù)平方根有2個（互為相反數(shù)），0的平方根為0聯(lián)系存在性條件1.只有非負數(shù)有平方根，算術平方根2.算術平方根屬于平方根2.【立方根】一個數(shù)x3=a，稱x為a的立方根，x=3.【幾個公式與結論】（1）（2）（3）；；（4）（a=0或1）；平方根等于本身的數(shù)為0；（a=0、1、-1）（5）若a+b=0，則（6）被開方數(shù)小數(shù)點每向右（左）移動2位，算術平方根小數(shù)點每向右（左）移動1位.被開方數(shù)小數(shù)點每向右（左）移動3位，立方根小數(shù)點每向右（左）移動1位.4.【實數(shù)】實數(shù)分為：有理數(shù)、無理數(shù).實數(shù)比較大?。海?）作差法；（2）作商法；（3）倒數(shù)法；（4）平方法a>b→；a>b→.數(shù)軸右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大.【典例解析】【例1】的平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．+2【答案】C.【解析】解：＝4，±＝±2，故答案為：C.【變式1】（2020·廣東深圳期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解：A．=4，錯誤．B．，錯誤．C．，正確．D．，錯誤．故答案為：C．【例2】（2021·河南南陽期末）下列各數(shù)：0、3π、、、、1.1010010001…，其中無理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.【解析】解：∵=3，=2；無理數(shù)為：3π、、1.1010010001…，共3個故答案為：B.【變式2】下列說法其中錯誤的個數(shù)（）①實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的；②無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；③16的平方根是，用式子表示是；④負數(shù)沒有立方根；⑤某數(shù)的絕對值，相反數(shù)，算術平方根都是它本身，則這個數(shù)是0．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D.【解析】解：①實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，正確；②無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，錯誤；③16的平方根±4，用式子表示應該是，錯誤；④因為負數(shù)有立方根，錯誤；⑤某數(shù)的絕對值，相反數(shù)，算術平方根都是它本身，則這個數(shù)是0．正確．錯誤的說法有3個，故答案為：D．【例3】（2020·廣東深圳市期末）設n為正整數(shù)，且n＜＜n＋1，則n的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B.【解析】解：∵∵8＜＜9，∵n為正整數(shù)，且n＜＜n＋1，∴n＝8，故答案為：B．【變式3】（2021·廣西貴港期末）估算的值在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B.【解析】解：∵，∴，∴．故答案為：B．【例4】如圖，把半徑為0.5的圓放到數(shù)軸上，圓上一點A與表示1的點重合，圓沿著數(shù)軸滾動一周，此時點A表示的數(shù)是（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C.【解析】解：∵半徑為0.5的圓從數(shù)軸上表示1的點沿著數(shù)軸滾動一周到達A點，∴A點與1之間的距離是：π，當A點在1的左邊時表示的數(shù)是1－π，當A點在1的右邊時表示的數(shù)是1+π，故答案為：C．【變式4-1】（2021·北京海淀月考）直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，點對應的數(shù)是（）．

A．3 B．3.1 C． D．3.2【答案】C.【解析】解：由題意知，OO’=π，∴點O’對應的數(shù)是π故答案為：C.【變式4-2】（2021·浙江湖州市·七年級期末）如圖，若數(shù)軸上的點A，B，C，D分別表示數(shù)，1，2，3，則表示數(shù)的點應在（）A．點A與點O之間 B．點O與點B之間C．點B與點C之間 D．點C與點D之間【答案】B.【解析】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，即-4＜＜-3，∴0＜＜1，∴表示數(shù)的點應在點O與點B之間．故答案為：B．【例5】（2021·山東煙臺期末）如圖所示，若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序如下：按鍵的結為：為，則下列結果判斷正確的是（）．A． B． C． D．無法確定【答案】B.【解析】解：由題意得：m=23－=4，n==-16，∴m>n，故答案為：B．【變式5】若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序如圖，則輸出結果應為（）A．8 B．4 C． D．【答案】D.【解析】解：依題意得：．故答案為：D．【例6】（2020·吳江市月考）解方程：（1）（2）．【答案】（1）x=或x=-；（2）x=-4.【解析】解：（1）9x2=4x2=，∴x=或x=-；（2）（x+1）3=-27，x+1=-3，∴x=-4．【例7】（2021·遼寧沈陽市期末）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為9，則最后輸出的y值是（）

A． B．± C．3 D．±3【答案】B.【解析】解：∵不是無理數(shù)∴3的平方根為±，都是無理數(shù)∴最后輸出的y值是±，故答案為：B．【變式7-1】（2021·湖北十堰市期末）下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)表，那么第7行的第2個數(shù)是：（）第1行1第2行2第3行第4行……A． B． C． D．【答案】B.【解析】解：第二行的第二個數(shù)是，第三行的第二個數(shù)是，第四行的第二個數(shù)是，……第n行的第二個數(shù)的算術平方根是，第7行的第2個數(shù)是

故答案為：B．【變式7-2】（2021·武岡市月考）觀察下列各式：……請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算＋＋……其結果為多少？【答案】.【解析】解：由題意可得：++…+＝1++1++1++…+1+＝1×9+（+++…+）＝9+（1﹣+…+）＝9+（1﹣）＝9，故答案為：9．【例8】（2020·蘇州市月考）（1）已知和都是非負數(shù)m的平方根，求m的值；（2）已知的平方根是的立方根是3，求的算術平方根．【答案】（1）1或9；（2）13.【解析】解：（1）∵a-1和5-2a是非負數(shù)m的平方根，∴當a-1+5-2a=0時，解得：a=4，∴a-1=3，∴m的值為：9，當a-1=5-2a，解得：a=2，∴m的值為：1，綜上所述：m的值為：1或9；（2）∵x-1的平方根是±2，∴x-1=4，∴x=5，∵2x+y+5的立方根是3，∴2x+y+5=27，把x的值代入解得：y=12，∴x2+y2=169，∴x2+y2的算術平方根為13．【變式8-1】（2020·四川成都月考）解答下列各題．（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）5.【解析】解：（1）∵，∴，解得：，又∵ab＜0，∴，∴＝[3﹣(﹣2)]-2＝5-2＝．（2）∵，∴，解得：x＝5，∴y＝1，∴==5．【變式8-2】（2021·江蘇鹽城期末）已知某正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【答案】23.【解析】解：∵正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，解得：a＝﹣4，∵b的立方根是﹣3，∴b＝﹣27，∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．【例9】（2021·武岡市月考）已知a，b滿足，則a+b的值為（）A．－2 B．0 C．﹣1 D．2【答案】C.【解析】解：∵（a﹣1）2+＝0，（a﹣1）2≥0，≥0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故答案為：C．【例10】（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學七年級開學考試）實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應的點如圖所示，則|﹣b|+|a+|+的值_____．【答案】﹣2a﹣b.【解析】解：由數(shù)軸可得：a＜﹣，0＜b＜，故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【例11】（2020·浙江杭州期末）如圖，順次連結方格四條邊的中點，得到一個正方形．設每一個小方格的邊長為1個單位．（1）正方形的邊長介于哪兩個相鄰的整數(shù)之間，請說明理由．（2）如果把正方形放到數(shù)軸上，使得邊與數(shù)軸重合，且點A與數(shù)軸的原點重合，數(shù)軸的單位長度就是小方格的邊長，請寫出點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【答案】（1）2和3之間，見解析；（2）或.【解析】解：（1）由方格可得：正方形ABCD的面積為：8∴，∵，∴介于2和3之間；（2）由（1）得：，當點B在原點的左側時，則點B表示的數(shù)為，當點B在原點的右側時，點B表示的數(shù)為；綜上所述：點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為或．【變式11】（2021·浙江寧波期末）如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應點的方法．（1）圖2中A、B兩點表示的數(shù)分別為___________，____________；（2）請你參照上面的方法：①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長___________．（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數(shù)軸上分別用點M、N表示數(shù)a以及．（圖中標出必要線段的長）【答案】（1），；（2）①見解析，；②見解析.【解析】解：（1）由圖1知，小正方形的對角線長是，∴圖2中點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，故答案是：，；（2）①長方形的面積是5，拼成的正方形的面積也應該是5，∴正方形的邊長是，如圖所示：故答案是：；②如圖所示：【例12】（2020·山東威海期末）本學期第四章《實數(shù)》中，我們學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：平方根立方根定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于，即，那么這個數(shù)就叫做的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一個數(shù)的立方等于，即，那么這個數(shù)就叫做的立方根（也叫做三次方根）．運算求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方．開平方和平方互為逆運算．求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方．開立方和立方互為逆運算性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：的平方根是；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；的立方根是；負數(shù)的立方根是負數(shù)．表示方法正數(shù)的平方根可以表示為“”一個數(shù)的立方根可以表示為“”今天我們類比平方根和立方根的學習方法學習四次方根．（類比探索）（1）探索定義：填寫下表類比平方根和立方根，給四次方根下定義：．（2）探究性質(zhì)：①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥（填“有"或"“沒有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：；（3）在探索過程中，你用到了哪些數(shù)學思想？請寫出兩個：．（拓展應用）（1）；（2）；（3）比較大?。海敬鸢浮俊绢惐忍剿鳌浚?）依次為：±1，±2，±3；一般地，如果一個數(shù)x的四次方等于a，即x4=a，那么這個數(shù)x就叫做a的四次方根；（2）①±1；②±2；③；④；⑤0；⑥沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負數(shù)沒有四次方根；（3）類比、分類討論、從特殊到一般等．【拓展應用】（1）±4；（2）；（3）>．【變式12】（2020·湖南婁底期末）規(guī)定：求若千個相同的有理數(shù)（均不等于）的除法運算叫做除方，如等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”，一般地，把記作，讀作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接寫出計算結果：；；（2）關于除方，下列說法錯誤的是（）A．任何非零數(shù)的圈次方都等于B．對于任何正整數(shù)C．D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（3）試一試：，依照前面的算式，將，的運算結果直接寫成冪的形式是，；（4）想一想：將一個非零有理數(shù)的圓次方寫成冪的形式是：；（5）算一算：．【答案】（1），；（2）C；（3），28；（4）；（5）-5．【解析】解：（1）；；故答案為：，；（2）A、任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數(shù)n，1?都等于1；

所以選項B正確；C、，，則；故答案為項C錯誤；D、負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)，故D正確；故答案為：C；（3）根據(jù)題意，，由上述可知：；（4）根據(jù)題意，由（3）可知，；故答案為：（5）．【例13】“比差法”是數(shù)學中常用的比較兩個數(shù)大小的方法，即例如：比較與2的大?。?，，則，，．請根據(jù)上述方法解答以下問題：（1）比較大?。篲______3；（2）比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）＞；（2）＜．【解析】解：（1）＜＜，＜＜，故答案為：＞．（2）∵＜＜，∴＜＜，∴0＜，0＜，0＜，∴＜．【例14】（2021·江蘇連云港市期末）如圖，一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數(shù)為．（1）求的值；（2）在數(shù)軸上還有、兩點分別表示實數(shù)和，且有與互為相反數(shù)，求的平方根．【答案】（1）2；（2）±4.【解析】解：（1）由題意得：m＝2，則m＋1＞0，m?1＜0，∴|m＋1|＋|m?1|＝m＋1＋1?m＝2；（2）∵與互為相反數(shù)，∴+=0，∴|2c＋d|＝0且＝0，解得：c＝2，d＝?4，∴2c?3d＝16，∴2c?3d的平方根為±4．【例15】（2020·浙江期末）閱讀下列信息材料信息1：因為尤理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：等，而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準確；信息2：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，可以看成得來的；信息3：任何一個無理數(shù)，都可以夾在兩個相鄰的整數(shù)之間，如，是因為；根據(jù)上述信息，回答下列問題：（1）的整數(shù)部分是___________，小數(shù)部分是______________；（2）若，則的整數(shù)部分是___________；小數(shù)部分可以表示為_______；（3）也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為則______；（4）若，其中是整數(shù)，且，請求的相反數(shù)．【答案】（1）3；；（2）21；；（3）23；（4）．【解析】解：（1）∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是故答案為：3；；（2）因為,故則的整數(shù)部分是21，的小數(shù)部分可以表示為.故答案為：21；；（3）因為，∴，即，∴a=11，b=12，故a+b=23，故答案為：23；（4）∵5<<6，∴，∵0<y<1，x是整數(shù)，∴x=2，∴y=，，x-y的相反數(shù)是．【例16】先閱讀材料，再解答問題：我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾