螺旋線與平面的交點東南大學(xué)朱道元問題（1994年美國數(shù)模競賽題）幫助一家生物技術(shù)公司就位于空間中一般位置的一條螺旋線和一個平面交點的“實時”定位設(shè)計、證明、編程、并測試檢驗一個數(shù)學(xué)方法。螺旋線和平面交點示意圖螺旋線的一段可以表示，例如一段螺旋狀的彈簧或化學(xué)儀器或醫(yī)療儀器中的一段管狀物，如圖。其他實際用途類似的計算機輔助幾何設(shè)計（CAGD）程序可以讓這種平截面迅速掃過整個物體來得到物體的三維成像。為取得這樣的效果，計算機程序必須能以足夠的速度和精度來定位所設(shè)計物體的每一部分和所觀察平面的全部交點。理論與實際問題之間的差別該問題本質(zhì)上是解方程組。一般通過方程求解器（equationsolvers），就能計算出交點。但是實際問題，要求計算速度快，可以用于實時控制；而且螺旋線和平面可處于任意位置，并求出螺旋線和平面的全部交點；還要和生產(chǎn)裝置相協(xié)調(diào)，算法要比較簡單。對此，必須具體問題具體分析，這是數(shù)學(xué)建模的靈魂。本題的難點(書本上回避的）

難點之一要求出全部交點，這實際上隱含了的算出交點的準確個數(shù)，否則無法說明求出了全部的交點；也隱含要知道交點的性質(zhì)，如是否存在重根等。而關(guān)于方程組的解的個數(shù),是數(shù)學(xué)上沒有解決的理論問題。難點之二由于要用于實時控制，因此要求計算交點的算法非?？?，特別在交點很多，甚至有成萬上億個交點的情況下，怎么能夠在幾秒鐘之內(nèi)把全部交點計算出來。難點之三由于題目中平面和螺旋線所處的相對位置是任意的，因此這不是在解一個特定的方程組,實際上是求解一大類的無窮多個方程組，希望找到通用的簡便方法。首先選擇坐標系顯然選擇螺旋線的軸作為Z軸則螺旋的參數(shù)方程最簡單，至于平面處于任意位置表達都不困難。其中r,2πh為螺旋線的半徑和螺距，θ為參數(shù)。選擇突破口對四個非線性方程的方程組即使不是去求解，而僅僅回答解的個數(shù)也是極其困難的。但這又是實際問題中無法回避的，是首先必須被解決的問題。我們應(yīng)該清醒認識到數(shù)學(xué)理論和實際問題之間的差別，數(shù)學(xué)上非線性方程組的解的個數(shù)問題沒有解決，并不表示某些實際問題所對應(yīng)的一小類特殊的非線性方程組的解的個數(shù)問題也無法解決，由于范圍小，共性多，是可能獲得理想的結(jié)果的。突破口在“等價簡化問題”簡化才能暴露問題的本質(zhì)，簡單情況下才容易發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，因此簡化是解決復(fù)雜問題的正確方向。但必須注意簡化前后問題之間的等價性，否則簡化就失去了意義?！暗葍r簡化”是數(shù)學(xué)建?！八囆g(shù)”的精髓，是重要的研究能力，是數(shù)學(xué)建模追求的目標。創(chuàng)造性發(fā)源于猜測怎么突破？首先是猜測，而且要大膽地去猜測。沒有“異想天開”，就不會有“絕處逢生”。螺旋線和平面的交點問題能否等價簡化為求平面上兩條線的交點的問題，能否從四個非線性方程的方程組求解等價簡化為一個未知數(shù)一個方程的求解問題？投影可以降維，對本問題有沒有幫助？恰當選擇投影面去做投影取平行于螺旋線的軸，且垂直于指定平面的平面為投影面作投影，則指定平面被投影為一條直線，螺旋線被投影為平面內(nèi)一條曲線。由于z軸平行于投影面，所以空間各點投影之后的z坐標均保持不變，而螺旋線上各點由于在“螺旋式上升”，z坐標均不相同。因此不同的交點，z坐標均不相同，投影之后仍然互不相同，空間中的交點和平面上的交點之間一一對應(yīng)。

投影就是等價簡化由于空間中的交點和平面上的交點之間是一一對應(yīng)的，既沒有重迭，也不會分叉。故知道平面內(nèi)的交點總數(shù)，就知道空間中的交點總數(shù)，而且,幾乎不要再做什么工作，就完全確定了空間全部交點的坐標。因此對這個問題投影就是等價簡化。

代入可以代替投影

再簡化令

則

令

則簡化為

最終的簡化結(jié)果由于

是偶函數(shù)，為后面討論方便，在中不妨設(shè)。到此為止，我們看到解決這個問題的曙光。交點個數(shù)重根的重數(shù)及重根的位置由高等數(shù)學(xué)可知，三重根及更高重數(shù)的重根的必要條件是即一般無解，一般為二重根，從重根的幾何意義可知，重根是交點，而且在該點兩條曲線有公切線，現(xiàn)在其中一條是直線，即直線是余弦線的切線。從幾何可知，重根一定是最大或是最小的交點。如圖，切點是最大的交點。因為余弦線在第四、一象限是凹函數(shù)，位于切線的下方，而直線單調(diào)上升越過這個區(qū)域后始終大于1，與余弦線再無交點，因此該切點是最大的交點。切點是最小的交點類似可證。

a是決定交點個數(shù)的主要矛盾。初步分析，絕大多數(shù)情況下，曲線與直線的交點個數(shù)并不多，類似于高等數(shù)學(xué)習(xí)題，可以容易得到解決。當時是周期函數(shù)，解的問題，高中三角課程中早已解決。困難在于交點個數(shù)急驟增加，如果有成萬上億個，要決定交點的個數(shù)似乎非常困難。但由此我們也發(fā)現(xiàn)是決定交點個數(shù)的主要矛盾。準周期函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵當時，是準周期函數(shù)（與周期函數(shù)相差非常少，或周期幾乎就是常數(shù)2π）。在這種情況下，我們應(yīng)該懷疑什么環(huán)節(jié)上出了問題？為什么比較大或者為0，求交點個數(shù)都沒有問題。當時就有困難了，經(jīng)仔細分析有無窮多個交點,問題容易解決是由于這時是周期函數(shù)，周期2π。借用周期函數(shù)決定交點個數(shù)直觀看

極小時與

圖形幾乎重疊，因此是準周期函數(shù)，兩類交點幾乎區(qū)分不開來，當然交點個數(shù)在一定范圍內(nèi)肯定是相同的。既然如此，我們是否可以借周期函數(shù)來討論

的交點個數(shù)問題？Sinφ=-a就是周期函數(shù)

即是周期函數(shù)，

的根與的根在一定范圍內(nèi)是相間的。由此便可決定

的交點個數(shù)，因為正弦函數(shù)周期為2π，

2π之間有2個根，只要知道范圍長度就有根的個數(shù)。而由就可以決定

這個范圍的長度是兩個函數(shù)的根是相間的證明：兩個不同的根中一定有

的根。設(shè)是

兩個不同的根，則

由微分中值定理，有其中，。因為，

故一定有。兩函數(shù)在一定范圍內(nèi)根是相間的在一定范圍內(nèi)兩個根內(nèi)一定有的根。設(shè)，即在相鄰與之間劣(優(yōu))弧上是同為正(負)的，故在與之間的劣（優(yōu)）弧上是單調(diào)上升（下降）的，且連續(xù)。

因此，當異號時，其中一定有一點，使交點個數(shù)大致可確定了

的根的個數(shù)是

五個連續(xù)自然數(shù)中的一個。因為在[-1,1]中，在其中的范圍為，因為2π之內(nèi)2個根，周期函數(shù)根的個數(shù)為，其中取整數(shù)，是因為個數(shù)一定是整數(shù)，且由于根不是均勻分布，可能四舍五入產(chǎn)生誤差。由于的根相間，還有可能產(chǎn)生一個誤差，所以可以得出結(jié)論：根是附近五個連續(xù)自然數(shù)中的一個。交點的個數(shù)一定是奇數(shù)上述結(jié)果還不太精確。實際上，重根按重數(shù)計，則交點的個數(shù)一定是奇數(shù)。證：因為周期函數(shù)無窮多個交點問題已解決。余弦線分平面為上下兩部分，所以當

時，，即直線一定位于余弦線的下方，而當

時，，即直線此時一定在余弦線上方，因此直線一定從下方到上方至少穿過余弦線一次。因此一定產(chǎn)生一個交點，個數(shù)是奇數(shù)，若又回到余弦線的下方，則仍應(yīng)回到上方，穿過余弦線兩次，產(chǎn)生兩個交點，交點個數(shù)仍是奇數(shù)，類推一定是奇數(shù)。若相切，則從上方還到上方，切點算兩個交點，因此交點數(shù)一定是奇數(shù)。交點個數(shù)不應(yīng)該有三種可能若為奇數(shù)，則交點數(shù)為3種可能，這與實際不符，可以再去掉一個?？紤]交點個數(shù)隨下降而變動的情況，即旋轉(zhuǎn)直線，不難發(fā)現(xiàn)交點數(shù)跳躍發(fā)生在直線與余弦線有兩個切點的情況，這時或增加4個，至少增加2個交點（一個切點算2個交點）。跳躍點的推導(dǎo)兩個切點根據(jù)重根公式，應(yīng)滿足

，由韋達定理，兩切點連線中點坐標為，

即，對應(yīng)點為，在坐標軸上，是坐標軸與直線的交點。

由兩個全等的直角三角形可知，兩切點的縱坐標相差一個符號。(切點也在余弦線上)再由單位圓可知，切點連線中點橫坐標一定，故，交點相差

肯定無法同時相切，因分別在極大、極小值點的同一邊，因此余弦線及其軸和直線三線共點求的跳躍點可分兩種情況：1，在中點處下降，平移豎軸至，則直線變?yōu)?，余弦線變?yōu)?，則在切點有2，在中點處上升，類似有由可求

即，,最大的，后

，一個交點；，一個

或三個交點；，三個或五個交點；

，五個或七個交點。最后再由確定交點個數(shù)是兩個數(shù)中的哪一個。因為平移會使交點個數(shù)增加或減少2個。關(guān)于的求解首先應(yīng)該充分利用已經(jīng)得到的結(jié)論，提高效率：1，交點的范圍2，把上述范圍又分成若干個區(qū)間。在每個區(qū)間內(nèi)有一個且只有一個交點，可以防止遺漏交點和無效勞動。3，每個子區(qū)間內(nèi)是連續(xù)單調(diào)的，有利于求解。二分法求交點由于在每個子區(qū)間是連續(xù)，嚴格單調(diào)的，求交點的方法很多。最簡單的方法是二分法。每次將區(qū)間一分為二，求出中點的函數(shù)值，保留兩端函數(shù)值異號的子區(qū)間，繼續(xù)均分，直至區(qū)間長度小于精度要求，停止。牛頓迭代法比較通用的另一種方法是牛頓迭代法，公式為，思想是以直代曲，用切線來代替割線。已經(jīng)證明牛頓迭代法具有二階收斂速度，效率很高，牛頓法的缺點是當初始解離真實解較遠時會偏離方向，可用混合法，先用二分法保證逼近真實交點，后用牛頓法加快收斂速度，做到取長補短。僅適合本問題的好的初始解還有一個好算法?，F(xiàn)在已有極大，極小值點，二點連線與水平軸的交點就是非常好的近似。求交點的工作量和所求交點個數(shù)成正比？將無法用于實時控制？求交點的工作量和所求交點個數(shù)成正比，如果有成萬上億個交點，時間太長，怎么用于實時控制？即使用最先進的計算機也無法跟上交點個數(shù)的上升，似乎這是無法克服的困難。但仔細分析，比較大，交點個數(shù)少，當然求解容易。但無窮解，求解也不困難，為什么，交點個數(shù)非常多，問題就解決不了呢？解決問題還是靠創(chuàng)造性當時，無窮多解能夠求解的創(chuàng)造性在于只選了兩個代表，后用他們可以代表無窮多