2024屆遼寧省沈陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知/（九）是定義是R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足/一彳+%=/~+x，當(dāng)%e0,不時(shí)，/（x）=ln（x2-x+l）,

k2JJI

則函數(shù)“X）在區(qū)間［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.3B.5C.7D.9

2.若（1—無(wú)戶(hù)9=%+%（*+1）++出019（%+1）犯°，xeR，則+++々。191皿的值為（）

2019201920192019

A.-1-2B.-1+2C.1-2D.1+2

k］nY1

3.已知函數(shù)/（x）=—（左eN+）,g（x）=——,若對(duì)任意的c>l,存在實(shí)數(shù)。力滿(mǎn)足0<a<b<c,使得

Xx-1

g（a）=/3）=g（c）,則攵的最大值是（）

A.3B.2C.4D.5

4.設(shè)S“是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且S4=%+3,則%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知數(shù)列｛〃〃｝中，q=2,a=l----（n>2）,則。2018等于（）

nan-\

11

A.一B.一一C.-1D.2

22

6.函數(shù)/（x）=cos2x（xw［—?,2乃］）的圖象與函數(shù)g（x）=sinx的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）

A.—B.2"C.—D.兀

36

7.已知a=（2sin學(xué),cos券）力=（J^cos等,2cos學(xué)），函數(shù)/（x）=9在區(qū)間［0,『］上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

85、75、57、7?

A.［r―,—）B.r［一,一）C.［r―,一）D.（一,2］

5242344

8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=GB./(%)=xsin%C./(x)=x2+|%|D.y=|x+l|

9.設(shè)，，b,c分別是AABC中NA,DB,NC所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線511174-無(wú)一砂一。=0與法+51116++5111。=0

的位置關(guān)系是()

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

10.設(shè)小，"為直線，￡、￡為平面，則相，a的一個(gè)充分條件可以是()

A.aL/3,a/3=n,m±nB.a11(3,mL/3

C.aL/3,m///3D."ua,m±n

11.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是().

A.收入最高值與收入最低值的比是3：1

B.結(jié)余最高的月份是7月份

C.1與2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元

12.若函數(shù)/(%)=3cosx+4sin尤在％=夕時(shí)取得最小值，貝()cosd=()

3443

A.-B.——C.-D.--

5555

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.滿(mǎn)足約束條件|回+2|田忘2的目標(biāo)函數(shù)2=丁一兀的最小值是.

14.已知數(shù)列｛凡｝滿(mǎn)足：點(diǎn)在直線2x—y+l=O上，若使可、%、品構(gòu)成等比數(shù)列，貝！1加=

15.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的A5四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)

這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“4作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“C作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“3,。兩項(xiàng)作品未獲

得一等獎(jiǎng)，，；丁說(shuō)：“是4或。作品獲得一等獎(jiǎng)”，若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是_

16.點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y=0的距離為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x/—2x

(1)求函數(shù)Ax)在(L/⑴)處的切線方程

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-21nx,對(duì)于任意,g(x)>a恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+2].

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)W3的解集；

(2)3x0eR,f(x0)<3,求a的取值范圍.

19.(12分)已知拋物線c：y=4x的焦點(diǎn)為r，過(guò)c上一點(diǎn)p(i/)。>o)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與c交

于N兩點(diǎn),

(1)證明：直線的斜率是一1；

(2)若8|板|,|MN|,|Nb|成等比數(shù)列，求直線MN的方程.

11

%=—+—COS6Z,

42

20.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是(a是參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正

1.

y=——+—sina

-42

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)在曲線C上取一點(diǎn)"，直線繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交曲線C于點(diǎn)N,求的最大值.

22

21.(12分)已知橢圓C:j+2=l(a〉6〉0)的短軸長(zhǎng)為26，左右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,點(diǎn)3是橢圓上位于第一

象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)書(shū)月=0時(shí)，,閭=,.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C上點(diǎn)A與點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)3作6。垂直于X軸，垂足為。，連接AD并延長(zhǎng)交C于另一點(diǎn)

M,交y軸于點(diǎn)N.

(i)求△OZW面積最大值；

（ii）證明：直線AB與斜率之積為定值.

22.（10分）萬(wàn)眾矚目的第14屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開(kāi)幕，期

間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一

次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：

頻率/組距

0.30男女合計(jì)

2O

O.SJ8

冰雪迷20

0.12U

0.。非冰雪迷20

,09

合計(jì)

0123456收看時(shí)間（小時(shí)）

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直

方圖補(bǔ)全2x2列聯(lián)表；并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；

（2）在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名，再?gòu)倪@6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職

工的人數(shù)為之求的J分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

爛n(ad-be)一

n=a+b+c+d

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】

根據(jù)“力是定義是R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足1+力=/1|+4,可得函數(shù)〃力的周期為3,再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)

合已知可得/（--）=/（-1）=/（0）=/（I）=/（-）=0,利用周期性可得函數(shù)”可在區(qū)間［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【題目詳解】

???/（X）是定義是R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足/，|+［=d|+x

/(-13+x+|3)=/(j3+x+|3),可得

/(x+3)=fCx),

函數(shù)的周期為3,

1?當(dāng)時(shí)，/(x)=ln(x2-x+1),

令/(2=0,則無(wú)2一%+1=1,解得％=o或1,

又；函數(shù)“X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

33

二在區(qū)間［—工以上，有/（—D=—/a）=o,/（o）=o.

22

3333

,取尤=0,得/（一5）=/（萬(wàn)）得/（；）=/（-；）=0,

/(-13)=/(-1)=/(0)=/(1)=/(13)=0.

又???函數(shù)”力是周期為3的周期函數(shù)，

aQ

二方程/（尤）=0在區(qū)間［0,6］上的解有0,1,$2,3,4,：,5,6.共9個(gè),

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題.

2、A

【解題分析】

2019

取x=—1,得到q=220\取x=2,則4+。/3+4-32++a2019-3=-1,計(jì)算得到答案.

【題目詳解】

2019

取1=—1,得至!)旬=2~"9；取了=2,則/+%,3+生,3?++a2oi9,3=—1.

20192019

故。「3+%.32++G2019.3=-1-2.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取x=-1和％=2是解題的關(guān)鍵.

3、A

【解題分析】

根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為電叫>七，對(duì)于1>1恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)/z(x)=x?生三口，然后求出力(X)的范圍，進(jìn)

龍一1XX-1

一步得到女的最大值.

【題目詳解】

kliqy1

/(%)二—(AwN+),g(x)=-對(duì)任意的。>1,存在實(shí)數(shù)。力滿(mǎn)足Ovavbvc,使得g(〃)=/S)=g(c),

Xx-1

二易得g(c)=/3)>/(c)，即生出>^恒成立，

c-1C

lnx+1k-..

------>-,對(duì)于X>1恒成U,

x-1X

…,、lnx+1…，/、x-2-ln%

設(shè)h(x)=x-------，則h(x)=-----,

x-1(x-1)

令q(x)=x—2-Inx,二/(%)=1-工>0在1>1恒成立，

x

q⑶=3—2—ln3<0,q(4)=4—2—ln4>0,

故存在.“e(3,4),使得q(x())=O,即%—2=In/,

當(dāng)xe(L%)時(shí)，q(x)<0,//(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(%,+oo)時(shí),q(x)>0,丸(x)單調(diào)遞增.

，/、，/、xnInx?+xn

???Mx)min=Mx°)=」―，將%-2=Inx0代入得:

xo-1

ZwN+，且左<〃(%)*=%，

:.k<3

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

4、C

【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件，求得％的值.

【題目詳解】

由于等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足§4=4+3,所以+。2+/+。4=。4+3,4+%+%=3,

故選：C

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解題分析】

分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.

【題目詳解】

,1

解：；4=2,an=1(?>2),

%—1-2=-19

。4=1—(—1)=2,

=1—二一，

22

二數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列,

2018=3x672+2,

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解題分析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.

【題目詳解】

令sinx=cos2x,有sinx=l-2sin2x，

x.或x關(guān),所以函數(shù)/(x)=cos2x(xe[-漢2切的圖象與函數(shù)g(x)=sinx的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和

7c37r7c57r_,

s=-----1------1----1-----=2〃,故f選B.

2266

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

7、B

【解題分析】

Jr47r

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出/(x)=2sin(^x+-)+l,函數(shù)在區(qū)間［0,?。萆锨∮?個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最

63

值點(diǎn)，。工+2=々+左肛左eZ解出，x=—+—,^eZ,再建立不等式求出左的范圍，進(jìn)而求得。的范圍.

623a>a>

【題目詳解】

解：/(x)=Gsins+2cos=Gsins+coss+l

=2sin(^x+—)+1

令OX+-=工+左〃，左eZ,解得對(duì)稱(chēng)軸工=二+紅，左eZ,/(0)=2,

623a)co

又函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,四］恰有3個(gè)極值點(diǎn)，只需^-+—<^<^+—

33。。33。。

一75

解得74co<—.

42

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.

(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin3x+e)+/^y=Acos3x+e)+Z的形式；(2)根據(jù)

自變量的范圍確定0X+9的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.

8、C

【解題分析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【題目詳解】

A：y=?為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B:/（力=次皿*在（0,+8）上不單調(diào)，不符合題意；

C:>=/+卜|為偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解題分析】

試題分析：由已知直線5足4%—0；—。=0的斜率為二上1,直線區(qū)+sin"y+sinC=0的斜率為二，又由正

asinB

弦定理得出'=期，故以lf_W；=變±f—/_]=T,兩直線垂直

色1歲at濘曲s?'bg刖更￡

考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系

10、B

【解題分析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【題目詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)。J_，，a/3=n,〃時(shí)，由于機(jī)不在平面￡內(nèi)，故無(wú)法得出

對(duì)于B選項(xiàng)，由于a//月，mVp,所以加J_a.故B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)。，分，機(jī)//，時(shí)，機(jī)可能含于平面a,故無(wú)法得出力，a.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)〃ua,〃時(shí)，無(wú)法得出

綜上所述，加，。的一個(gè)充分條件是“a//尸，

故選:B

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解題分析】

由圖可知，收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為30萬(wàn)元，其比是3:1,故A項(xiàng)正確；

結(jié)余最高為7月份，為80-20=60,故B項(xiàng)正確；

1至2月份的收入的變化率為4至5月份的收入的變化率相同，故C項(xiàng)正確

前6個(gè)月的平均收入為-(40+60+30+30+50+60)=45萬(wàn)元，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

6

綜上，故選D.

12、D

【解題分析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)了(%)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得〃%)在x=8函數(shù)取得最小值時(shí)cos。的值.

【題目詳解】

(34、34

解：/(x)=3cosx+4sinx=5—cosx+—sinx=5sin(x+6z),其中，sma=—,cosa=—

155J559

故當(dāng)e+a=(AeZ),即6=2版■一]-a(AeZ)時(shí)，函數(shù)取最小值/⑻=—5,

冗冗3

所以cos0=cos(2A%----a)=cos(----?)=-sinar=——，

225

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-2

【解題分析】

可行域|x|+21y|W2是如圖的菱形ABCD,

代入計(jì)算,

知J=0-2=-2為最小.

14、13

【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得凡，由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【題目詳解】

(n,??)S2x-y+l=0±,:.an=2n+l,

%,%，金成等比數(shù)列，，說(shuō)=卬*，即81=3(2m+1),解得:m=13.

故答案為：13.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、C

【解題分析】

假設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的作品，判斷四位同學(xué)說(shuō)對(duì)的人數(shù).

【題目詳解】

A,B,C,D分別獲獎(jiǎng)的說(shuō)對(duì)人數(shù)如下表：

獲獎(jiǎng)作品ABCD

甲對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)

乙錯(cuò)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)

丙對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)

T對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)

說(shuō)對(duì)人數(shù)3021

故獲得一等獎(jiǎng)的作品是C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查邏輯推理，常用方法有：1、直接推理結(jié)果，2、假設(shè)結(jié)果檢驗(yàn)條件.

16、2

【解題分析】

直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出。

【題目詳解】

|3x2+lx4|0

依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y=。的距離為~二2。

V32+42

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)y=(2e-2)x-e；(2)a<2-21n2

【解題分析】

(1)求出了'(X),/'⑴,/⑴，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理即可；

(2)。的取值范圍滿(mǎn)足avgCx).,xe(O,4w),求出g'(x),當(dāng)x40,+8)時(shí)求出g'(x)>0,g'(x)<0的解，

得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.

【題目詳解】

(1)由于/'(X)=(1+x)ex-2,f'(I)=2e—2,

此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2)

所以切線方程為y=(2e—2)%—e.

(2)由已知g(x)=xe、'-2x-21nx,

故g'(x)=(x+l)e'_2(1")-)=(x+1)(e*—).

由于xe(0,+oo),故x+l>0,

22

設(shè)h{x}=ev——由于A(x)=ev——在(0,+oo)單調(diào)遞增

XX

同時(shí)x—>0時(shí)，h{x}-oo,xf+8時(shí)，/z(x)f+8,

故存在天〉0使得〃(%)=0

且當(dāng)xe(0,%)時(shí)h(x)<0,當(dāng)xe(x0,+oo)時(shí)/z(x)>0,

所以當(dāng)xe(O,xo)時(shí)g'(x)<0,當(dāng)xe(%，+°°)時(shí)g'U)>0,

所以當(dāng)x=/時(shí)，g(x)取得極小值，也是最小值，

故g(X)min=g(/)=X0eX°-2(%+也%)

2

x

由于A(x0)=e"----=0=>xoe°=2=>Inx0+x0=In2,

「'%,

所以g(x)min=2-21n2,

a<2—21n2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于

中檔題.

18、(1){x|-2<x<l}；(2)[-5,1].

【解題分析】

(1)當(dāng)a=l時(shí),/"(%)=|x—1|+|x+2|,

①當(dāng)xW—2時(shí)，f{x}=-2x-\,

令〃x)W3,即—2x—1W3,解得x=—2,

②當(dāng)—2<x<l時(shí)，/(%)=3,顯然/(x)W3成立，所以—2<x<l,

③當(dāng)時(shí)，f[x)=2x+l,

令/⑺W3,即2%+lW3,解得x=l,

綜上所述，不等式的解集為{R-

(2)因?yàn)?(尤)=卜_。|+|尤+2|2|(尤_。)_(尤+2)=卜+2],

因?yàn)橛?(尤)<3成立，

所以只需|。+2歸3,

解得一5<Q<1,

所以a的取值范圍為[-5,1].

【題目點(diǎn)撥】

絕對(duì)值不等式的解法：

法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；

法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

19、(1)見(jiàn)解析；(2)y=—x+1

【解題分析】

y—y4

(1)設(shè)河(石，％),N(%2，%)，由已知左”尸+左NP=0，得%+%=-4,代入左MN=」_-2=---------------中即可；

國(guó)一％2X+丁2

(2)利用拋物線的定義將|MN『=8|板||NP|轉(zhuǎn)化為(石+%7—8百%—4(%+無(wú)2)-4=0,再利用韋達(dá)定理計(jì)算.

【題目詳解】

(1)尸在拋物線射=4x上，:"=2,P(l,2)

設(shè)以(七,%),N8,%)，

y_2y_2

由題可知，^p+^p=0-?,.^-r+^9-r=0.

石_1x?-1

?/2+*2=。

A_I

44

44

-----1------=0,???X+%=-4,

y+2%+2

?k%一%

??~MN

X]-x2

X+為

（2）由（i）問(wèn)可設(shè)：I：y=-x+m,

貝！即，NF

||ACV|=a|X]—l"F|=Xi+l,I|=x2+1,

...|2W『=8|MP||NF|,...（虛后―=8（Xi+1）（/+1），

即（X]+無(wú)2）一一8尤1龍2—4（玉+尤2）—4=0（*），

y=-x+m、,

將直線/與拋物線C聯(lián)立，I、可得：犬-（2根+4）x+7/=0,

y=4x

A=16加+16>0

所以<%+%2=2加+4,

2

再馬-m

代入（*）式，可得加=1滿(mǎn)足/>0,?'?/：y—+1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，在處理直線與拋物線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，通常要涉及韋達(dá)定理來(lái)求解，本

題查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

20、（1）p=sin（0+^J（2）最大值為：

【解題分析】

（D利用sin2（z+cos2o=l消去參數(shù)戊，求得曲線C的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得|OM|?|ON|的表達(dá)式，并利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)最值的求

法，求得|OM|?|ON|的最大值.

【題目詳解】

11

x=—+—cos?,

4273

(1)由，消去a得曲線C的普通方程為/+y=0.

石1.22

y=-------1—sina,

4--2

所以。的極坐標(biāo)方程為叱爭(zhēng)小人。,

即p=sin16+￡

（2）不妨設(shè)/（A，。），2VL,0+1I,日￡萬(wàn))，

2Pi>。,p2>0,[0,2

則

\OM\-\ON\=pg=sin=sin0+—\cos0=——sin，+—cos，-cos。

I6j122J

V3111.1cz萬(wàn))1

=——sin2,+—cos2。+—=~sin20i+—+—

4442I4

773

當(dāng)”不時(shí)，伙卜Q(chēng)M取得最大值，最大值為了.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)系下線段長(zhǎng)度的乘積的最值的求法,

考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.

21、（1）—+^=1；（2）（i）且；（ii）證明見(jiàn)解析.

434

【解題分析】

A23L

（1）由乙=±,2b=26解方程組即可得到答案；

a2

122

⑵（i）設(shè)3（冷弘），/（%,%），則4（—%,—%）,。（玉,0）,易得工0勤=1±%,注意到全+,=1,利用

基本不等式得到事必的最大值即可得到答案；（ii）設(shè)直線A3斜率為左=葉（左＞0）,直線AQ方程為y=g（x-%）,

聯(lián)立橢圓方程得到"的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.

【題目詳解】

（1）設(shè)月（c,0）,由5耳.耳月=0,得4心.

將x=c代入￡+與=1,得丁=以，即忖鳥(niǎo)|=名=。，

a2b②-a121a2

由8=如，解得a=2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1.

43

⑵設(shè)磯不弘），M（x2,y2）,則4（一為,—%）,。（玉,0）

（i）易知ON為△ABD的中位線，所以N］。,-曾，

所以ZOON=^i|--y=；|當(dāng)卜民|=；為必，

22

又3（尤］,%）滿(mǎn)足亍+三_=1,所以

22

—，得…

故當(dāng)且僅當(dāng):之，即玉=3,時(shí)取等號(hào),

44乙732

所以△ODN面積最大值為叵

4

左〉。），則直線A。斜率為言=5

（ii）記直線AB斜率為左=

k

所以直線AO方程為y=5（x-%）.

y專(zhuān)xf)

由＜，”,,得(3+/卜2—242/1+左2無(wú)：—]2=0,

土+j

[43

由韋達(dá)定理得（-6"含，所